2385

решение которой и определяет частное решение неоднородного уравнения.

. Если по виду правой части q(x) указать вид частного интеграла y1 затруднительно, то его можно найти с помощью п квадратур по формуле

В случае комплексных сопряженных корней бывает удобнее выражать тригонометрические функции через показательные по формулам Эйлера

3°. Метод вариации произвольных постоянных. Пусть требуется решить неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

где y1 и y2 — частные решения однородного уравнения. Будем считать C1 и C2 неизвестными функциями х. Для их определения необходимо решить систему

51

Подставляя C1 и C2 в выражение (8), получим общее

решение.

Если решается неоднородное уравнение n-го порядка и известна фундаментальная система решений y1, y2 ,..., yn

соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения (1) берем в виде

где C1 (x),C2 (x),...,Cn (x) определяются из системы уравнений

C1 y1 C2 y2 ... Cn yn 0,C1 y1 C2 y2 ... Cn yn 0,

.....................................................

C1 y(n 2)1 C2 y(n 2)2 ... Cn y(n 2)n 0,

C1 y(n 1)1 C2 y(n 1)2 ... Cn y(n 1)n q(x).

11.1. Найти решение уравнений: а) y 2y 3y 3x 1;

б) y 2 y 2 5x2 ; в) y 6 y 5y 8e3x ; г) y 6 y 9 y 4e3x ;

Поскольку правая часть неоднородного уравнения представляет многочлен второй степени, то частное решение

52

y1 следует искать в полной форме многочлена второй степени

коэффициенты. Так как предположили, что y1 есть решение заданного уравнения, то подставив y1, y1, y1 в это уравнение, получим тождество относительно х

2A 4Ax 2B 3Ax2 3Bx 3C 3x2 1.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и в правой части

Отсюда А = - 1, В = 4 , С = 11 . Следовательно, имеем

3 3

y x2 43x 119 .

Общее решение исходного уравнения примет вид

y C1e3x C2e x x2 43x 119 .

б) Соответствующее однородное уравнение имеет вид

y - 2y = 0. Составляем характеристическое уравнение k2-2k=0 и находим его корни k1=0, k2=2. Общее решение получаем в

форме u C1 C2e2 x .

Определяем форму частного решения y1 . Поскольку в

правой части неоднородного уравнения m = 0 и m совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение

y1 в форме многочлена второй степени умножается на х, т. е. y1 x Ax2 Bx C .

Находим y1 3Ax2 2Bx C, y1 6Ax 2B и подставляем y1, y1, y1 в заданное уравнение

6Ax 2B 6Ax2 4Bx 2C 2 5x2 .

53

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х

в) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y + 6y + 5y = 0. Составим характеристическое

Поскольку правая часть уравнения представляет показательную функцию, то частное решение ищем в подобном виде только с неопределенным коэффициентом

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y C1e x C2e 5 x 14 e3x .

г) Найдем решение соответствующего однородного уравнения у'' - 6у' + 9y = 0. Составляем характеристическое

уравнение k2 6k 9 0 и находим его корни k1,2 3 . Так как корни кратные, то решение имеет вид u C1 C2 x e3x .

54

Поскольку в правой части m = 3 и совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, то частное решение

исходное уравнение. После приведения подобных членов

д) Составляем характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения k2 3k 2 0 . Его

Поскольку правая часть уравнения представляет произведение многочлена второй степени на показательную функцию и m = 1 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение ищем в

виде y1 Ax3 Bx2 Cx ex . Находя производные y1 и y2 и подставляя их в исходное уравнение, будем иметь

6Ax 2B 3Ax2 2Bx C 3Ax2 2Bx C Ax3 Bx2 Cx ex

9Ax2 6Bx 3C 3Bx2 3Cx ex 2Ax3 2Bx2 2Cx ex

x2 x ex .

