Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

ния фазовых координат и приведения уравнений движения к определенному виду, допускающему редуцирование.

Суть точечного преобразования состоит в сле-

дующем. Пусть множество точек n-мерного фазового пространства удовлетворяет условию S(x1,x2,…,xn) = 0,

где x1,x2,…,xn - фазовые координаты. Если S(x1,x2,…,xn) - линейная функция своих аргументов, то S является гиперплоскостью. Пусть далее в фазовом пространст-

ве выбрана некоторая секущая гиперповерхность N

(рис. 4.19), т.е. такая, которую в рассматриваемой об-

ласти движений все фазовые траектории пересекают вновь за ограниченные промежутки времени /78/. Эта поверхность имеет размерность n (причем n всегда на единицу меньше размерности фазового пространства). Если на этой поверхности выбрать систему координат, то ка-

ждая ее точка М будет определяться n координатами (x1,x2,…,xn), которые вместе с уравнением гиперповерхности характеризуют точку фазового про-

странства. Фазовая траектория, начинающаяся в этой точке, за конечное вре-

мя сможет снова пересечь гиперповерхность в некоторой новой точке M с

координатами x1, x2 , , xn . Таким образом, каждой точке М гиперповерхно-

сти N соответствует некоторая точка M этой же гиперповерхности, т. е. име-

ется точечное преобразование последней в себя.

С помощью уравнений фазовых траекторий и гиперповерхности уста-

навливаются формулы, связывающие переменные с переменны-

ми x1,x2,…,xn:

где I называют функциями последования или функциями соответ-cтвия то-

чечного преобразования.

361

Обозначив преобразование (4.45) через Т, формулу точечного преобра-

зования можно кратко представить в виде

MT(M ).

Врезультате двукратного применения к точке М преобразования Т, ко-

торое обозначают Т2, получим

M T (M ) T (T (M )) T 2 (M ).

Аналогично m-кратное последовательное преобразование обозначают через Тm.

Точку М' называют простой неподвижной точкой преобразования Т,

если последнее переводит точку М' в себя:

М'=Т(М'),

или в развернутом виде

x'i i (x'1, x'2 , x'n ), i 1, ,n

Неподвижной точке М' преобразования Т в фазовом пространстве ис-

следуемой динамической системы соответствует замкнутая траектория, отве-

чающая периодическому движению.

Неподвижную точку М' простого или m-кратного точечного преобразо-

вания называют асимптотически устойчивой, если для любой точки М, при-

надлежащей достаточно малой εm-окрестности точки М' выполняется нера-

венство

(T m (M ),M ') m

где εm 0 при m → со и max εm 0 при ε 0; ρ — расстояние между точками Тm (М) и М' /80/.

Имеет место соответствие не только между периодическими движе-

ниями и неподвижными точками, но и между их устойчивостью: из асимпто-

тической устойчивости неподвижной точки точечного преобразования сле-

дует асимптотическая орбитная устойчивость соответствующего периодиче-

ского движения, и наоборот.

362

Поэтому определение неподвижных точек и исследование их устойчи-

вости является одним из основных вопросов теории точечных преобразова-

ний. При этом исследование устойчивости неподвижной точки во многих случаях представляет собой более простую задачу, чем исследование устой-

чивости соответствующего периодического движения: даже при наличии разрывных характеристик в нелинейной системе точечное преобразование может быть непрерывным и иметь непрерывные частные производные, и по-

этому возможна его линеаризация в окрестности неподвижной точки.

Для автономных динамических систем второго порядка движение изо-

бражается на фазовой поверхности, которая, в частности, может представ-

лять собой плоскость, цилиндр, сферу.

Ограничимся наиболее распространенным и важным с прикладной точки зрения случаем, когда фазовой поверхностью является плоскость. По-

этому в дальнейшем, если это не оговаривается специально, под фазовой по-

верхностью будем всегда подразумевать фазовую плоскость.

При исследовании методом точечных преобразований изображение движений на фазовой плоскости дает наглядную геометрическую интерпре-

тацию всей совокупности движений систем для различных соотношений их параметров. Кроме того, изучение свойств взаиморасположения фазовых траекторий на плоскости позволяет в ряде случаев выявить некоторые виды движения и состояния системы, а также условия их; возникновения без непо-

средственного исследования самих точечных преобразований.

При выполнении кусочно-линейной аппроксимации нелинейных ха-

рактеристик динамической системы фазовая поверхность разбивается на не-

сколько областей, в пределах которых действуют различные линейные диф-

ференциальные уравнения. Построение фазовых траекторий выполняется по уравнениям интегральных кривых, соответствующих отдельным областям фазовой плоскости.

