Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2385

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Решение. а) Поскольку правая часть зависит только от х, то интегрируем правую и левую части последовательно четыре раза. Будем иметь

									y e2 xdx							1	e2 x C1 ,
									y e2 xdx								e2 x C1 ,
															2
					y						1		2 x						1				2 x
												e		C1	dx							e			C1x					C2 ,
											2	e		C1	dx				4			e			C1x					C2 ,
											2								4
	y				1		2 x											1				2 x				1				2
						e		C1x C2 dx												e							C1x				C2 x C3 ,
					4	e		C1x C2 dx										8		e						2	C1x				C2 x C3 ,
					4													8								2
		1		2 x		1				2											1			2 x				1				3	1		2
y			e				C1x				C2 x C3 dx												e						C1x					C2 x		C3 x C4 .
y		8	e			2	C1x				C2 x C3 dx									16			e					6	C1x				2	C2 x		C3 x C4 .
		8				2														16								6					2

б) Поскольку правая часть зависит только от х, то решение находится непосредственным интегрированием правой и левой части. Постоянные интегрирования будем определять сразу же после интегрирования. Интегрируя по частям, будем иметь

ln x

C1 при x 1,

2 1 C1, C1

3 .

Интегрируя еще раз, получим

ln2

x ln x 3x C2

при x 1,

1 3 C2 ,

2 .

Наконец, интегрируя по частям, окончательное решение

примет вид

ln2

x2 2x C

при x 1,

2 C ,

;

y2x ln2 x 23 x2 2x 21 .

9.2.Проинтегрировать уравнения: а) x y 1 y 0 ;

б) xy

1 y 2 ,

y(1) 0,

y(e2 ) 1.

Решение. а) Данное уравнение не содержит y, следовательно, понизить его порядок можно с помощью подстановки y p(x) , тогда y p (x) . Отсюда

x p 1 p 0 или p xp 1 .

Это линейное уравнение, поэтому делаем замену p = uv;

;

u v

v u и интегрируем u v

;

du xdx;

;

C1 .

Но

поэтому

имеем

откуда,

интегрируя, находим

C ln

б) Поскольку уравнение не содержит у, то делаем замену

y ' p, y '' p '. Тогда

xp '

1 p2

или

dx .

1 p2

Отсюда

1 p2

ln C ;

1 p

2 C x;

1 y '2 C1x y ';

2C1xy ' C12 x2 1;

1 C1x

dx;

2C1x

2C1

Используя граничные условия, получим систему

1 C2 ,

решая которую, будем иметь

и C

e2 1

2(e2 1)

e2 1

2(e2

Решения системы С3 и С4 следует отбросить, так как С3 величина сугубо отрицательная и ln С3 не существует. Таким образом, частный интеграл

y	x2	1	e2	1	ln	x	.

	2(e2 1)			4

9.3. Проинтегрировать уравнения: а) y '' 2 y( y ')3 0;

б) y '' 1 ( y ')2 .

Решение. а) Уравнение не содержит х, поэтому делаем замену y ' p, y '' p dpdy . Тогда

p	dp	2 yp	3	dp	2 yp		2	0 .
p	dy	2 yp		0 или p	2 yp			0 .
	dy	dp		dy
Отсюда р = 0 и		dp		2 yp2 0 .
		dy
Решение	первого			уравнения:	dy	0,		y C. При
					dx

отыскании решения второго уравнения разделим переменные и проинтегрируем

dp 2 yp2 ,

dp 2 ydy,

y2 C , p

y2 C

p dy

Так как

, то

, ( y2

C )dy dx,

C y x C

y2 C

Таким образом, общее решение дифференциального урав-

нения имеет вид

x C

C y и

y C.

х и

у, поэтому можно делать

б) Уравнение не содержит

любую из двух выше рассмотренных подстановок. Естественно, целесообразно делать подстановку, которая ведет

к более простому решению. Поэтому полагаем					y ' p, y '' p ',
тогда		p ' 1 p2 .		Интегрируя,	получим
	dp	dx,	arcsin p x C	, откуда p sin(x C ).
		dx,	arcsin p x C	, откуда p sin(x C ).
	1 p2		1		1
	1 p2
	Но	p dy ,	поэтому dy sin(x C )dx или
		dx		1
		dx

ycos(x C1 ) C2 .

9.4.Проинтегрировать уравнения: а) x2 y ( y )2 0;

б) y

0; в)

г)

( y )

y y

2( y )

Решение. а) Уравнение не содержит явно функцию, поэто-

му делаем замену

y p,

тогда

x2 p p2 . Разделяем перемен-

ные и интегрируем

C1x

dx ,

x C

Переходя к старой переменной, получим уравнение второ-

го порядка с правой частью, зависящей только от х, т. е.

y ''

C1x

x C

C2 ;

Интегрируем

его два

раза

y ' C1 x C1 ln

x C1

y C1 x2 C12 (x C1 ) ln

x C1

C12 x C2 x C3 ; C2 C2 C12 ;

C1 x2

C12 (x C1 ) ln

x C1

C2 x C3.

