Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2385

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2218 19 20 21 22 > Следующая >>>

ikx

c eikx c

e ikx

1 ik

( 1)k 1 ik eikx

1 ik e ikx

1 k 2

( 1)k

cos kx k sin kx

;

k 1, 2,... .

1 k 2

Полагая k = 0, получим

Таким образом ex

1 2

cos kx k sin kx .

k 1 1 k

3.2. Ряд Фурье для функции с периодом 2l

1°. Для кусочно-дифференцируемой и 2l -периодичной

функции f (x)

ряд Фурье имеет вид

f (x)

bk sin k

(1)

ak cos k

x ,

где

k 1

f (x) cos k

(0,1, 2,...),

1 l

xdx;

(2)

1 l

xdx;

f (x) sin k

(0,1, 2,...).

Разложение (1) может быть применено и к

непериодическим функциям. Например, функция

f (x)

не

является периодической. Если ее рассматривать на отрезкеl,l , а затем продолжить периодически (рис.3.5), то получим периодическую функцию. Поэтому, если говорят о разложении функции f (x) на отрезке l,l в ряд Фурье, то имеется в виду, что функция периодическая.

171

Рис. 3.5

2°. Если функция f (x) четная, то ряд Фурье

		f (x) a0				x ,
		f (x) a0		ak cos k		x ,
где			2	k 1		l
где	2 l
a	2 l		f (x) cos k	xdx;	(k 0,1, 2,...).
k	l			l
k
		0

Если функция f (x) нечетная, то ряд Фурье

f (x) bk sin k l x,

k 1

где

b	2 l		f (x) sin k	xdx; (0,1, 2,...).
k	l			l
k
		0

3°. Ряд Фурье в комплексной форме имеет вид

f (x)

где

ck 1 l

2l l

			x ,
ck eik		l	x ,

f (x)e ik		x dx .
f (x)e ik	l	x dx .

2.1. Разложить в ряд Фурье функцию
0	при	3 x 0,
f (x)	при	0	x 3,
x	при	0	x 3,
				1
пользуясь разложением, найти сумму ряда				1		.
пользуясь разложением, найти сумму ряда				(2k 1)	2	.
			k 1	(2k 1)

172

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Решение. Поскольку функция кусочно-дифференцируема и 2l - периодична, то разложение ее в ряд Фурье находим по формуле (1), а коэффициенты по формулам (2). Полагая l 3 и разбивая интервал интегрирования на две части, получим

														1		0									3								1 x2					3				3
														1		0									3								1 x2					3				3
								a0								0 dx xdx																														,
								a0						3		0 dx xdx																	3 2									2				,
														3	3										0								3 2					0				2
															3										0													0
			ak						1					0	0 cos k									xdx						3
			ak						3						0 cos k								3	xdx						x cos k								3			xdx
									3					3									3							0								3
	1	3x													3		3x 3																					3														3
	1	3x													3		3x 3																					3														3
					sin k									x									sin k						xdx														cos k							x
	3				sin k						3			x			k						sin k				3		xdx							k 2 2							cos k					3		x
	3	k									3						k										3									k 2 2												3
															0					0																																0
															0					0																																0
																				3								k						,
																k 2 2 1														1				,
				bk					1				0		0 sin k									xdx						3
				bk					3						0 sin k								3	xdx						x sin k								3		xdx
									3				3										3							0								3
			1																3					3																	3			1				k 1
																			3					3
								x cos k									x								cos k							xdx																		;

			k													3														3									k
			k													3														3									k
																			0					0
																			0					0
					3					3						( 1)				k		1 cos k													( 1)						k 1
	f (x)				3					3						( 1)																x			( 1)										sin k
	f (x)																	k														x													sin k
					4									k 1				k												3								k										3
		3			3											2										2k				1							1 k
																					cos										x												sin k						x		.
		4													2k 1					2	cos						3				x							k					sin k					3	x		.
		4					k 1								2k 1												3											k										3

																														0 3								6										1
При x 0 разложение примет вид																																						6										1					,
При x 0 разложение примет вид																																						2									(2k	1)			2		,
																																	4								k 1						(2k	1)
						1										2
откуда						1										.
откуда			(2k 1)								2					.
	k 1		(2k 1)												8
2.2. Разложить в ряд Фурье 2l																																								-					периодическую
функцию			f (x)									x		, заданную в интервале																								1 x 1 .
функцию			f (x)									x		, заданную в интервале																								1 x 1 .

