Математика-2-й семестр (курс лекций)

Рассмотрим сложную функцию ( f )(x) f ( (x)) . Как бы-

ло показано в п. 2.4,

( f ) (x) ( f )( x) (x) .

Умножив обе части этого равенства на dx , получим

( f ) (x) dx ( f )(x) (x) dx f ( (x)) (x) dx

f ( (x)) d (x) ,

или, выписывая крайние члены этой цепочки равенств,

( f ) (x) dx f ( (x)) d (x) .

Свойство, заключенное в последнем соотношении и состоящее в том, что для зависимой и независимой переменных первый дифференциал функции записывается одинаково, называется

инвариантностью формы первого дифференциала. Это свойст-

во широко используется при замене переменных в интегральном исчислении.

Применяя свойство инвариантности дифференциала, можно составить таблицу дифференциалов сложных функций:

где u u(x) – любая дифференцируемая функция.

Используя последнюю таблицу, можно находить дифференциал функции, не находя предварительно производной.

Пример 3. Найти dy , если y (arcsin x)5 . Имеем

dy 5(arcsin x)4 d arcsin x 5(arcsin x)4 dx .

1 x2

По определению дифференцируемости

f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) dx (x0 , dx) ,

151

где (x0 , dx) – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем dx . Тогда в близкой к x0 точке x0 dx

f (x0 dx) f (x0 ) f (x0 ) dx (x0 , dx) .

Отбрасывая член (x0 , dx) , имеем

f (x0 dx) f (x0 ) f (x0 ) dx

с полученной от замены приращения дифференциалом ошибкой, равной (x0 , dx) .

Пример 4. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислить arctg0,97 .

1 2 0,04 0 0,02 1,08.

2.13. Дифференциалы высших порядков

Определим дифференциал второго порядка как дифференциал от дифференциала первого порядка, то есть d 2 f d(df ) .

По индукции положим d n f d(d n 1 f ) .

152

Получим формулы для вычисления дифференциала второго и, по возможности, n -го порядков.

Случай 1. Пусть f – функция одной переменной, тогда d 2 f d(df ) d( f (x)dx) f (x)(dx)2 f (x)d 2 x.

d n f f (n) (x) dxn;

б) x есть функция независимой переменной t : x x(t) . По

Сравнивая выражения (2.32) и (2.33) для дифференциала второго порядка, заключаем, что он не обладает свойством инвариантности.

153

относительно dx1, dx2 ,..., dxn . В частности, для функции двух

154

Пример 3. Найти d 2 f для функции f (x, y) 2x2 y3 sin xy . Так как

d 2 f (4y3 y2 sin xy)dx2 2(12xy2 cosxy xysin xy)dxdy

(12x2 y x2 sin xy)dy2.

Следует отметить, что мы получили квадратичную форму относительно dx и dy с матрицей

2.14. Формула Тейлора

Если f – скалярная функция одной или многих переменных, имеющая определённые в некоторой окрестности точки x0 производные до порядка n 1 включительно, непрерывные в точке x0 , то её приращение в точке x0 , вызванное приращением аргумента x , можно представить в виде

155

Соотношение (2.35) называется формулой Тейлора для функции f в точке x0 . Величина Rn 1(x, x0 ) называется остаточным

членом. Можно доказать, что Rn 1(x, x0 ) имеет порядок мало-

сти относительно x выше n . Справедливость формулы (2.35) для скалярных функций одного аргумента мы докажем при изучении рядов Тейлора.

Пусть f (x) – скалярная функция одного скалярного аргу-

где – некоторая точка, лежащая между x и x0 .

В такой записи Rn 1(x, x0 ) называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. При x0 0 формула Тейлора носит название формулы Маклорена для функции f .

Для скалярной функции двух переменных формула (2.35) принимает вид

156

Аналогичное соотношение можно записать для скалярной функции любого числа переменных.

Совершенно очевидным является применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях.

Важнейшими разложениями по формуле Маклорена являются:

Эти разложения легко получить, используя формулы для произ-

(x )(n) ( 1) ( n 1)x n .

157

2.15. Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной

В этом подразделе сосредоточены теоремы, лежащие в основе применений дифференциального исчисления.

Докажем вначале лемму.

Лемма. Пусть скалярная функция f одной переменной имеет в точке x0 конечную производную. Если f (x0 ) 0 , то существует окрестность U (x0 ) точки x0 такая, что f (x) f (x0 ) для всех x из правосторонней её части U (x0 ) и f (x) f (x0 ) для всех x из левосторонней

части U (x0 ) . Если f (x0 ) 0 , то в соответствующих по-

луокрестностях выполнены противоположные неравенства.

Доказательство. По определению производной скалярной функции одной переменной

и если f (x0 ) 0 , то существует окрестность U (x0 ) точки x0 , для всех точек x которой выполнено неравенство

f(x) f (x0 ) 0 , x x0

доказывающее утверждение леммы.

Определение 1. Говорят, что точка x0 D есть точка локального максимума функции f , если существует окрестность U (x0 ) точки x0 такая, что для всех x из U (x0 ) выполнено неравенство f (x) f (x0 ) .

Аналогично определяется точка локального минимума с заменой неравенства на противоположное. Предлагается сформулировать это определение самостоятельно.

Докажем следующую теорему.

Теорема 2.5 (Ферма). Пусть функция f определена на множестве (a,b) и точка этого множества является

158

точкой локального максимума или локального минимума функции f . Тогда, если существует производная f ( ) в

этой точке, то она равна нулю.

Доказательство. Пусть точка – точка максимума функции f и f ( ) 0 . Тогда либо f ( ) 0 , либо f ( ) 0 . Будем считать для определенности, что f ( ) 0 . Тогда, по лемме, f ( ) f (x) для всех x из некоторой правосторонней окрестности U ( ) точки , что приводит к противоречию с определением наибольшего значения. Аналогично получаем противоречие и при f ( ) 0 . Теорема доказана.

Теорема 2.6 (Ролля). Пусть

1)f (x) определена и непрерывна на отрезке a, b ;

2)существует производная f (x) , по крайней мере, в интервале (a,b) ;

3)f (a) f (b) .

Тогда существует точка из интервала (a,b) такая, что f ( ) 0 .

Доказательство. Так как f (x) непрерывна на a, b , то по

второй теореме Вейерштрасса она принимает на нем свои наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их M и m . Рассмотрим два случая.

1. M m . Тогда f (x) M для всех x из a, b и f (x) 0 на (a,b) , т.е. в качестве точки может служить любая точка из промежутка (a,b) .

2. M m . Оба эти значения достигаются. Так как по условию теоремы f (a) f (b) , то по крайней мере одно из них

достигается во внутренней точке . Тогда это точка максимума или минимума функции f (x) , и, по теореме Ферма, в этой точке f ( ) 0 . Теорема доказана.

Теорема 2.7 (Лагранжа). Пусть

1)f (x) определена и непрерывна на отрезке a, b ;

2)существует производная f (x) на интервале (a,b) .

159

Тогда между a и b найдется точка такая, что

f (b) f (a)

b a

f ( ) .

Замечание. Вспоминая геометрический смысл производной можем сказать, что при выполнении условий теоремы существует между a и b точка в которой касательная параллельна прямой соединяющей точки (a, f (a)) и (b, f (b)) .

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Действительно, F(b) F(a), F (x) существует, так как

где 0 0 .

В форме (2.38) теорема Лагранжа носит название теоремы о конечных приращениях. Теорема Лагранжа может быть обобщена для производных по направлению функции многих переменных [2-6].

Теорема 2.8 (Коши). Пусть

160