363

При этом для получения картины движения на всей плоскости осуще-

ствляется метод припасовывания решений, т. е. с учетом требования непре-

рывности траекторий постоянные интегрирования в каждой последующей области определяются по таким начальным условиям, которые на границе с предыдущей областью соответствовали конечным координатам изображаю-

щей точки, проходившей по траектории этой предыдущей области. Границы областей, на которых заканчивается действие той или иной системы линей-

ных дифференциальных уравнений и на которых осуществляется припасовы-

вание решений, называют линиями переключения (или поверхностями пере-

ключений, если речь идет о многомерном фазовом пространстве). Уравнения этих линий (или поверхностей) определяются из выражений аргумента ку-

сочно-линейных функций, когда значение этого аргумента равно условию переключения, т. е. соответствует точкам излома или разрыва нелинейной функции. Следует заметить, что непрерывные фазовые траектории могут в общем случае в местах перехода через указанные границы иметь изломы, по-

скольку производные функций, по которым они строятся, в точках припасо-

вывания решений претерпевают разрыв.

Если в динамической системе второго порядка нелинейные функции имеют неоднозначности, характеризующиеся, например, наличием гистере-

зиса, то это вызывает появление существенных особенностей на фазовой плоскости: движение будет теперь отображаться на многолистной фазовой плоскости, состоящей из нескольких листов, частично наложенных друг на друга. Причем каждый из таких листов соответствует одной из ветвей много-

значной нелинейной функции. Благодаря этому между точками такой много-

листной фазовой плоскости и состоянием системы устанавливается взаимно-

однозначное соответствие, ибо формальных пересечений траекторий на фа-

зовой плоскости, которые могли бы иметь место при наличии неоднозначно-

сти, в действительности не будет, так как при этом траектории принадлежат разным накладывающимся друг на друга листам этой плоскости.

364

Обобщая многолистное представление на случаи однозначных кусоч-

но-линейных систем, можно интерпретировать их поведение в отдельных об-

ластях линейности как движение по таким листам фазовой плоскости, кото-

рые не имеют наложений и «сшиты» встык вдоль линий переключения.

Рассмотрим пример релейной динамической системы, которая описы-

вается уравнениями

Если релейная функция Ф(x) такой системы однозначна и имеет зону

нечувствительности, равную 2a, то для построения фазового портрета можно выделить три области, в которых действуют линейные уравнения, опреде-

ляемые системой (4.46) при соответствующих трех постоянных значениях

Ф(x), равных +Фm, 0 и - Фm (см. (4.8)).

На фазовой плоскости этим областям будут соответствовать три листа,

которые «сшиваются» вдоль линий переключения (рис. 4.20, а). Последние определяются уравнениями, получаемыми путем приравнивания аргумента релейной функции значениям ±xε , при которых происходит переключение реле. В данном примере такие уравнения имеют вид x = ±xε, т. е. границы листов — это прямые линии, параллельные оси y. Так как в этом случае ар-

гумент релейной функции x представляет собой одну из фазовых координат,

то указанные границы могут быть определены просто графическим построе-

нием, очевидным из рис. 4.20, а.

Если в системе (4.46) релейная функция имеет помимо зоны не чувст-

вительности еще и зоны неоднозначности шириной , то фазовая плоскость

будет состоять из тех же трех листов, но имеющих иные границы. Эти листы будут теперь накладываться на ширину (рис. 4.20, б). Следует отметить,

что если в начале движения координаты изображающей точки таковы, что она располагается в области наложения листов, то на основании свойств не-

365

однозначной характеристики для получения единственного решения должно быть заданным и начальное состояние реле. В зависимости от этого состоя-

ния движение будет брать свое начало на разных листах фазовой плоскости,

что может быть выражено траекториями А и В, показанным на рис. 4.20, б.

Из рассмотренного примера наглядно видно, что в случае неод-

нозначной релейной функции со-

стояние системы второго порядка определяется тремя координатами: x, y и Ф, и поэтому ее движение долж-

но было бы рассматриваться в трех-

Рис. 4.19. Примеры многолистных фазовых плоскостей мерном фазовом пространстве. Од-

нако многолистное представление фазовой поверхности с выделением на ней областей, отображающих зоны многозначности нелинейных характеристик, позволяет представить нелиней-

ную функцию однозначно и свести тем самым многомерную систему к ис-

следованию ее движений на плоскости.

Обобщая этот результат, можно прийти к выводу, что применение мно-

голистной фазовой поверхности принципиально распространяется и на об-

щие случаи, когда нелинейная система описывается дифференциальными уравнениями любого высокого порядка и даже когда ее состояние определя-

ется в бесконечномерном фазовом пространстве. Способы построения соот-

ветствующих многолистных фазовых поверхностей могут быть различными в зависимости от конкретных условий. Некоторые из них достаточно широко известны, например, при исследовании нелинейных систем с временным за-

паздыванием. Для систем, которые определяются дифференциальными урав-

нениями любого высокого порядка, представление движений на многолист-

ной фазовой поверхности может быть осуществлено с помощью редуцирова-

ния фазового пространства /58/.

366

Если движение динамической системы отображается на фазовой плос-

кости, то метод точечных преобразований приобретает наглядную геометри-

ческую интерпретацию.

Для нелинейной динамической системы (4.46), содержащей релейную функцию с зонами нечувствительности и гистерезиса Φ(x), на соответствую-

щей трехлистной фазовой плоскости траектории имеют вид, показанный на рис. 4.21, а. Секущей поверхностью N может служить любая полупрямая, пе-

ресекающая все фазовые траектории.