Приведя подобные члены и сравнивая неопределенные коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему относительно А, В и С, решая которую, будем иметь

Следовательно, частное решение примет вид

Окончательно решение будет

55

корни k1 1, k2 5 . Общее решение однородного уравнения

Поскольку правая часть исходного уравнения равна сумме двучлена и показательной функции и m = 1 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение запишем также в виде суммы двучлена и

Приравнивая неопределенные коэффициенты при одинаковых степенях х и при показательной функции,

находим, что A 53 , B 1225 , C 43 . Таким образом, частное решение будет

y1 53 x 54 43 xex ,

а общее решение исходного уравнения примет вид y C1ex C2e 5x 53 x 54 43 xex .

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями. Находя производную

y C1ex 5C2e 5x 53 43 ex 43 xex

и значения у и у' при х = 0, получим систему

56

C1 C2 1225 ,

C1 5C2 53 ,

откуда C1 12 , C2 501 .

Следовательно, частное решение исходного уравнения будет

Решение. а) Найдем общее решение соответствующего

Правая часть неоднородного уравнения представляет тригонометрический многочлен с разными аргументами у тригонометрических функций, поэтому частное решение ищем в полной форме двух тригонометрических многочленов

y1 Acos3x B sin 3x C cos x D sin x .

Находим производные

y1 3Asin 3x 3B cos3x C sin x D cos x , y2 9Acos3x 9B sin 3x C cos x D sin x .

Подставляем y1, y1, y1 в исходное уравнение и прирав-

ниваем неопределенные коэффициенты у одинаковых тригонометрических функций

57

9Acos3x 9B sin 3x C cos x D sin x 6Asin 3x 6B cos3x

Несмотря на то, что правая часть неоднородного уравнения одна тригонометрическая функция, частное решение ищем в полной форме тригонометрического

многочлена y1 Acos 2x B sin 2x .

Отсюда A 0, B 17 и общее решение неоднородного уравнения примет вид

58

y C1e 3 x C2e 3 x 17 sin 2x .

в) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y y 0 . Корни характеристического уравнения

k2 1 0 чисто мнимые и имеют вид

k1,2 i, т.е. 0, 1.

Общее решение однородного уравнения будет u C1 cos x C2 sin x .

Поскольку правая часть неоднородного уравнения задана в виде тригонометрической функции и числа a = 0, b = 1 совпадают с корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения, которое ищем в полной форме тригонометрического многочлена, следует умножить на x, т. е.

y1 Ax cos x Bx sin x .

Находим производную

y1 2Asin x Ax cos x 2B cos x Bx sin x .

Подставим y1, y1 в исходное уравнение

2Asin x 2B cos x cos x

и приравняем коэффициенты при одинаковых тригонометрии-

ческих функциях, тогда получим, что A 0, B 1 . Отсюда

2

решение неоднородного линейного уравнения будет

y C1 cos x C2 sin x 1 x sin x .

2

г) Для соответствующего однородного уравнения y y 0

составим характеристическое уравнение k2 1 0 . Его корни k1,2 1. Общее решение однородного уравнения будет

u C1ex C2e x .

Поскольку правая часть исходного уравнения равна сумме

59

тригонометрической и показательной функций, причем m = -1 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение также запишем в виде суммы

y1 Acos x B sin x Cxe x .

Находя y и подставляя все в исходное уравнение, получим

Acos x B sin x Ce x Ce x Cxe x Acos x B sin x Cxe x

sin x e x .

Приравнивая неопределенные коэффициенты при одинаковых тригонометрических и показательной функциях,

y1 12 xe x sin x .

Следовательно, общее решение исходного уравнения будет

y C1ex C2e x 12 xe x sin x .

д) Для соответствующего однородного уравнения

производные y1, y1 и подставляя их в заданное уравнение, получим

ex Acos x B sin x ex Asin x B cos x ex Asin x B cos xex Acos x B sin x 7ex Acos x B sin x Asin x B cos x

6ex Acos x B sin x ex sin x.

60