3. Нелинейные зависимости

Как проводить анализ данных, если функция спроса не является линейной? Есть два подхода – параметрический и непараметрический.

В первом случае подбираем подходящее семейство функций и по результатам измерения (опроса) оцениваем параметры. Степенное семейство:

D^**(p) = cp^α_.

При этом полезно преобразование переменных, приводящее задачу к линейному виду. В случае степенного семейства необходимо прологарифмировать обе части последнего равенства. Тогда получим:

ln D^**(p) = ln c + lnp.

Затем обозначим:

у = ln D^**(p), x = ln p, d =ln c.

Исходя из введенных обозначений, имеем линейное уравнение:

у = x + d.

Задача оценивания параметров степенной зависимости сведена к ранее рассмотренной задаче оценивания параметров линейной функции.

Теперь перейдем к обработке данных опроса с помощью метода наименьших квадратов. Для начала необходимо составить таблицу исходных данных – пар чисел (x = ln p, у = ln D(p)) также в порядке возрастания значений параметра x (см. табл. 5 на следующей странице). Далее рассчитаем прогностическую степенную функцию.

Таблица 5.

Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов.

i	Цена Pi	Спрос D(pi)	xi=ln(pi)	yi=ln D(pi)	fi	xi fi	yi fi	yi2fi	xi yi fi
1	3000	50	8,006368	3,912023	4	32,02547	15,64809202	256,4076865	125,2843765
2	4000	46	8,29405	3,828641	2	16,5881	7,657282793	137,5825189	63,50988359
3	5000	44	8,517193	3,78419	7	59,62035	26,48932744	507,798059	225,6147193
4	7000	37	8,853665	3,610918	1	8,853665	3,610917913	78,38739151	31,96985909
5	7500	36	8,922658	3,583519	1	8,922658	3,583518938	79,61383113	31,974515
6	8000	35	8,987197	3,555348	2	17,97439	7,110696123	161,5394134	63,90522559
7	9500	33	9,159047	3,496508	1	9,159047	3,496507561	83,88814337	32,02467736
8	10000	32	9,21034	3,465736	11	101,3137	38,12309493	933,1340674	351,1266803
9	11000	21	9,305651	3,044522	1	9,305651	3,044522438	86,59513219	28,3312619
10	15000	20	9,615805	2,995732	10	96,15805	29,95732274	924,6371503	288,0637881
11	17000	10	9,740969	2,302585	1	9,740969	2,302585093	94,88646972	22,42940914
12	20000	9	9,903488	2,197225	4	39,61395	8,788898309	392,3162628	87,04074501
13	22000	5	9,998798	1,609438	1	9,998798	1,609437912	99,97595609	16,09244415
14	25000	4	10,12663	1,386294	1	10,12663	1,386294361	102,5486575	14,0384916
15	40000	3	10,59663	1,098612	1	10,59663	1,098612289	112,2886677	11,64159314
16	50000	2	10,81978	0,693147	2	21,63956	1,386294361	234,1352042	14,99939762
∑					50	461,6377	155,2934052	4285,734612	1408,047067
∑/n						9,232753	3,105868104

Найдем оценки параметров α и b:

b = 3,106; d* = b - ax_ср.= 3,106 – (- 1,093)*9,23 = 13,198.

Получили выражение:

у = - 1,093x + 13,198

α = - 1,093;

ln c =13,198 – значит, c = e^13,198 = 539094,27.

Степенная функция имеет вид:

D^**(p) = 539094,27p^{- 1,093}

Графики степенной и выборочной функций спроса можно увидеть на рис.3. на следующей странице.

Рис.3. Выборочная и степенная функции спроса

Определим оптимальную розничную цену p_опт.3 при различных значениях оптовой цены:

(p-p₀)D**(p) → max

Для случая степенной зависимости:

(p-p₀) cp^α → max

Точка, в которой достигается максимум, не меняется при умножении максимизирующей функции на константу. Поэтому задача принимает следующий вид:

(p-p₀) p^α = h(p) → max

Для нахождения максимума функции продифференцируем ее и приравняем производную к нулю:

h’(p) = αp^α-1(p-p₀)+p^α = p^α-1[α(p-p₀)+p]

(1+α)p = αp₀

Получаем формулу для расчета оптимального значения розничной цены, максимизирующего прибыль:

Сравним (табл.6) оптимальные цены, найденные с помощью метода степенной аппроксимации (p_опт.3) и рассчитанные ранее с помощью первого метода (p_опт.1).

Таблица 6.

Сравнение методов расчета оптимальной цены.

p0	pопт.3	pопт.1
2000	23505,38	15000
5000	58763,44	15000
8000	94021,51	15000
13000	152784,95	40000
21000	246806,45	50000

Как можно заметить из табл.6, значения оптимальных цен p_опт.3, найденные с помощью метода степенной аппроксимации, сильно отличаются от значений p_опт.1 и при увеличении значения оптовой цены p₀ резко возрастают. Это связано с тем, что функция, полученная при методе степенной аппроксимации, имеет вид гиперболы и, посмотрев на рис.3, можно заметить, что при увеличении цены график степенной функции не уходит в зону отрицательного спроса (как в случае с восстановленной линейной зависимостью), а бесконечно стремиться к асимптоте – оси абсцисс. Поэтому, если бесконечно увеличивать значение оптовой цены и рассчитывать для него оптимальную розничную цену, то полученные значения оптимальных цен тоже будут бесконечно возрастать и не входить в интервал цен от 3000 до 50000, полученный в результате опроса. Можно сделать вывод о том, что расчет оптимальных цен в методе линейной аппроксимации более точен, чем расчет оптимальных цен в методе степенной аппроксимации.