Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

размещения полюсов. Поскольку корням si соответствуют составляющие

собственных движений exp{si}, называемые модами – то задачу размещения корней иногда называют управлением модами, или модальным управлением.

Для структурной схемы, приведенной на рис. 5.3 введем обозначения

передаточных функций регулятора

где BR(s), AR(s), BU(s) и AU(s) – полномы степеней mR, nR, mU и nU соответст-

венно.

Положим, что модель объекта является строго собственной (mU < nU), а

полиномы BU(s) и AU(s) взаимно просты и, следовательно, описание «вход-

выход» объекта является полным. Кроме того, без потери общности примем,

что коэффициент при старшей степени полинома AU(s) равен единице.

Запишем дифференциальное уравнение объекта в операторной форме:

тельной ОС (регулятора) также запишем в общем виде в операторной форме

темы получим, если исключим переменную u(t) из уравнений (5.10) и (5.11):

Из тождества (5.14) необходимо найти операторные полиномы регуля-

тора AR(s) и BR(p). Это значит, что следует искать структуру регулятора – степени nR и mR, а также параметры регулятора – коэффициенты полиномов:

AR( s ) snR ..... a1R s a0R ;

BR( s ) bmR smR ... b1R s b0R .

Полиномиальные уравнения вида (5.14) называют диофантовыми, т.к.

полиномы, как и целые числа, образуют кольцо – алгебраическую структуру с операциями сложения, вычитания и умножения (без деления).

Для конкретизации структуры регулятора воспользуемся условием его реализуемости:

Для упрощения задачи примем mR=nR. Тогда число неизвестных пара-

метров регулятора равно

(5.16)

Из условия равенства коэффициентов полиномов А3 и А* имеем систе-

му уравнений для определения коэффициентов полиномов АR и BR.

Степень полинома А3 равна сумме степеней полиномов АR и BR., т.е.

порядок системы равен сумме порядков объекта и регулятора. Такой же должна быть и степень желаемого характеристического полинома А*. В силу того, что полиномы АU(s) и АR(s) имеют единичные старшие коэффициенты,

а степень полинома ВU(s) ВR(s) меньше степени полинома AU(s) AR(s), стар-

ший коэффициент полинома А3(s) также равен единице. Как видно из (5.13)

полином А*(s) имеет единичный старший коэффициент. Таким образом, из тождества (5.14) следует nU + nR уравнений.

Число неизвестных параметров должно равняться числу уравнений:

2nR 1 nU nR ;

откуда получим порядок регулятора:

452

А(s)=АU(s)АR(s) и В(s)=ВU(s)ВR(s) она оказывается так называемой матрицей Сильвестра. Ее определитель – результант полиномов АU(s) и ВU(s) – отли-

чен от нуля, если полиномы взаимно просты. Таким образом, задача разме-

щения корней разрешима, если характеристика вход-выход объекта является полной.

Пример 5.1. Рассмотрим стабилизацию неустойчивого объекта с передаточной функцией

Поскольку порядок объекта равен 2, из (5.17) найдем порядок (структуру) регуля-

тора nR=1. Следовательно, при mR=nR передаточная функция регулятора может быть представлена в виде

С учетом (5.18) порядок замкнутой системы равен трем, что требует назначения трех желаемых полюсов: s*1 1;s*2 2;s*3 4 В соответствии с (5.13) сформируем же-

лаемый характеристический полином

Один из корней характеристического полинома объекта (левый) оставляем на мес-

те. Характеристический полином замкнутой системы в соответствии с (5.12) для данного примера имеет вид

A3(s ) ( s2 1)(s a0R ) 1 (b1R s b0R ) s3 a0R s2 (b1R 1)s (b0R a0R ).(5.22)

Приравнивая коэффициенты полиномов (5.21) и (5.22) при одинаковых степенях

453

получим систему уравнений

решая которую, получим искомые коэффициенты регулятора, обеспечивающего заданное

имеет диполь z1=p1=-1, равный оставляемому на месте корню объекта.

