2385

13.10. Установить зависимость между давлением атмосферы P и высотой над уровнем моря z, если давление

атмосферы на уровне моря (при z = 0) равно P0 .

Решение. Обозначим через плотность воздуха, а через0 плотность воздуха над уровнем моря. Согласно уравнению Клайперона имеем

P P0 RT ,

0

где R - газовая постоянная, Т - абсолютная температура. Считаем, что температура есть линейная функция от высоты

T T0 z , где - постоянный коэффициент. Тогда

R T0P z .

Учитывая, что изменение давления по высоте пропорционально проекции силы тяжести, отнесенной к единице массы, будем иметь

81

Разделяя переменные и интегрируя, получим

По условию задачи при z = 0, Р = Р0, откуда С = Р0. Таким образом, искомая зависимость примет вид

g

PP0 1 z R .

T0

13.11.Найти зависимость количества растворившегося вещества x от времени, если количество вещества, дающее насыщенный раствор, равно Р.

Решение. Пусть скорость растворения твердого тела в жидкости пропорциональна количеству этого вещества, еще могущего раствориться в жидкости до насыщения последней. Тогда дифференциальное уравнение растворения твердого тела имеет вид

dxdt k P x ,

где k - коэффициент пропорциональности. Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь

При t = 0, т. е. в начальный момент времени х = 0. Отсюда C = -P, и окончательно получим

xP 1 e kt .

13.12.Найти форму зеркала, собирающего все параллельные лучи в одну точку.

Решение. Вероятно, зеркало имеет форму поверхности вращения с осью, параллельной падающим лучам. Примем ось Ox за ось вращения и рассмотрим уравнение кривой y = f(x) в плоскости Oxy (рис. 1.4).

Пусть отраженные лучи собираются в точке начала координат. Обозначим: NM - падающий луч, МО - отраженный луч, ТК - касательная к кривой в произвольной точке М(х,у).

82

т. е. кривая является параболой, а зеркало имеет вид параболоида вращения.

13.13. Найти силу тока в катушке в момент t, если ее сопротивление R, коэффициент самоиндукции L, а электродви-

жущая сила (эдс) меняется по закону E E0 sin t . Начальная

сила тока i0 0 .

Решение. Согласно второму закону Кирхгофа (сумма эдс, действующих в замкнутом контуре, и падений напряжений на его участках, взятых с обратными знаками, равна нулю):

индуктивности L, UR Ri - падение напряжения на активном

Lu v u Lv Rv E0 sin t . (*)

Подставляя это частное решение в уравнение (*), будем иметь

84

13.14. Тело массы m падает вертикально с некоторой высоты при начальной скорости v0 = 0. Найти закон движения, если сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости падения тела.

Решение. При падении на тело действуют силы веса P mg , направленные в сторону движения тела, и силы со-

противления воздуха F kv2 , направленные в сторону, противоположную движению тела, k - коэффициент пропорциональности.

85

13.15. Катер движется со скоростью 18 км/ч. Через 5 мин после выключения мотора его скорость уменьшилась до 6 км/ч. Найти расстояние, пройденное катером по инерции за 15 мин, если сопротивление воды пропорционально скорости движения катера.

Решение. Пусть т - масса катера, s - путь, пройденный катером за время t. Тогда дифференциальное уравнение движения будет

mk 15 ln 3 .

86

Таким образом, ln v 5t ln 3 ln 300; v 300 3 5t .

Используя начальные условия s = 0 при t = 0, получим, что

Расстояние, пройденное катером по инерции за t = 15 мин, равно

13.16. Снаряд массы т выброшен из ствола орудия со скоростью v0 под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти траекторию снаряда, время полета.

Решение. Расположим оси координат, как показано на рис. 1.5.

Рис. 1.5

На снаряд действует только сила тяжести P mg , проек-

87

Подставляя эти величины в уравнения (1) и сокращая на m, получим

Удовлетворяя начальным условиям: х0=у0=z0=0 при t = 0, находим, что С4=С5=С6= 0. Отсюда уравнения движения при-

2

Исключая из уравнений движения время, находим уравнение траектории снаряда

88

Нетрудно заметить, что уравнение траектории есть парабола. Находя точки пересечения параболы с осью x, т. е. полагая y = 0, находим дальность полета

иприравниваем ее нулю, тогда

xv02 sin 2 . 2g

Подставляя это значение x в уравнение траектории, находим

H v02 sin2 .

2g

Этот же результат можно получить, зная дальность полета и учитывая симметрию траектории параболы.

Подставляя дальность полета в первое уравнение движения, находим, что время полета равно

T2gv0 sin .

13.17.К концу недеформированной пружины подвешен груз массы m. Найти закон движения груза, если статическое

удлинение пружины 0,5 см.

Решение. Выберем начало координат в положении равновесия груза и направим ось Ox по вертикали вниз (рис. 1.6). В положении равновесия сила веса груза P уравновешивается силой упругости - c , т. е. P c , где с - коэффициент жесткости пружины.

89