Вопрос 5. Методы теории принятия решений: оптимизационные методы в решении типовых аналитических задач.

Методы теории принятия решений рассмотрим на практических примерах.

Имитационное моделирование

Предположим, фирма рассматривает инвестиционный проект по производству продук­та «А». В процессе предварительного анализа экспертами выявлены три ключевых параметра проекта и определены возможные границы их изменений (таблица 18). Прочие параметры проекта считаются постоян­ными величинами (таблица 19).

Таблица 18

Ключевые изменяемые параметры проекта по производству продукта «А»

Показатели	Сценарий
	наихудший	наилучший	вероятный
Объем выпуска, тыс. шт. (Q)	150	300	200
Цена за штуку, руб. (p)	40	55	50
Переменные затраты, руб. (VC)	35	24	30

Таблица 19

Постоянные параметры проекта по производству продукта «А»

Показатели	Наиболее вероятное значение
Постоянные затраты, тыс. руб. (FC)	500
Амортизация, тыс.руб. (А)	100
Налог на прибыль, % (T)	20
Норма дисконта, % (r)	10
Срок проекта, лет (n)	5
Начальные инвестиции, тыс. руб (I0)	2000

Базовым критерием обоснования выбора инвестиционного проекта является его чистая современная стоимость NPV:

где NCF_t – величина чистого потока платежей в периоде t тыс., руб.; I_o – величина стартовых инвестиций, руб.

По условиям примера значения нормы дисконта r и первоначального объема инвестиций I₀ известны и считаются постоянными в течение срока реализации проекта.

В целях упрощения будем полагать, что генерируемый проектом поток платежей имеет вид аннуитета (имеет одинаковую величину, формируемую за равные промежутки времени). Тогда величина потока платежей NCF для любого периода t одинакова и может быть определена из соотношения:

NCF_t=[Q*(p-VC)-FC-A]*(1-T)+A

Следует оговориться, что в практических условиях ассоциировать денежный поток как сумму прибыли и амортизации не совсем корректно (см. литературу по финансовому менеджменту), кроме того налог на прибыль исчисляется по данным налогового учета, а не от бухгалтерской прибыли. В месте с тем для демонстрации методологии имитационного моделирования в учебных целях подобный подход представляется допустимым.

Удобно проводить имитационные эксперименты в среде ППП Ехсel. Это можно сделать с использованием специализированных функций или надстройки «Генератор случайных чисел». Количество экспериментов должно быть достаточно большим для того, чтобы сделать вывод о том, что при любых изменениях искомых переменных в заданных границах проект не является убыточным. В таблице 20 приведен сжатый пример подобной имитации.

В обоих случаях нам необходимо рассчитать чистый денежный поток NCF_t при различных соотношениях значений переменных, предполагая что Q изменяется в диапазоне от 150 до 300, p от 40 до 55, VC от 25 до 35

Таблица 20

Таблица экспериментов расчета чистой современной стоимости продукта А

№ экcперимента	Переменные расходы, руб.	Количество, штук	Цена, руб.	Платежи (NCFt), руб.	ЧСС, руб.
1	24	186240	41,9	2185466,88	6 284 638,93
2	32	192475	46,5	1755789,6	4 655 823,99
3	31	193542	43	1371809,856	3 200 238,65
4	27	192760	41	1675827,84	4 352 706,00
5	29	249600	44,3	2579097,6	7 776 809,06
6	28	217580	46,2	2686224,16	8 182 903,01
7	26	224596	48,7	3604053,664	11 662 198,95
8	25	151610	43,6	1771105,28	4 713 882,46
9	30	298762	40,9	2120424,448	6 038 076,94

По результатам имитаций можно провести достаточно обстоятельный статистический анализ. В самом простом виде искомой величиной будет выступать процент имитаций, в которых проект получил отрицательное значение. Этот показатель будет характеризовать степень риска, связанного с рассматриваемым инвестиционным проектом.

Более подробно механизм применения имитационного моделирования представлен в книге: Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений: Учебн. пособие для вузов. — М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998.

Метод построения дерева решений

Управляющему нужно принять решение о целесообразности приобретения либо станка M1, либо станка М2. Станок М2 более экономичен, что обеспечивает больший доход на единицу продукции, вместе с тем он более дорогой и требует относительно больших накладных расходов (руб.):

Таблица 21

Исходная информация

Показатель	Постоянные расходы, руб.	Операционный доход на единицу продукции, руб.
Станок Ml	15000	20
Станок М2	21000	24

Этап 1. Определение цели.

