Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

результатом которых являются приведения заданного интеграла к табличному (если это возможно).

2.4. Интегрирование с помощью замены переменной

Одним из самых сильных методов интегрирование является метод замены переменной.

Для преобразования неопределѐнного интеграла (2) к новой переменной t по формуле (3) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение:

В формуле (4) предполагается, что ƒ(х) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции φ(t) и φ′(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Это равенство надо понимать так: после интегрирования левой части по х и подстановки х = φ(t) мы должны получить тождество.

Для доказательства формулы (4) вычислим дифференциал от обеих частей:

21

Раз дифференциалы двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются на постоянное слагаемое С. В этом смысле и надо понимать (4).

Замечание 1: Часто вместо подстановки (4) употребляют обратную:

Таким образом, вид неопределѐнного интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования. Этот факт используется при интегрировании способом подведением под знак дифференциала.

Примеры:

22

Если в числе стоит производная знаменателя, то интеграл от дроби равен логарифму от модуля знаменателя.

2.5. Правило интегрирования по частям

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем:

d uv vdu udv

Интегрируем обе части равенства по х:

23

Эта формула называется формулой интегрирования по

проще исходного. При этом за u(x) обычно выбирают множитель подынтегрального выражения, который при дифференцировании упрощается, а за dv – множитель, который нетрудно проинтегрировать.

Пример 1: Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

24

Интегрирование по частям приводит к успеху при интегрировании выражений вида:

ex sin xdx.

Получили интеграл равный данному. Обозначив его за J, получим равенство

J e x sin x cos x J .

Перенося J в левую часть равенства, имеем

25

2.6. Об интегрировании в элементарных функциях

Операция дифференцирования элементарной функции снова приводит к элементарным функциям. Интегрирование элементарной функции часто приводит к неэлементарным функциям, т.е. функциям задаваемых одной формулой, содержащей конечное число операций. Например, доказано, что такими являются интегралы:

e x2 dx интеграл Пуассона,

Первообразные для этих функций существуют, но не выражаются через элементарные функции. Наиболее важные из этих первообразных протабулированы.

В связи со сказанным, полезно рассмотреть классы функций, первообразные которых являются элементарными функциями.

26

2.7. Многочлен степени n. Теорема Безу. Условие тождественности двух многочленов

Рассмотрим многочлен степени n:

Здесь как коэффициенты, так и значения переменной х могут быть как действительными так и комплексными.

Каждое действительное или комплексное значение х0, которое обращает Pn (x) в нуль, называется корнем этого многочлена:

Pn x0 0.

Следовательно, корни многочлена (8) представляют собой решения алгебраического уравнения n – ой степени:

Pn x 0.

Формула Тейлора применима как для действительных многочленов, так и для многочлена (8):

корнем многочлена Pn (x), необходимо и достаточно, чтобы

свободный член разложения многочлена по степеням (х - х0) был равен нулю:

В этом случае многочлен можно представить в виде:

27

корень х = х0, необходимо и достаточно, чтобы он делился на

k n , то х = х0 называется корнем кратности k.

Тогда формула Тейлора для Pn (x) по степеням х – х0 имеет вид:

28

будут вычисляться по одним и тем же формулам:

2. 8. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на

линейные и квадратные многочлены

Теорема: Всякий многочлен степени n 1 имеет, по крайней мере, один действительный комплексный корень.

Замечание: То, что в теореме говорится о многочлене, существенно. Неалгебраическое уравнение может не иметь ни

29

Следствие: Многочлен Pn (x) степени n имеет n корней с учѐтом их кратности, т.е. представим в виде произведения:

Доказательство:

По основной теореме многочлен имеет хотя бы один корень. Обозначим его через х, а его кратность через r1. Тогда по формуле (11):

применяем основную теорему. Обозначим корень этого многочлена через х2, а его кратность через r2. В результате получим:

Процесс закончится через конечное число шагов (не большего n) и мы придем к формуле (12).

Если в правую часть (12) подставить вместо х число, отличное от x1, x2, …xm , то она не обратится в нуль. Это показывает, что других корней, кроме найденных, многочлен Pn(x) не имеет и представление (12) единственно.

Все сказанное до сих пор относится к многочленам как с действительными, так и с комплексными коэффициентами. Пусть теперь многочлен Pn(x) имеет действительные коэффициенты и пусть у него имеется комплексный корень кратности s:

xk = α + iβ.

30