Обычно в качестве такой полупрямой выбирают какую-

либо полуось координат или от-

резок линии переключения, что часто позволяет упростить вывод функции последования и само ее выражение.

Рассмотрим преобразование положительной полуоси Оy в себя, обо-

значив его через Т. Предположим, что фазовая траектория пересекает эту ось в точке 1. Через некоторое конечное время фазовая траектория либо придет в отрезок покоя, либо, сделав полный оборот, пересечет полуось Оy в некото-

рой точке 7. Зная уравнение фазовых траекторий и границ листов, можно найти связь между координатой yн точки 1 и координатой yк точки 7, которая представляет собой функцию последования точечного преобразования Т:

yк (yн ). (4.47)

Многократное применение точечного преобразования Т порождает итерационный процесс, определяемый с помощью функции (4.47). Это пре-

образование приобретает наглядную геометрическую интерпретацию в виде диаграммы Кёнигса—Ламерея, представляющей собой график функции

(4.47) с нанесенной на нем биссектрисой координатного угла (рис. 4.21, б).

367

Итерационный процесс, порождаемый точечным преобразованием Т, изо-

бражается на диаграмме лестницей Ламерея.

Точка пересечения с биссектрисой является простой неподвижной точ-

кой преобразования Т, т. е. отвечает решению уравнения

Значение y, получаемое из решения этого уравнения, дает количествен-

ную оценку величины предельного цикла, в частности, по ней может быть определена амплитуда соответствующего периодического движения.

Устойчивость неподвижной точки, а, следовательно, и орбитная ус-

тойчивость предельного цикла, которому она соответствует, формулируется

Эта теорема имеет простую геометрическую интерпретацию, которая заключается в том, что неподвижная точка устойчива, если в ее сколь угодно малой окрестности график функции последования проходит в заштрихован-

ной области, расположенной между биссектрисой координатного угла и пер-

пендикулярной ей прямой yк 2y yн (рис. 4.21, б).

Если для системы (4.46) уравнение (4.48) имеет решение, то оно всегда является единственным и устойчивым, т. е. на диаграмме точечного преобра-

зования может быть указана лишь одна точка пересечения с биссектрисой координатного угла. При исследовании различных классов или видов дина-

мических систем, естественно, могут иметь место несколько простых непод-

вижных точек, а также появляться и кратные неподвижные точки, соответст368

вующие многопетлевым предельным циклам. Поэтому одна из основных за-

дач полного исследования динамики состоит в выявлении всех возможных видов неподвижных точек, условий изменений их числа, характера, устойчи-

вости, исчезновения всех неподвижных точек, например при устойчивости «в

большом» и т. д. Решение этих и многих других вопросов связано с анализом свойств точечного преобразования и зависимости их от параметров системы.

Успешное проведение такого анализа во многом определяется видом полу-

чаемой функции последования.

Поэтому весьма важно выбрать такую ее форму, при которой удается получить результаты исследования более простым путем.

Существуют различные способы получения (или представления) функ-

ции последования в форме, удобной для дальнейших исследований /81/. Ог-

раничимся лишь кратким указанием основных направлений в этой области.

Если фазовая плоскость симметрична относительно начала координат,

то для исследования системы достаточно рассмотреть точечное преобразова-

ние полупрямой не самой в себя, а в симметричную с ней полупрямую. На-

пример, на фазовой плоскости, представленной на рис. 4.21, а, можно огра-

ничиться рассмотрением точечного преобразования Т положительной полу-

оси Оy в отрицательную полуось ординат, или полупрямой N в симметрич-

ную с ней полупрямую N' и т. д. Если и при этом не удается определить функцию последования в явном виде, то можно попытаться представить ее в виде двух последовательно применяемых функций, вводя некоторые допол-

нительные переменные, т. е. путем представления ее в параметрической форме. Допустим точечное преобразование Т определяется зависимостью

(y1, y4 ) (y1, y4), (4.50)

которая не может быть разрешена ни относительно y1, ни относительно y4.

Тогда, полагая y1 = - y1= y и вводя переменные u1, u2, зависимость (4.50) мож-

но представить в виде следующих двух функций:

369

для которых диаграмма точечного преобразования принимает вид, показан-

ный на рис. 4.22, а.

полупрямой в положительную

полуось ординат.

В таких случаях простые неподвижные точки на диаграмме точечного преобразования представляются пересечением указанных двух функций. Ус-

ловие устойчивости получаемых неподвижных точек /80/ следующее: непод-

вижная точка y y устойчива, если

d

где (y) - функция точечного преобразования, например положительной по-

луоси Оy в полупрямую U, а ψ(y) - функция точечного преобразования отри-

цательной полуоси y в ту же полупрямую.

В некоторых случаях бывает целесообразным определить функции по-

следования через параметр времени t /82/. Такой прием, предложенный А. А.

Андроновым, основан на выводе точечного преобразования непосредственно

370