В качестве критерия выбирается максимизация математического ожидания прибыли.

Этап 2. Определение набора возможных действий для рассмотрения и анализа (контролируются лицом, принимающим решение).

Управляющий может выбрать один из двух вариантов:

а₁ - {покупка станка M1}

а₂ - {покупка станка M2}

Этап 3. Оценка возможных исходов и их вероятностей (носят случайный характер).

Управляющий оценивает возможные варианты годового спроса на продукцию и соответствующие им вероятности следующим образом:

х₁ = 1200 единиц с вероятностью 0,4 Р(х₁) = 0,4;

х₂ = 2000 единиц с вероятностью 0,6 Р(х₂) = 0,6

Этап 4. Оценка математического ожидания возможного дохода. Выполняется с помощью дерева решений.

Из приведенных на схеме данных можно найти математическое ожидание возможного исхода по каждому проекту:

E(R_a1) = 9000 * 0,4 + 25 000 * 0,6 = 18 600 руб.

E(R_a2) = 7800 * 0,4 + 27 000 * 0,6 = 19 320 руб.

Таким образом, вариант с приобретением станка М2 является экономически более целесообразным.

Рис. 7 Использование метода построения дерева решений в экономическом анализе

Линейное программирование

Суть метода линейного программирования заключается в поиске мак­симума или минимума выбранной в соответствии с интересами аналити­ка целевой функции при имеющихся ограничениях. Примеры использо­вания данного метода и технику расчетов можно найти в монографичес­кой и учебной литературе (см., например, Ковалев В.В., Волкова О.Н. Анализ хозяйственной деятельности пред­приятия. — М.: Проспект, 2000).

Математическая теория игр

Рассмотрим применение теории игр на ситуационном примере.

Общеизвестно, что природные условия нередко сказываются и на эффективнос­ти работы промышленных предприятий.

Возьмем для примера швейную фабрику, выпускающую детс­кие платья и костюмы, сбыт которых зависит от состояния пого­ды.

Затраты фабрики в течение апреля - мая на единицу продук­ции составили: платья - 8 денежных единиц, костюмы — 27 денежных единиц, а це­на реализации равняется соответственно 16 и 48. По данным наб­людений за прошлое время, фабрика может реализовать в тече­ние этих месяцев в условиях теплой погоды 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде — 625 платьев и 1000 костюмов.

Задача заключается в максимизации средней величины дохо­да от реализации выпущенной продукции с учетом капризов по­годы. Фабрика располагает в этих ситуациях двумя следующими стратегиями: в расчете на теплую погоду (стратегия А); в расчете на холодную погоду (стратегия В).

Если предприятие примет стратегию А, т. е. продукция, со­ответствующая теплой погоде (стратегия природы — С), будет полностью реализована, то доход фабрики в этой ситуации сос­тавит:

600 * (48 - 27) + 1975 * (16 - 8) = 28 400 ден. ед.

Если продажа осуществляется в условиях прохладной погоды (стратегия природы – условно названа D), то костюмы будут проданы полностью а платья только в количестве 625 шт. Доход предприятия в данном случае составит:

600 * (48 - 27) + 625 * (16 - 8) - (1975 - 625) * 8 = 6800 ден. ед.

Аналогично определим доход предприятия в случае применения им стратегии В.

Стратегия B в условиях холодной погоды даст следующие результаты:

1000 * (48 - 27) + 625 * (16 - 8) = 26 000 ден. ед.

Для условий теплой погоды доход фабрики определится в сумме:

600 * (48 - 27) + 625 * (16 - 8) - (1000 - 600) * 27 = 6800 ден. ед.

Рассматривая предприятие (Р1) и природу (Р2) в качестве двух игроков, получим так называемую платежную матрицу следующего вида (табл. 22).

Таблица 22

Платежная матрица

Игроки	Р2 (природа)
	стратегия	стратегия С	стратегия D	min по строкам
Р1 (предприятие)	Стратегия А	28 400	6 800	6 800
	Стратегия В	6 800	26 000	6 800
	mах по столбцам	28 400	26 000

Из платежной матрицы видно, что игрок Р1 (предприятие) никогда не получит дохода меньше 6800. Но если погодные уcловия совпадут с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) предприятия будет составлять 26 000 или 28 400. Если игрок Р1 будет постоянно применять стратегию А, а игрок Р2 - стратегию D, то выигрыш снизится до 6800. То же самое произойдет, если игрок Р1 будет постоянно применять стратегию В, а игрок Р2 стратегию С. Отсюда вывод, что наибольший доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то стратегию А, то В. Такая стратегия называется смешанной, а ее элементы - (А и В) - чистыми стратегиями.

