Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

автоматического управления, решающих перечисленные задачи.

5.2. Синтез линейных непрерывных систем автоматического управления с предопределенной структурой

5.2.1. Синтез систем управления, инвариантных к возмущениям

Инвариантность управляемой переменной к возмущениям – одно из основных свойств систем управления.

Если о возмущении имеется полная текущая, а о модели объекта – пол-

ная априорная информация, то теоретически возможна его полная компенса-

ция – достижение абсолютной инвариантности переменной выхода объекта к возмущению. Реализация условий абсолютной инвариантности возможна,

однако часто наталкивается на проблему физической реализуемости переда-

точной функции канала компенсации.

Если о возмущениях нет полной текущей информации, то создаются системы с контурами ОС. В системах, реализующих принцип отрицательной ОС, управляющее воздействие формируется по информации о следствии возмущения – по отклонениям переменной выхода объекта /7/.

Практически стремятся обеспечить селективную инвариантность – не-

зависимость или слабую зависимость установившихся процессов от воздей-

ствий с заданным спектром. Условием селективной инвариантности являет-

ся равенство нулю передаточной функции системы на полюсах {sf} изобра-

жения возмущения F(s), т.е. для передаточной функции по каналу возмуще-

ния yf(sf)=0.

Селективная инвариантность до имеет место, если yf (sf ) 0 .

Обычно имеется априорная информация о частотном спектре возмущения.

Например, может быть известно, что частоты возмущения не выше f. Для селективной инвариантности до к таким возмущениям должно быть обес-

печено условие

441

f : yf ( j ) .

Некоторые практически важные случаи синтеза инвариантных систем рассматриваются ниже.

Синтез статических систем /7/. Рассматривается задача синтеза по требованиям к установившимся постоянным значениям переменных, поэтому используется частная модель для равновесных режимов, когда все звенья структурной схемы статические и заданы их коэффициенты усиления (рис. 5.5). Управляющее воздействие u* рассчитано из условия равенства выхода объекта заданному постоянному значению y*:

u* 1 y* kU .

Рис. 5.5. Статическая система

Если к объекту приложено постоянное по уровню возмущение f=fo , то появляется отклонение управляемой переменной от заданного значения:

y=y*+kffo

В случае, когда существенное возмущение нельзя скомпенсировать, его влияние на управляемую переменную можно ослабить с помощью отрица-

тельной ОС. Это предполагает измерение фактического значения управляе-

мой переменной, его сравнение с заданием и выявление отклонения (ошибки)

y* y kf f0 , (5.1)

возникающего как следствие возмущения. Дополнительное управляющее

(регулирующее) воздействие на объект формируется в зависимости от вели-

чины этого отклонения u=kR . Такой закон регулирования называют про-

442

порциональным.

Значение ошибки в системе с ОС (рис. 5.5)

k

f f . (5.2)

1 kU kR

Сравнивая (5.1) и (5.2), видим, что в системе с ОС отклонение управ-

ляемой переменной от заданного значения уменьшается в (1+kukR) раз. Влия-

ние возмущения на управляемую переменную тем слабее, чем больше коэф-

фициент усиления разомкнутого конура k= kОkR .

Синтез статической системы по требованиям к установившейся точно-

сти сводится к определению коэффициента усиления регулятора kR. Допус-

тим, известно (задано) максимальное значение возмущения fmax и допустимая статическая ошибка max. Из соотношения (5.2) имеем

следовательно, искомое значение коэффициента усиления регулятора выби-

рается с учетом условия

Синтез астатических систем по требованию к точности подавления

степенных возмущений. В системе с ОС (рис. 5.5) выберем интегральный закон регулирования. Тогда в соответствии с (3.109) передаточная функция регулятора имеет вид

WR(s) kI s .

Изображение по Лапласу постоянного возмущения среды на объект –

F(s)=fo/s.

Таким образом, передаточная функция регулятора имеет полюс, рав-

ный полюсу изображения возмущения, т.е. в контуре присутствует «модель

443

среды», что обеспечивает селективную абсолютную инвариантность – нуле-

вую установившуюся ошибку (только для ступенчатых возмущений).

Звено интегрирующего типа является астатическим – при постоянном ненулевом значении входа переменная выхода не остается постоянной – она растет или убывает с постоянной скоростью до бесконечности. Можно ска-

зать, что такое звено имеет бесконечное усиление по постоянному сигналу,

что и обеспечивает нулевую установившуюся ошибку замкнутой системы.

