Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени н.Э. Баумана» (мгту им. Н.Э.Баумана)

________________________________________________________________________

Факультет

«Специальное машиностроение»

Домашнее задание по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант № 15

ИСПОЛНИТЕЛЬ

студент гр. СМ 10-71 Стрельченко Кирилл

1	2	3	4	5	6

Москва 2020

Задача 1.

Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в табличном виде:

pij		xi
		0	2	5
yj	0	1/9	1/9	1/9
	2	0	1/6	1/6
	5	0	0	1/3

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

1)Найти центр рассеивания случайного вектора (X, y).

Условия нормировки выполняется:

1/9+1/9+1/9+1/6+1/6+1/3=1/3+1/3+1/3=1.

Сложим вероятности по столбцам, получим закон распределения Х:

X	0	2	5
рX	1/9	1/9+1/6=5/18	1/9+1/6+1/3=11/18

Сложим вероятности по строкам, получим закон распределения Y:

Y	0	2	5
рY	3/9	2/6	1/3

Математическое ожидание Х: M(X)=∑x_i*p_xi=0* +2* +5* =3,6111=

Математическое ожидание Y: M(X)=∑y_j*p_yj =0* +2* +5* =2,333=

Центр рассеивания случайного вектора (X, Y): M(X,Y)=(M(X),M(Y))=(9 ,6 ) 2) Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

Найдем закон распределения X при условии Y=2.

Условные вероятности X: p(X=x_i/Y=2)=

P(X=0/Y=2)=

P(X=0/Y=2)=

P(X=0/Y=2)=

X	0	2	5
p(X/Y=3)	0	1/2	1/2

M(X/Y=2)= 0*0+2* +5* =3,5

D(X/Y=2)= 0²*0+2²* 5²* =9

3) Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Найдем ковариацию X и Y.

K(X,Y)=K(Y,X)=M((X-M(X))(Y-M(Y))= = =1,41

Найдем дисперсии X и Y по одномерным законам распределения.

D(X)=M((X-M(X)²)= p_xi-(M(X))²=0²* +2²* +5²* – ( )²= = = 3,35

D(Y)=M((Y-M(Y))²= p_xi – (M(Y))² = 0²* +2²* +5²* – ( )² = = 4,2

Ковариационная матрица .

K =( )

Коэффициент корреляции r_XY = r_YX = = = 0,38

Корреляционная матрица C =( ) = ( )

4) Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

1) Случайная величина X+Y принимает значения с вероятностями .

xi	0			2			5
yj	0	2	5	0	2	5		0	2	5
xi +y j	0	2	5	2	3	7		5	7	10
p i j	1/9	0	0	1/9	1/6	0		1/9	1/6	1/3

Объединяем повторяющиеся значения (если они есть), суммируя их вероятности. Значения, вероятности которых равны 0, исключаем.

Закон распределения X+Y:

X+Y	0	2	5	3	7	10
pX+Y	1/9	1/9	1/9	1/6	1/6	1/3

Контроль: .

2) Случайная величина XY принимает значения с вероятностями .

xi	0			3			5
yj	0	3	4	0	3	4	0	3	4
xi  y j	0	0	0	0	9	12	0	15	20
p i j	1/9	0	0	1/9	1/6	0	1/9	1/6	1/3

xi	0			2			5
yj	0	2	5	0	2	5	0	2	5
xi  y j	0	0	0	0	4	10	0	10	25
p i j	1/9	0	0	1/9	1/6	0	1/9	1/6	1/3

Объединяем повторяющиеся значения (если они есть), суммируя их вероятности. Значения, вероятности которых равны 0, исключаем.

Закон распределения XY:

XY	0	4	10	25
pX+Y	1/3	1/6	1/6	1/3

Контроль: .

Задача 2.

Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеют совместное равномерное распределение внутри области G = {(x, y) | –0 x  5, –5  y  2}.