Оптимизация смешанной стратегии позволит игроку Р1 всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии игрока Р2. Для иллюстрации этого продолжим начатый пример.

Обозначим частоту применения игроком Р1, стратегии А через х, тогда частота применения им стратегии В будет равна (1 - х).

Если игрок Р1 применяет оптимальную смешанную страте­гию, то и при стратегии С (теплая погода), и при стратегии D (холодная погода) игрока Р2 он должен получить одинаковый средний доход:

28 400х + 6800*(1 - х) = 6800*х + 26000*(1-х), таким образом:

х=8/17;

1 – х = 9/17

Действительно, при стратегии С игрока Р2 средний доход предприятия составит:

при стратегии D игрока Р2 средний доход предприятия составит:

Следовательно, игрок Р1 применяя чистые стратегии А и В в соотношении 8 : 9, будет иметь оптимальную смешанную страте­гию, обеспечивающую ему вероятный средний доход в сум­ме 16 965 ден. ед.

Средний платеж (в данном случае средний доход), который получается при реализации оптимальной стратегии, называется ценой игры.

В заключение определим, какое количество платьев и костю­мов предприятие должно выпускать для максимизации своего дохода:

Значит, оптимальная стратегия предприятия означает выпуск 812 костюмов и 1260 платьев; тогда при любой погоде средний доход предприятия составит 16 965 ден. ед.

Анализ чувствительности

Общеизвестно, что на прибыль от продаж воздействуют такие факторы, как цена реализации, объем продаж, переменные и постоянные затраты.

Напомним, что к переменным затратам относятся такие, которые изменяются в зависимости от увеличения или уменьшения объема производимой продукции. К ним относятся расходы на закупку сырья и материалов, заработную плату основного производства рабочих (при наличии сдельной системы оплаты труда) и другие.

При теоретических расчетах предполагается, что общие переменные затраты пропорциональны объему производимой продукции.

К постоянным затратам относятся затраты, которые можно принять как независящие от объема производимой продукции (амортизационные отчисления, выплата процентов за кредит, арендная плата, содержание управленческого персонала и другие административные расходы).

Определение чувствительности изменения прибыли к изменению цены реализации, объема продаж, переменных и постоянных затрат осуществляется на базе расчета эффекта операционного рычага.

К числу устойчивых экономических закономерностей относится то факт, что любое натуральное изменение выручки от продаж продукции и услуг вызывает еще более сильное изменение прибыли. Это явление получило название эффекта производственного левереджа (или операционного рычага).

Поясним это на примере.

Предприятие выпускает продукцию А.

В первый год переменные затраты составили 20 тыс. рублей, а постоянные затраты 2,5 тысячи рублей. Выручка от продажи продукции 30 тыс. рублей. Следовательно, прибыль равна: 30 тыс. руб. – 22,5 тыс. руб.=7,5 тыс. рублей.

Далее предположим, что во втором году в результате увеличения выпуска продукции на 15% возросли одновременно на ту же величину переменные затраты и объем продаж.

В этом случае переменные затраты составят 20 * 1,15 = 23 тыс. рублей, а выручка 30 * 1,15= 34,5 тыс. рублей. При неизменности постоянных затрат общие затраты будут равны: 23 тыс. руб.+2,5 тыс. руб. = 25,5 тыс. руб., а прибыль составит: 34,5 тыс. руб. – 25,5 тыс. руб. = 9 тыс. рублей.

Сопоставив прибыль первого и второго года, получим следующий результат: 9 тыс. руб. : 7,5 тыс. руб. = 1,2 (120%), то есть при увеличении объема реализации на 15% наблюдается рост объема прибыли на 20% - это и есть результат воздействия операционного рычага.

Для выполнения практических расчетов по выявлению зависимости изменения прибыли от изменения объема продаж предлагается следующая формула:

(36)

где:

- сила воздействия производ. рычага;

- цена единицы продукции;

- количество единиц проданной продукции;

- объем продаж в денежном выражении;

- общая величина постоянных затрат;

- общая величина переменных затрат;

- маржинальная прибыль, определяемая как разница между выручкой и переменными затратами;

- прибыль от продаж (прибыль от реализации продукции, операционная прибыль).