Рассмотрим случай, когда возмущение F(s)≠const и изменяется во вре-

мени, например, с постоянной скоростью f(t)=f1(t). Изображение такого воз-

мущения F(s)=f1/s2 имеет двукратный нулевой полюс. Поскольку это на еди-

ницу больше кратности нулевого полюса передаточной функции регулятора,

установившаяся ошибка отлична от нуля и равна

Здесь имеет место селективная инвариантность до . Легко найти зна-

чение параметра настройки регулятора, если заданы максимальное значение скорости изменения возмущения f1max и допустимая установившаяся ошибка

emax:

В общем случае степенных воздействий f (t ) tl , имеющих изобра- l!

жение F(s)=1/sl+1, и (l+1) – кратный нулевой полюс, передаточная функция регулятора – внутреннего компенсатора возмущения, может быть представ-

лена в виде

также имеющем кратные нулевые полюсы. 444

Задачей структурного синтеза алгоритма управления является опреде-

ление кратности нулевого полюса передаточной функции регулятора , а за-

дачей параметрического синтеза – вычисление коэффициента передачи k .

Положим, что передаточные функции объекта по обоим каналам – управления WU(s) и возмущения – Wf(s), не имеют нулевых полюсов и нулей,

т.е. WU(s) =kU и Wf(s) =kf.

Установившаяся ошибка зависит от соотношения степени воздействия l

и порядка астатизма :

при (l+1) ошибка равна нулю и имеет место селективная абсолютная инвариантность при любых ненулевых значениях параметров ku, kf , k ;

при < l ошибка стремится к бесконечности (система не работоспособ-

на);

при = l 0 ошибка постоянна и определяется в соответствии с выра-

Отсюда выбирается структура внутреннего компенсатора возмущения

– регулятора. Если требуется нулевая установившаяся ошибка, то =l+1; при этом параметр k необходимо конкретизировать, исходя из дополнительных условий. Если же установившаяся ошибка не должна превышать заданного значения max , то =l, а параметр настройки выбирается из условия

Синтез систем по требованиям к точности подавления гармониче-

ских возмущений /7/. Если известно, что к объекту приложено гармониче-

ское возмущающее воздействие f(t) с частотой f и амплитудой af , то для се-

лективной абсолютной инвариантности передаточная функция управляюще-

го устройства должна иметь полюсы j f, т.е. содержать консервативное зве-

но. Тогда при любой амплитуде возмущения af амплитуда установившейся

445

реакции системы ay будет равна нулю.

В том случае, когда контур управления не содержит консервативного звена на частоте возмущения, имеет место селективная инвариантность до .

Амплитуда установившейся реакции системы не равна нулю и зависит от ам-

плитуды возмущения и параметров системы:

Из (5.3) следует, что чем больше усиление разомкнутого контура на частоте возмущения

Wp ( j f ) WU ( j f )WR ( j f ) ,

тем меньше амплитуда реакции. Положим, что задана допустимая амплитуда

необходимое усиление управляющего устройства определяется из условия

Если имеется априорная информация о низкочастотном характере воз-

мущений и известно, что частоты существенных сигналов не превосходят f

, то усиление контура должно быть не ниже требуемого значения на всем ин-

тервале частот [0, f]. Выполнение этого условия легко контролируется по логарифмическим частотным характеристикам.

Пусть амплитуда возмущений должна быть ослаблена не менее чем в

100 раз для всех частот из интервала [0, f]: т.е. ay/af 0,01.

Тогда при выполнении условия (5.4) из (5.3) получим

f : Lf ( ) LU ( ) LR ( ) 40дБ ,

или

446

LR Lf ( ) LU ( ) 40дБ.

Если возмущение приложено к выходу объекта, то Lf( ) 0, а требуемое усиление разомкнутого контура

f : LP ( ) LU ( ) LR ( ) 40дБ .

Таким образом, требования установившейся точности определяют низ-

кочастотную часть ЛАЧХ разомкнутой системы. Отметим, что ЛАЧХ ра-

зомкнутых систем имеют низкочастотную асимптоту с наклоном -20 дБ/дек,

где - порядок астатизма.

5.2.2. Синтез следящих систем из условия требуемой точности

воспроизведения

Говоря о точности следящих систем, прежде всего, имеют в виду ма-

лую установившуюся ошибку воспроизведения задающего воздействия.

Примем за выход следящей системы с единичной отрицательной ОС (рис. 5.6) переменную ошибки (t) /7/.

Тогда задачей синтеза сле-

дящей системы является опреде-

ление передаточной функции

WR(s) внутреннего компенсатора воздействия, обеспечивающего селективную инвариантность пе-

ременной (t) к воздействию g(t). При решении этой задачи сохраняют силу все положения синтеза систем, инвариантных к возмущению.

