3159

концентрация в образце неоднородна ( c 0), но в каждой

точке образца со временем не меняется ( c 0 ).

t

Это легко представить для одномерного случая. Пусть имеется пруток длиной l, на концах которого концентрация диффузанта неодинакова и не меняется со временем. Если величина Dне зависит от координат, то второе уравнение Фика имеет вид:

где 2 - оператор Лапласа, а условия одномерного, стационарного случая упрощают его до вида

Постоянство концентрации на торцах позволяет ввести граничные условия

где A и B - константы двойного интегрирования уравнения (1.14). после подстановки граничных условий решение запишется как

1.4.2. Нестационарные решения

Если величина D не зависит от координат, то для одномерного случая второе уравнение Фика принимает вид

11

Решение ищется в виде пространственно-временной зависимости концентрации диффундирующего вещества, т.е. функции c(x,t) для конкретных начальных и граничных условий. Наиболее простыми являются условия типа:

1) начальные условия:

c(x, y,z,0) f (x, y,z), т.е. в начальный момент времени распределение концентрации есть чисто пространственная функция;

2) граничные условия:

cгр (t), т.е. значение концентрации в каждой точке границы зависит только от времени;

c xгр 0, т.е. на границе диффузии нет.

Рассмотрим некоторые типы таких решений.

1.4.2.1. Решение для бесконечного стержня

Рассмотрим одномерный случай, т.е. диффузию в бесконечно длинном стержне. В этом случае граничные условия лишены смысла и можно поставить только начальные. Для постоянного и независимого коэффициента диффузии, второе уравнением Фика для одномерного случая принимает вид:

Решение этого уравнения можно представить в виде произведения двух независящих друг от друга функций c(x,t) X T , где X f (x) - функция пространства, а T (t) - функция времени. Тогда уравнение (1.19) запишется как

X T D T X

12

или после разделения независимых переменных

где a - некая константа, так как x и t можно менять независимо. Проинтегрируем левую часть уравнения (1.20)

Для систем, в которых неоднородность исчезает со временем, т.е. при t , T 0, необходимо чтобы величина a была отрицательной.

Обычно полагают a 2 , тогда левая часть уравнения

но так как x и t можно менять независимо, уравнение (1.20) будет удовлетворено, только если обе части равны постоянной величине

Правую часть уравнения (1.20) теперь можно записать

как

ddx2 X2 2X 0.

Для решения этого уравнения пользуются методом Фурье. Поскольку величина 2 всегда положительна, то решение этого уравнения запишется как

X A cos x B sin x.

Полное уравнение диффузии примет вид

c(x,t) (A cos x B sin x) exp( 2Dt), (1.22)

где - A AT0 , B BT0 .

13

Это частное решение. Если оно действительно для любого действительного , то сумма решений с различнымитоже есть решение. Общее решение запишется как

sin x}d ,

где - есть некий линейный параметр пространства. Сравнивая последнюю запись с формулой (1.24) можно

увидеть, что коэффициенты A и B соответствуют величинам в квадратных скобках:

Таким образом, уравнения (1.24) и (1.25) тождественны. Это позволяет нам переписать уравнение (1.23) следующим образом

14

или после перестановки

Рассмотрим следующее отношение

I ( ) .

I( ) 2

После его интегрирования получим

15

ln I( ) 2 lnk , 4

где постоянная интегрирования k =I(0). Тогда

Возвращаясь к прежним переменным и общее уравнение диффузии в бесконечном стержне (1.26) запишется теперь как

функции Дирака, а уравнение (1.27) есть разложение функции координаты f ( ) по этим функциям.

Представленное решение описывает систему близкую к совершенно однородному распределению, когда выраженного источника диффузии практически нет.

1.4.2.2. Решение для бесконечно тонкого слоя

Рассмотрим ситуацию, когда источник диффузии чётко определён в пространстве. Остановимся на одномерном случае, т.е. представим бесконечно длинный пруток в середине которого расположен бесконечно тонкий источник диффундирующего вещества. Плоскость источника нормальна оси прутка. Система подвергнута диффузионному отжигу в течение времени t.

При условии независимости и постоянства коэффициента диффузии втрое уравнение Фика запишется в виде (1.19).

16

Принятая модель позволяет ввести следующие граничные условия

c 0 при x 0и t 0;

c при x 0и t 0;

Пространственно-временное распределение концентрации диффузанта в прутке, т.е. решение уравнения (1.19) будет иметь вид:

где x– расстояние в любом направлении по нормали к исходной пленке растворенного вещества, а - полное количество диффузанта, которое можно определить по формуле

c x, t dx

1.4.2.3. Решение для пары полубесконечных твёрдых

тел

Рассмотрим систему, составленную из двух прутков разных веществ A и ,B которые состыкованы по плоскости нормальной оси прутков. Будем считать, что по разные стороны стыка прутки бесконечны. Ограничимся одномерной задачей диффузии вещества из левой части системы в правую. Для решения второго уравнения Фика (1.19) введём следующие граничные условия

c 0 при x 0,t 0; c c при x 0,t 0.

На рис. 1.1 представлен графический образ распределения концентрации в системе.

17

Интегралы такого типа появляются всегда при анализе систем, где есть начальный источник растворенного вещества конечной толщины, а путь диффузии мал по сравнению с размерами системы. Интеграл нельзя просто вычислить, но его значения связаны с функцией ошибок

Значения этой функции для различных z сведены в таблицу, которая приведена в приложении 1. Основными свойствами функции ошибок, которыми мы воспользуемся, являются

19

концентрация в котором составляет 0,92c , дается

соотношением x 2Dt . Плоскость с любой постоянной концентрацией удаляется от плоскости x 0 со скоростью,

пропорциональной Dt . В плоскости x 0 для всех времён отжига, отличных от нуля, концентрация остаётся постоянной

дегазация так, что концентрация на поверхности для всех t 0 поддерживается постоянной равной c /2. Это можно выразить через следующие граничные условия:

c c при x 0,t 0; 2

c c при x 0,t 0.

В этом случае решение (1.33) является верным.

Если концентрация на поверхности вместо c /2 равна нулю для всех t 0, то решение принимает вид:

20