б) Уравнение является однородным относительно у, у' и у",

поэтому делаем замену у =ty,

t y t

Тогда получим

t2 y2

;

t C1;

C1 y;

t y t

dy C dx; ln

C x.

Откуда y C

eC1x .

в)

Делая

замену

у" = р(х);

понизим

порядок

уравнения

dp p 1.

Разделяем переменные и интегрируем

pdp = dx,

тогда

x C ,

2x C .

Отсюда

2x C1 .

Так как правая часть зависит только от х, то

интегрируя дважды, получим

y 2x C1

2 dx C2

(2x C1 )2 C2 ;

(2x C )2 C

x C .

г) Уравнение не содержит явно независимую переменную.

Делаем замену

y p,

y p dp ,

p d

тогда уравнение примет вид

d 2 p

dp 2

2 p

Откуда

p2 0, y 0,

y C и p d

Поскольку последнее уравнение не содержит в явном виде

у, то

полагая

d 2 p

получим

dy2

откуда

t 0,

dp 0,

p C ,

y C x C

dp , ln

t 0,

C1 p

, t C1 p.

Интегрируем последнее уравнение

C1 y

C1 p,

C1dy, ln

C1 y ln C2

p C2e

Наконец

C y

C2e 1

C2dx,

C y

e 1

C y

C1 y C2 x C3 ,

C y

C2 x C3.

Таким образом, окончательно имеем

y C, y C1x C2 , 1 e C1 y C2 x C3 0. C1

1.10. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

1°. Линейным однородным уравнением называется

уравнение
y(n) P y(n 1)	... P	y ' P y 0,	(1)
1	n 1	n

все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты Р1,Р2,...,Рп - постоянные величины.

Общий интеграл линейного уравнения п-го порядка имеет

вид

y C1 y1 C2 y2 ... Cn yn ,

(2)

где у1,у2,...,уп —линейно независимые частные решения этого уравнения.

Если искать частные решения в виде у = екх, то получим

характеристическое уравнение kn Pkn 1	... P	k P 0.
1	n 1	n

Порядок характеристического уравнения совпадает с порядком дифференциального уравнения. В зависимости от значений корней характеристического уравнения возможны следующие общие решения дифференциального уравнения:

1. Если все корни k1, k2 ,..., kn характеристического уравне-

ния действительные и различные, то общий интеграл имеет вид

y C ek1x C		ek2 x ... C		ekn x ;	(3)
1	2		n
2. Если действительный корень к1			имеет кратность r

(k1 k2 ... kr ) , то в решении соответствующие члены заме-

няются слагаемым

ek1x (C1 C2 x ... Cr xr 1 );

3. Если характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексно-сопряженных корней k1,2 i , то в

решении соответствующая пара членов заменяется слагаемым e x (C1 cos x C2 sin x);

4. Если пара комплексно-сопряженных корней k1,2 i

имеет кратность r, то соответствующие r пар членов в решении заменяются слагаемым

e x C1 C2 x ... Cr xr 1 cos x Cr 1 Cr 2 x ... C2r xr 1 sin x .

2°. Если решением характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка у" + ру +qy = 0 является пара комплексно-сопряженных корней, то общее решение имеет вид

y e x (C cos x C	2	sin x).	(4)
1	2

Приведем еще одну форму записи этого решения. Пусть C1 Asin , C2 Acos , где А и новые произвольные по-

стоянные. Подставляя вместо С1 и С2 их значения, общее решение примет вид

y Ae x sin( x ).

(5)

Если в дифференциальном уравнении р = 0, то оно имеет вид y '' qy 0 и называется дифференциальным уравнением сво-

бодных гармонических колебаний. Корни его характеристичес-

кого уравнения чисто мнимые k1

qi ; k2 q i, поэтому


общее решение будет y Asin				q x .
	10.1. Найти решение уравнений: а) y 5y 6y 0 ;
	б) y 6 y 9 y 0; в) y 6 y 13y 0;
	г) y	16 y 0, y(0) 1,
				y (0) 2.
к2	Решение.		а) Составляем характеристическое уравнение
	- 5к - 6 = 0		и находим его корни. По теореме Виета к1 = 6,
к2	= -1. Поскольку корни действительные и разные, то общее
решение имеет вид

y C1e6 x C2e x .

б) Составляем характеристическое уравнение к2 - 6к + 9 = 0 и находим его корни к1 = к2 = 3. Поскольку корни действительные и кратные, то общее решение имеет вид

y e3x (C1 C2 x).