Для нашего случая сила воздействия производственного рычага по объему продаж в первый год равна:

Величина С=1,333 означает, что с увеличением выручки от продаж, допустим на 15% (как в рассматриваемое случае) прибыль возрастает на 1,333 * 0,15= 20%

Иначе говоря с ростом натурального объема продаж на 1% прибыль от продаж вырастет на 1,333% - это и есть воздействие операционного рычага по натуральному объему продаж.

Вместе с тем воздействие операционного рычага не ограничивается фактором натурального объема продаж. Рассмотрим альтернативные показатели операционного рычага:

Сила воздействия операционного рычага по цене:

(37)

Сила воздействия операционного рычага по переменным затратам:

(38)

Сила воздействия операционного рычага по постоянным затратам:

(39)

Универсальное уравнение для анализа чувствительности при­были при изменении одновременно четырех факторов (объема продаж, цены, переменных и постоянных затрат) имеет следую­щий вид:

(40)

где ∆N, ∆P, ∆З_пер, ∆З_пост – изменение натурального объема продаж, цены, переменных затрат, постоянных затрат;

Рассмотрим практический пример. Проведем анализ чувствительности прибыли к изменению определяющих ее величину факторов. Имеются следующие дан­ные о цене, объемах продаж и структуре затрат предприятия.

Таблица 23

Исходная информация для анализа чувствительности

Наименование показателя	Ед. изм.	Значение
Объем продаж	тыс.ед.	200
Постоянные затраты	тыс. руб.	400
Переменные затраты	руб./ед.	6
Цена	руб./ед.	8,5

На основании имеющейся информации

1. Рассчитаем величину прибыли предприятия при сложив­шихся пропорциях цены, объема производства (продаж), посто­янных и переменных затрат;

2. Рассчитаем силу воздействия операционного рычага по каж­дому фактору;

3. Проанализируем влияние на прибыль предприятия изме­нения рассматриваемых факторов на +20,0% (с шагом в 5,0%).

Рассчитаем величину прибыли предприятия:

П_рп = 200 * (8,5 - 6,0) - 400,0 = 100,0 тыс. руб.

Рассчитаем силу воздействия операционного рычага для каждого из факторов:

- сила воздействия операционного рычага по цене:

c_p = 8,5*200/100=17

- сила воздействия операционного рычага по переменным затратам:

c_пер = 6*200/100=12

- сила воздействия операционного рычага по постоянным затратам:

c_пост = 400/100=4

- сила воздействия операционного рычага по натуральному объему продаж:

c_n = (400+100)/100=5

Таблица 24

Данные зависимости прибыли от изменения различных факторов

Анализируемые факторы	Сила воздей­ствия операционно­го рычага по фактору	Процентное изменение прибыли при изменении фактора на:
		-20%	-15%	-10%	-5%	5%	10%	15%	20%
Цена	+ 17	-340%	-255%	-170%	-85%	85%	170%	255%	340%
Пере­менные затраты	-12	240%	180%	120%	60%,	-60%	-120%	-180%	-240%
Постоян­ные за­траты	-4	80%	60%	40%	20%	-20%	-40%	-60%	-80%
Объем продаж	+ 5	-100%	-75%	-50%	-25%	25%	50%	75%	100%

Приведенные данные интерпретируются следующим образом. Наибольшее влияние на прибыль в конкретном примере оказыва­ет цена (c_p =17,0). На втором месте по влиянию на при­быль — переменные затраты c_пер=12). Далее следуют объем продаж c_n =5 и постоянные затраты c_пост =4

Таким образом, с помощью приведенных уравнений можно оперативно осуществлять контроль изменения прибы­ли при изменении различных факторов. Между тем в практичес­ких целях чаще необходимо решать обратную задачу, а именно: задаваясь желательным результатом, определять, что нужно сделать, чтобы добиться этого результата.

В контексте рассматриваемой проблемы управления операци­онной прибылью задачу следует сформулировать следующим об­разом: на какой процент необходимо изменить объем продаж для сохранения прибыли на заданном уровне при изменении раз­личных факторов.

Для проведения подобных расчетов необходимо воспользоваться следующими формулами расчета объема продаж (К_{компенс}), соответствующего влиянию изменяемого фактора:

Если изменяется цена реализации (41):

Если изменяются постоянные издержки (42):

Если изменяются переменные издержки (43):

Проведем расчет компенсирующего прироста объема про­даж при изменении факторов. Для иллюстрации возможностей практического использования приведенного уравнения исполь­зованы условия предыдущего примера. Расчет компенсирующего прироста объема продаж приведен в табл. 25.

