студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

пустимую (для наблюдения интерференционной картины) разность хода можно оценить из условия: 2 $, здесь — значение , при котором функция «огибающей» (выражение в квадратных скобках) обращается в нуль:

Сопоставляя выражения для максимально допустимой разности хода, полученные при временном ( >0) и спектральном (формула (7.39)) подходах, находим связь между шириной спектра и временем корреляции >0

Сужение спектра приводит, согласно (7.41), к увеличению времени когерентности >0, т. е. к увеличению длительности цу-

гов; наоборот, чем короче цуги, тем шире спектр — таков смысл соотношения (7.41), называемого соотношением неопределенностей.

Выражая ширину спектрального интервала в длинах волн, имеем для и следующие соотношения:

4. Излучение стабилизированного газового лазера

1010; 5 км

Соотношение неопределенностей (7.41) получилось не случайно. Оно является следствием общей связи, существующей

между функцией когерентности > и спектральной интенсивностью . К нахождению этой связи мы и перейдем.

Вернемся к соотношению (7.37), представив правую часть равенства в виде

: 2 2

7

Интеграл в первом слагаемом представляет собой суммарную интенсивность света в каждой из интерферирующих волн:

:0,

(т. е. первое слагаемое 2:0 — это сумма интенсивностей слагаемых волн). Второе слагаемое перепишем в виде

2 2 Re D # %

7

Таким образом, вместо (7.37) имеем

Сравнивая полученное выражение с (7.33), найдем

D # % :05 > >

Итак, функция — распределение энергии по спектру — является преобразованием Фурье функции когерентности >

Понятно, что соотношение неопределенностей (7.41), связывающее ширину спектра со временем когерентности, являет-

ся следствием общей связи (7.43).

Замечание. Качественно ясно, почему с ростом ширины спектра излучения контраст интерференционных полос уменьшается. Это связано с тем, что полосы, отвечающие разным частотам (разным длинам волн), имеют разную ширину ( *). Полосы, отвечающие б´ольшим длинам волн, более широкие, поэтому с ростом порядка полосы (т. е. с ростом разности хода) смещение полос одинакового порядка , отвечающее разным , постепенно нарастает. Наконец, наступает ситуация, когда на 1 -ю полосу длины волны налагается -я полоса длины волны , т. е.

1

7.7 ] Пространственная когерентность и интерференционные явления 553

При дальнейшем росте полосы практически исчезают: на минимум интенсивности одной длины волны налагается максимум какой-либо другой длины волны из спектрального диапазона излучения. Суммарная картина интенсивности усредняется. Из последнего равенства получаем уже знакомую нам оценку максимального порядка интерференции .

7.7. Пространственная когерентность и интерференционные явления при использовании протяженных источников

До сих пор речь шла о том, как на интерференционных явлениях сказывается отличие реальной волны от строго монохроматической. При этом источники света считались точечными (содержащими однако огромное число излучающих атомов).

Понятие «точечный источник» — идеализация, ничуть не меньшая, чем понятие «монохроматический источник». Все источники света имеют определенную протяженность, а это приводит к возникновению интерференционной картины меньшей контрастности, чем это следует из приведенных ранее расчетов. Как показывает опыт, при увеличении размеров источника видность интерференционной картины постепенно уменьшается и при достаточно больших размерах интерференционные полосы исчезают вовсе. Легко качественно понять характер изменения видности полос при изменении размеров источника, если исхо-

дить из представления о том, что протяженный источник света — это совокупность большого количества независимых источников

Некогерентность излучения разных точек (малых элементов9) протяженного источника означает, что при расчете интерференционой картины необходимо найти распределение интенсивности, создаваемое каждой точкой, а затем сложить интенсивности.

Пусть источник 9 и плоскость наблюдения в опыте английского физика Т. Юнга (1773–1829) удалены от экрана с отверстиями 91 и 92 настолько, что волны, приходящие от каждого малого элемента источника к этим отверстиям, а также волны, приходящие к плоскости наблюдения от этих отверстий,

21 22 2

Отметим, что при этом

21 22 2 2 :

Таким образом, колебания 21 и 22 полностью когерентны.

7.7] Пространственная когерентность и интерференционные явления 555

Вслучае протяженного источника колебания в точках 91 и 92 создаются всеми точками источника, причем лишь центральная точка источника создает на отверстиях одинаковые по амплитуде и фазе колебания. Любая другая точка посылает волну, создающую на отверстиях разные по фазе колебания (просто из-за того, что она находится на разных расстояниях

от 91 и 92). Ясно поэтому, что и суммарное колебание 21 в точке 91 отличается по фазе от колебания 22 в точке 92. Это приводит, как мы увидим, к уменьшению величины

2 #121 >1 #222 >2

Как и ранее, находим

: 2 2 :1 :2 2 Re 21 22 >

Будем считать, что для всей интересующей нас области наблюдения запаздывание одной волны относительно другой > ма-

ло по сравнению со временем когерентности >0 (но конечно, может быть много больше периода светового колебания 2$ 0), > >0.