в) Составляем характеристическое уравнение к2+6к+13=0

и находим его корни k1,2	3 2i. В	этом случае корни
комплексно-сопряженные	3, 2.	Общее решение
уравнения имеет вид
y e 3x C1 cos 2x C2 sin 2x
или, согласно равенству (5)
y Ae 3x sin(2x ).
г) Составим характеристическое уравнение к2 +16 = 0 и на-

ходим его корни k1,2 4i. В этом случае корни чисто мнимые0, 4. Общее решение имеет вид

y C1 cos 4x C2 sin 4x или y Asin(4x ).

Решим теперь задачу Коши. Согласно первому начальному

условию имеем 1 C1 C2	0, C1 1.	Находим	производную
y ' 4C1 sin 4x 4C2 cos 4x.	Согласно	второму	начальному

условию 2 4C1 0 4C2 , C2 12 . Подставляя найденные зна-

чения произвольных постоянных в общее решение, получим частное решение y cos 4x 12 sin 4x.

10.2. Найти решение уравнений: а) y 6 y 13y 0 ;

d 4 y	VI	IV
б) dx4 y 0 ;	в) y 4 y		4 y	0 ;
б) dx4 y 0 ;	в) y 4 y		4 y	0 ;
Решение. а)	Составляем	характеристическое			уравнение
k3 6k2 13k 0	и находим	его корни k 0,			k	2,3	3 2i .
				1		2,3

Поскольку один корень действительный, а два комплексносопряженные, то общее решение имеет вид

y C1 e3x C2 cos 2x C3 sin 2x .

б) Составляем характеристическое уравнение k4 1 0 и находим его корни k2 1 k2 1 0, k1,2 1, k3,4 i . Два

корня действительные и разные, а два корня мнимые, следовательно, решение имеет вид

y C1ex C2e x C3 cos x C4 sin x .

в) Данному дифференциальному уравнению соответствует

характеристическое		уравнение			k6 4k4		4k2 0		или
k2 k4 4k4 4k2	0 .	Находим			корни:	два	действительных
кратных корня	k1 k2		0	и	два	двукратных		мнимых
сопряженных корня		k3,4	i	2 , k5,6 i 2 .			Таким	образом,
решение, согласно пунктам 2,4, примет вид
y C1 C2 x C3 C4 x cos					2 x C5 C6 x sin			2 x .

1.11. Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным уравнением называется уравнение первой степени относительно функции и ее производных

y(n) P1 y(n 1) ... Pn 1 y Pn y q(x) .

(1)

Это уравнение отличается от однородного уравнения наличием в правой части некоторой известной функции q от независимой переменной х.

Общий интеграл у линейного неоднородного уравнения равен сумме какого-либо его частного интеграла y1 и общего

интеграла u, соответствующего однородного уравнения (получающегося из неоднородного при q = 0), т. е. y u y1 .

1°. Для некоторых специальных видов функции q(x) частный интеграл y1 , можно найти методом неопределенных коэффициентов. По виду правой части q(x) можно заранее указать вид частного интеграла y1 , где неизвестны лишь числовые коэффициенты. Рассмотрим эти случаи:

1) q(x) emx P(x) , где P(x) – многочлен. В частности, если

m = 0, то q(x) = P(x), а если P(x) есть постоянная величина С (многочлен нулевой степени), то q(x) - показательная функция

Cemx .

2)q(x) eax Acos bx B sin bx .

3)q(x) P(x) cos bx f (x)sin bx; P(x) и f (x) - многочлены.

4)q(x) – есть сумма рассмотренных выше случаев.

В этих случаях y1 , есть функция, подобная q(x), т. е.

отличающаяся от q(x) только числовыми коэффициентами. Если число m (для первого случая) или числа а±bi (для второго случая) являются корнями характеристического уравнения кратности r (соответствующего однородного уравнения), то

y1 , отличается от q(x) множителем xr .

Написав по виду правой части q(x) выражение функции y1

с неопределенными буквенными коэффициентами, находят производные y1, y1 и т. д. и подставляют y1, y1, y1,... в данное

неоднородное уравнение. Сравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей, составляют систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов,

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.47 Mб32368.pdf
#
15.11.20221.47 Mб02369.pdf
#
15.11.20221.49 Mб12377.pdf
#
15.11.20221.49 Mб02378.pdf
#
15.11.20221.5 Mб02382.pdf
#
15.11.20221.5 Mб02385.pdf
#
15.11.20221.51 Mб12391.pdf
#
15.11.20221.52 Mб12393.pdf
#
15.11.20221.52 Mб02394.pdf
#
15.11.20221.52 Mб22395.pdf
#
15.11.20221.52 Mб02396.pdf