Изменим положение желаемых корней системы: p1* 4; p2* 8; p3* 16. Удале-

ние корней от мнимой оси отражает стремление повысить быстродействие системы. При этом получается следующая передаточная функция регулятора

Анализ показывает, что если в первом случае частота среза ср1=2 с-1, то после до-

полнительного перемещения корней ср2=8 с-1, т.е. увеличение среднегеометрического значения корней в четыре раза привело к четырехкратному расширению полосы частот спектра. При этом значительно сокращается время регулирования, однако управляющее воздействие существенно возрастает, что не всегда реализуемо по энергетическим сооб-

ражениям.

Подбором полиномов ВR(s) и АR(s) можно получить любой желаемый характери-

стический полином системы и даже добиться понижения степени за счет взаимного унич-

тожения старших коэффициентов. При этом часть корней полинома уходит в бесконеч-

ность. Поскольку неточная компенсация может дать полиномы с малыми отрицательными коэффициентами, то часть корней переходит в правую полуплоскость. Системы, получен-

ные таким образом, оказываются негрубыми – при малейшей неточности в реализации ре-

гулятора или несоответствии объекта модели, система будет катастрофически неустойчи-

вой – характеристический полином АЗ(s) будет иметь большие по модулю правые корни.

Размещение собственных значений матрицы дифференциальных

уравнений в форме пространства состояний /7/. Пусть линейный стацио-

нарный объект описан дифференциальными уравнениями в форме Фробе-

454

где x – n-мерный вектор состояния; u – q– мерный вектор управлений (вход-

ных воздействий); A, B – матрицы размера (n n), (n q) постоянных коэффи-

циентов.

Пусть среди собственных значений матрицы А есть правые и/или силь-

но колебательные. Следовательно, такие значения необходимо переместить.

В предположении, что измеряются все переменные состояния, скаляр-

ное управляющее воздействие формируется как их линейная функция

где К – матрица-строка. Соответствующее управляющее воздействие имеет предопределенную структуру; оно безынерционно, следовательно, не повы-

шает порядка системы. Здесь решается задача параметрического синтеза – определение значений элементов матрицы обратной связи по состоянию К.

Дифференциальное уравнение системы получается в результате под-

становки (5.24) в уравнение (5.23):

Матрица замкнутой системы А–ВК должна иметь заданные собственные значения s*i ;i 1,...n . Сформируем желаемую сопровождающую матрицу

455

в которой элементами последней строки являются коэффициенты желаемого характеристического полинома (5.13) с обратными знаками.

Искомые коэффициенты регулятора легко находятся из равенства мат-

риц А* и А-ВК :

В случае ОС по состоянию порядок системы совпадает с порядком

объекта. Но это не говорит о простоте технической реализации – измерение переменных состояния часто является проблемой.

Пример 5.2. Рассмотрим вновь систему стабилизации неустойчивого объекта (5.19)

для чего представим его в форме (5.23) с матрицами

Собственные значения матрицы объекта А равны 1.

Назначим желаемые собственные значения матрицы системы: s*1=-1; s*2=-2. По ха-

рактеристическому полиному

A*(s) (s 1)(s 2) p2 3p 2

построим желаемую сопровождающую матрицу

Значения параметров регулятора равны: k1=3; k2=3. Получен так называемый про-

порционально-дифференцирующий (ПД) закон регулирования

456

Передаточная функция регулятора WR1(s)=3(s+1) не удовлетворяет условию реали-

зуемости: степень полинома числителя выше степени полинома знаменателя. Однако в данном случае реализуется регулятор состояния (5.24), который формирует управляющее воздействие по измеренным значениям производной x2=dx/dt, т.е. операция дифференци-

рования не используется.

Назначим теперь другие желаемые собственные значения: p*1= - 4; p*2= - 8. По со-

отношениям (5.28) получаются следующие значения коэффициентов ОС по состоянию:

геометрического значения желаемых корней во столько же раз ускоряет процессы и рас-

ширяет полосу пропускания. Как и ранее, форсирование процессов приводит к необходи-

мости увеличения уровня управляющих воздействий. Может оказаться, что такие управ-

ляющие воздействия нельзя реализовать из-за ограниченности ресурсов. Кроме того, как и в рассмотренном ранее примере, при больших отклонениях переменных линейные модели не адекватны реальной системе. Расширение полосы пропускания может потребовать уче-

та малых постоянных времени, например, уточнения динамических свойств исполнитель-

ного механизма и измерительно-преобразовательных элементов. Стремление к быстрому затуханию процессов – выбор больших по модулю желаемых корней, т.е. увеличение од-