Это означает, что за время > ( 1 2) амплитуда и фаза колебания 22 не успевает заметно измениться, т. е. колебание в момент времени > состоит из той же совокупности цугов, что и в момент времени .

Тогда

72 > 72 и 22 > 72 > D# 72 D#

Вспомнив определение функции пространственной когерент-

Из (7.46) следует, что интенсивность света во всех максимумах интерференционной картины одна и та же (независимо от порядка интерференции), так как величина 12 0 не зависит от положения точки наблюдения (не зависит от > при условии что > >0), а определяется лишь апертурой интерференции (в опыте Юнга — угловым расстоянием между отверстиями 91 и 92) или, при заданном расстоянии, размерами источника. Таким образом, видность интерференционной картины одинакова во всех точках.

Вводя, как и ранее, нормированную функцию

512 0 12 0 ,

+1+2

называемую степенью пространственной когерентности, получим из (7.46)

Полученные выражения (7.47) и (7.48), определяющие интерференционную картину при использовании протяженного источника, справедливы для любой двухлучевой интерференционной схемы. Формулу (7.48) можно записать в виде

где — аргумент комплексной функции 512. Видность 2 выражается через 512 0 равенством

2 512 0

Пока мы имеем лишь качественную оценку (7.45) влияния размеров источника на видность интерференционной картины. Теперь необходимо найти количественную связь функции 512 0 с размером источника.

но из отверстий (и созданной в плоскости наблюдения малым элементом источника ), — ширина интерференционной полосы. Ясно, что нулевая полоса (соответствующая разности хода 0) находится на оси симметрии, в точке .

Из рис. 7.21 также ясно, что элемент источника, имеющий координату 0, создает картину интерференции, смещенную на расстояние 0 0 (в точку смещается нулевая полоса, соответствующая разности хода 0). Мы полагаем, что расстояния 0 и велики по сравнению с размером источника и

/2

558 Интерференция волн [ Гл. 7

Производя интегрирование (7.51), найдем

Сравнивая (7.52) и (7.49), находим степень пространственной когерентности, которая определяет видность интерференционной

картины:

92 некогерентны.

Величину 30 называют радиусом пространственной когерентности, а площадку с линейным размером называют площадкой когерентности. Вводя угловой размер источника

B 0, можно записать

Итак, колебания в любых двух точках, лежащих внутри площадки размером 30 частично когерентны, а в точках, расстояние между которыми больше 30 — некогерентны.

Возвращаясь к опыту Юнга, можно иначе, чем это сделано выше, сформулировать условия, при которых можно наблюдать интерференционную картину. Если расстояние между отверстиями 91 и 92 меньше радиуса когерентности, то интерференция наблюдается. Аналогичное условие можно сформулировать для любой интерференционной схемы: апертура интерференции должна быть меньше углового размера площадки когерентности.

Если зафиксировать расстояние между точками 91 и 92 и приближать плоскость , в которой они находятся, к источнику, то, как следует из (7.53), степень когерентности колебаний

в этих точках уменьшается. При стремлении 0 к нулю (плоскость придвинута вплотную к источнику) колебания в любых двух точках, как угодно близко расположенных, некогерентны (ведь любые две точки источника излучают некогерентно). Наоборот, с удалением плоскости колебания в точках 91 и 92 становятся все более когерентными и при достаточном удалении когерентность колебаний становится полной. Размер площадок когерентности по мере удаления от источника постепенно (пропорционально ) увеличивается. Мы видим, таким образом, что первоначально некогерентное поле излучения в процессе распространения приобретает частичную когерентность. В этом и состоит смысл соотношения (7.53).

7.8. Интерферометры и интерферометрия

Явление интерференции находит широкое применение при решении самых разнообразных физических и технических про-

блем. Используемые для этого оптические устройства называются интерферометрами (например, интерферометры Майкельсо-

на на рис. 7.13), а область оптики, исследующую возможности использования интерферометров называют интерферометрией.

Мы убедились ранее, что интерференционная картина позволяет получить информацию о временн´ой степени когерентности 5 > , а следовательно и о спектральном составе излучения . Это, в свою очередь, дает информацию о физических процессах в источнике (энергетических уровнях атомов, процессах их взаимодействия, температуре и т. д.).

С другой стороны, измерения видности интерференционной картины, созданной каким-либо протяженным источником, дают возможность определить его угловой размер. Интерференционный метод определения угловых размеров звездных объектов (либо измерения углового расстояния между компонентами двойных звезд) был предложен и реализован американским физиком А. Майкельсоном (1852–1931).

Видность интерференционной картины в фокальной плоскости объектива « » в схеме звездного интерферометра Майкельсона (рис. 7.13 е) зависит от степени когерентности колебаний на зеркалах 1 и 2 (эти колебания созданы излучением какой-либо удаленной звезды — протяженного источника света).

Расстояние E между зеркалами 1 и 2 называется базой интерферометра и может изменяться. Пока это расстояние

мало (меньше радиуса когерентности) степень когерентности колебаний в точках 1 и 2 достаточно велика и интерференционная картина в фокальной плоскости Э объектива достаточно четкая. По мере увеличения E видность картины постепенно