Если задающие воздействия моделируются степенными функциями времени, то правила выбора порядка астатизма соответствуют приведеным в п. 5.2.1. Однако при реализации внутреннего компенсатора следует иметь в виду, что объекты управления следящих систем обычно астатические (двига-

тели с редукторами). Поэтому при выборе структуры внутреннего компенса-

тора, в частности числа нулевых полюсов передаточной функции WR(s), не447

обходимо учесть наличие таких полюсов у передаточной функции WU(s) объ-

екта по каналу управления.

Пусть задающее воздействие имеет вид гармонических функций вре-

мени с амплитудами ag и частотами g, не превосходящими заданных значе-

ний: ag Ag; g g.

Условие селективной инвариантности до (требуемая точность вос-

произведения установившихся режимов) выражается так: a A , где A – до-

пустимое значение амплитуды ошибки.

ae eg ( j g ) ag ,

В соответствии с (3.138) частотная характеристика замкнутой системы относительно ошибки по управляющему воздействию при s=j Может быть представлена в виде

g : Lp( j ) LR( j ) LU ( j ) 20lg( Ag / Ae )

Графически это условие интерпретируется как требование прохожде-

ния ЛАЧХ выше запретной области на низких частотах (рис. 5.7, а).

На рис. 5.7,б изображен пример низкочастотной части ЛАЧХ разомк-

нутого контура астатической системы. Если задающее воздействие имеет вид гармонического сигнала с фиксированной частотой g, то для обеспечения требуемой точности воспроизведения ЛАЧХ контура должна проходить вы-

448

ше контрольной точки с координатами ( g, Lk =20lg(Ag/A )).

Положим теперь,

что следящая система должна воспроизводить задающие воздействия,

о которых известно

а) б)

лишь, что скорости их

Рис. 5.7. Частотные характеристики следящих систем

изменения не превосхо-

дят g1max , а ускорения – g2max. В этом случае целесообразно рассматривать некоторый эквивалентный гармонический сигнал gэ(t)=aэsin эt, амплитуда и частота которого выбираются из условий

Отсюда определяются параметры эквивалентного гармонического сиг-

нала:

По этим значениям можно построить контрольную точку (рис. 5.7, б) с

координатами ( э, Lk=20lg(aэ/Ae)), выше которой должна проходить ЛАЧХ разомкнутого контура.

Если рассматривать задающие воздействия, скорость которых равна максимальному значению g1max, а ускорение меньше g2max, то, в соответствии с (5.7), частота эквивалентного гармонического сигнала будет уменьшаться, а

амплитуда – возрастать. При этом контрольная точка будет перемещаться влево по прямой с наклоном –20 дБ/дек. В предельном случае, когда g2max=0,

вместо гармонического сигнала получим линейное воздействие g(t) = g1maxt.

Для воспроизведения такого воздействия система должна обладать астатиз-

мом первого порядка, т.е. наклон низкочастотной асимптоты ЛАЧХ должен быть равен –20 дБ/дек. Для достижения требуемой точности слежения коэф-

449

фициент добротности контура по скорости D (см. 3.9.2) должен быть D

g1max/A .

Если амплитуда установившейся ошибки воспроизведения сигнала фиксированной частоты g должна равняться нулю, то передаточная функ-

ция регулятора WR(s) должна иметь мнимые полюсы j g, т.е. регулятор дол-

жен содержать консервативное звено.

5.2.3. Стабилизация неустойчивых объектов

Пусть анализ линейной модели объекта, которым, в общем случае, мо-

жет быть и система с неудовлетворительными качественными показателями переходных процессов, свидетельствует о неустойчивости движения. Мате-

матически этот факт выражается в наличии корней характеристического по-

линома с неотрицательной действительной частью. Возникает задача стаби-

лизации неустойчивого объекта или системы.

Необходимым топологическим условием изменения расположения корней характеристического полинома является образование контура, содер-

жащего объект управления. Кроме того, передаточная функция объекта по выбранному каналу «вход-выход» не должна иметь неустойчивых диполей. В

противном случае никакая обратная связь (ОС) не сможет переместить корни неполной части.

В зависимости от формы представления модели объекта и требований к собственным движениям системы могут быть применены различные методы синтеза.

Размещение корней характеристического полинома. Операторный

метод. /7/ Допустим, что требования к системе представлены в форме желае-

мого множества корней характеристического полинома. Необходимо найти алгоритм регулятора, размещающего корни в назначенных местах комплекс-

ной плоскости. Корни характеристического полинома {si} – это полюсы пе-

редаточной функции системы; по данной причине иногда говорят о задаче

450