ного из корневых показателей качества – степени устойчивости (быстродействия) , при-

водит к тому, что некоторые из переменных состояния и переменная управления за время процесса изменяются с большой скоростью и принимают очень большие значения. Для объяснения быстрых движений исходные модели оказываются не вполне адекватными системе – в них не учтены малые инерционности, ставшие теперь существенными. Поэто-

му при назначении желаемых собственных значений матрицы системы следует ориенти-

роваться на границы области адекватности. Кроме того, необходим анализ процессов в синтезированной системе при типовых и других начальных условиях с целью проверки допустимости отклонений переменных состояния и управления. Проблема выбора желае-

мых корней – основная проблема синтеза в описанных методиках.

457

5.2.4. Методы коррекции систем управления

Синтез систем управления из условий селективной инвариантности обеспечивает требуемую точность подавления возмущений или воспроизве-

дения задания в установившихся режимах. На этом этапе синтеза не учиты-

ваются требования к устойчивости и свободным движениям системы при не-

нулевых предначальных условиях, а также к переходным процессам, вызван-

ным приложенными воздействиями (посленачальными условиями).

Если селективная инвариантность достигнута в системе без контуров – за счет образования новых путей передачи воздействий или преобразования старых, то задачи инвариантности и устойчивости решаются независимо. Все звенья в отдельности должны быть устойчивыми или должны быть приняты меры по их стабилизации.

Если селективная инвариантность достигнута введением контуров ОС,

то решение задачи устойчивости сопряжено с анализом всей системы. Это объясняется тем, что система, контур которой образован устойчивыми звень-

ями, может оказаться неустойчивой, и наоборот. В общем случае, чем выше усиление контура, образованного устойчивыми звеньями, тем больше про-

блем с устойчивостью замкнутой системы: условия инвариантности и устой-

чивости оказываются противоречивыми.

При замыкании контура с передаточной функцией Wp(s) полюсы, обра-

зующие диполи, остаются на месте, т.е. в точности являются корнями харак-

теристического полинома Аз(s) замкнутой системы. Если контур имеет малое усиление на собственных частотах отдельных звеньев, то характеристиче-

ский полином Аз(s) имеет корни, приближенно равные полюсам передаточ-

ных функций этих звеньев. Следовательно, и в системах с контурами можно добиться определенной независимости (слабой зависимости) условий инва-

риантности и устойчивости.

Пусть в системе с передаточной функцией объекта (неизменяемой час-

458

ти) вида /7/

WU ( s )

k

(T1s 1)(T2s 1)(T3s 1)

выполнено условие селективной абсолютной инвариантности к постоянному воздействию – передаточная функция управляющего устройства является ин-

тегратором WR(s)=kR1/s. В этой системе с астатизмом первого порядка уста-

новившаяся ошибка при постоянном воздействии равна нулю при любой, от-

личной от нуля добротности контура по скорости D = kkR1. Выберем значе-

ние D таким малым, чтобы для всех полюсов {si=-1/Ti} передаточной функ-

ции WU(s) выполнялось условие малости усиления контура Wp( j si ) 1,

т.е. практически имело место

Lp( si ) 20lg Wp ( j si ) 20дБ,

где Wp(s) – передаточная функция разомкнутого контура.

При замыкании такого контура полюсы передаточной функции (s)

перемещаются мало – характеристический полином замкнутой системы име-

ет корни, приближенно равные si=-1/Ti. На рис. 5.8 изображена соответст-

вующая асимптотическая ЛАЧХ Lp( ).

Бесконечно большое усиление на нулевой частоте постоянного воздей-

ствия и малое усиление на собственных частотах устойчивых звеньев позво-

ляют в этом частном случае системы с ОС достичь компромисса между ин-

вариантностью и устойчивостью. На нулевой частоте – собственной частоте интегрирующего управляющего устройства, контур имеет бесконечно боль-

шое усиление, поэтому характеристический полином не имеет нулевого кор-

ня. В данном случае при замыкании системы нулевой полюс перемещается влево вдоль действительной отрицательной полуоси до значения, прибли-

женно равного – D . Переходные процессы в системе и свободные движения в основном определяются этим корнем. Система имеет малое быстродейст-

вие.

459