Предположим, цена на продукцию увеличится на 5 %. Определим величину объема продаж, которое компенсирует влияние указанного фактора, воспользовавшись формулой 41

Исходная маржинальная прибыль: 8,5*200-6*200=500 тыс. руб.

Маржинальная прибыль после воздействия фактора 8,5*1,05*200-6*200=585 тыс. руб.

Доля маржинальной прибыли в выручке после воздействия фактора роста цен =585/(8,5*1,05*200)=0,3277

К_{компенс}=500/0,3277/(8,5*1,05)=170,94 тыс.шт.

Таким образом, предприятие при росте цен на 5% может снизить объем продаж до 170 тыс. 940 шт., т.е. на 14,5%. Указанная информация представлена в таблице. При снижении объема реализации менее чем на 14,5% предприятие в результате повышения цены получит дополнительную прибыль. Если же объем реализации снизится более чем на 14,5%, то предприятие лишится части запланированной прибыли.

Проверим сказанное расчетом: снижение объема продаж на 14,5% в абсолютном выражении составит 29 тыс. единиц. Таким образом, величина прибыли от продаж, полученная при одновременном снижении объема продаж на 14,5% и росте цен на 5 % составит:

(8,5*1,05)*171-171*6-400=100,18 тыс. руб., что соответствует условиям исходного примера.

Расчетным путем проверим правомерность использования формулы 42. Предположим, постоянные издержки выросли на 5%. Определим величину объема продаж, которое компенсирует влияние указанного фактора, воспользовавшись формулой 42.

Маржинальная прибыль после воздействия фактора 100+400*0,05=520 тыс. руб.

Исходная доля маржинальной прибыли в выручке =500/(8,5*200)=0,2941176

К_{компенс}=520/0,29411176/8,5=208 тыс. шт.

Таким образом, предприятие при росте постоянных расходов на 5% для сохранения прежней прибыли должно повысить объем продаж до 208 тыс., т.е. на 4%.

Проверим сказанное расчетом: рост объема продаж на 4% в абсолютном выражении составит 8 тыс. единиц. Таким образом, величина прибыли от продаж, полученная при одновременном росте объема продаж на 4% и увеличении постоянных расходов на 5%, составит.

8,5*(208)-208*6-400*1,05=100 тыс. руб., что соответствует условиям исходного примера.

Расчетным путем проверим правомерность использования формулы 43. Предположим переменные издержки выросли на 5%. Определим величину объема продаж, которое компенсирует влияние указанного фактора, воспользовавшись формулой 43.

Исходная маржинальная прибыль = 8,5*200-6*200=500 тыс. руб.

Маржинальная прибыль после воздействия фактора = 8,5*200-6*1,05*200=440 тыс. руб.

Доля маржинальной прибыли в выручке после воздействия фактора =

440/1700=0,2588243

К_{компенс}=500/0,258823/8,5=227,27 тыс. шт.

Таким образом, предприятие при росте переменных расходов на 5% для сохранения прежней прибыли должно повысить объем продаж до 227,27 тыс. шт., т.е. на 13,6%.

Проверим сказанное расчетом: рост объема продаж на 13,6% в абсолютном выражении составит 227,27 тыс. единиц. Таким образом, величина прибыли от продаж, полученная при одновременном росте объема продаж на 13,6% и увеличении постоянных расходов на 5%, составит.

8,5*227,27 - 6*1,05*227,27 – 400 =100 тыс. руб.

Таблица 25

Компенсирующие объемы реализации при изменении анализируемых факторов

Анализируемые факторы	Сила воздей­ствия операционно­го рычага по фактору	Компенсирующие изменение объема продаж при изменении фактора, %
		-20%	-15%	-10%	-5%	5%	10%	15%	20%
Цена	+ 17	212,5%	104,1%	51,5%	20,5%	-14,5%	-25,4%	-33,8%	-40,5%
Пере­менные затраты	-12	-32,4%	-26,5%	-19,4%	-10,7%	13,6%	31,6%	56,3%	92,3%
Постоян­ные за­траты	-4	-16,0%	-12,0%	-8,0%	-4,0%	4,0%	8,0%	12,0%	16,0%
Объем продаж	+ 5

К семинару: Ручной расчет показателей чувствительности достаточно трудоемок. Предложите структуру шаблона листа MS «Excel», который поможет ускорить процедуру расчета в условиях изменения переменных и оперативно использовать алгоритм расчета с полной заменой исходной информации.