Решение. Так как функция четная, то воспользуемся формулами (3), (4). Полагая l 1, получим

173

											a0		21		xdx 1 ,
		1											x	0					1				1
		1											x				1		1				1
ak 2			x cos k xdx 2											sin k x			1							sin k xdx

																				k
												k								k
		0					2						1		2		0	1					0
		0															0						0
																					k
																					k
					k 2 2				cos k x				0	k 2 2								1			,
					k 2 2								0	k 2 2
	1			2				1 k 1								1		4						cos(2k 1) x
x	1			2				1 k 1				cos k x				1		4						cos(2k 1) x			.
x	2				2				k	2		cos k x				2			2						(2k 1)	2	.
	2					k 1			k							2					k 1				(2k 1)

2.3.Разложить в ряд Фурье функцию f (x) 3x , заданную

винтервале 3 x 3 .

Решение. Так как функция нечетная, то воспользуемся формулами (5), (6). Полагая l 3 , получим

		2	3 x					2			3x						3		3 3
		2	3 x					2			3x						3		3 3
b				sin k		xdx							cos k			x				cos k		xdx
b			3	sin k		xdx							cos k			x			k	cos k		xdx
k		3	3		3			9			k				3				k		3
			0								2	( 1)k 1 .					0		0
											2
Таким образом,										k
										k

							x							k 1
							x	2	1					sin k				x .
						3			1					sin k			3	x .
						3			k 1			k					3
	2.4. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) 10 x																						при

5 x 15 .

Решение. Воспользуемся формулами (2), в которых

заменим пределы на 5 и 15. При k 0, l													5 будем иметь
				1	15				1					x	2		15
					15										2		15
			a0		(10 x)dx						10x							0 ;
			a0	5	(10 x)dx				5		10x							0 ;
				5	5				5				2				5
					5												5
	1 15					1	10	x			5					15			5 15
	1 15					1					5					15			5 15
ak		(10	x) cos		dx							sin k			x					sin k		dx
ak	5	(10	x) cos	5	dx	5				k		sin k	5		x				k	sin k	5	dx
	5			5		5				k			5						k		5
	5															5			5
	5															5			5

174

										5												15
										5			cos k						x			15		0 ;
									k	2		2	cos k						x					0 ;
																5						5
																5						5
	1	15							1										5									15			5	15
	1	15							1										5									15			5	15
bk		(10 x) sin					xdx			10 x												cos k				x						cos k			xdx
bk	5	(10 x) sin				5	xdx		5	10 x								k				cos k			5	x				k		cos k		5	xdx
		5																										5				5
		5																										5				5
			1	25	cos 3k			25			cos k						25						sin k				x		15			10	( 1)k .
			1	25				25									25												15			10

																	2				2
			5	k				k								k									5				5			k
			5	k				k								k									5				5			k
Таким образом, по формуле (5) имеем
												10								k
							10 x					10			( 1)							sin k					x .
							10 x															sin k					x .
														k 1			k								5

2.5.Разложить в ряд Фурье функцию f (x) ex , заданную

винтервале 2 x 2 .

Решение. Воспользуемся комплексной формой ряда Фурье (7), где коэффициенты находим по формуле (8). Полагая l 2 , будет иметь

																										ik		2
																												2

			2				ik x							2				ik						e	1	2	x
	1		2				ik x					1		2		1						x				2
с	1			exe				2	dx			1			e					2			dx
с				exe				2	dx						e								dx
k	4									4														2(2 ik )
		2												2
					e 2 ik					e (2 ik )											( 1)k e2			e 2				2
																												2

																										.
								2(2		ik )												2(2 ik )				.
								2(2		ik )												2(2 ik )
Отсюда ex e			2	e		2							k	e		ik	x
			2			2					( 1)		k				x
											( 1)				2				.
				2															.
				2				k			2 ik

Перейдем к обычной тригонометрической форме ряда Фурье.

Полагая k 0 , будем иметь

e2 e 2 .

Объединяя слагаемые с индексами k

и k

пользуясь

формулами Эйлера, получим

( 1)

c e 2

x c

e 2 x

e 2

2 ik

175

e2 e 2

( 1)k (2 ik )e

x (2 ik )e

4 k 2 2

2 cos k

x k sin k

e2 e 2

( 1)k

4 k 2 2

Таким образом

e4 1

( 1)k

2 cos k

x k sin k

x .

k 1

4 k

3.3. Разложение только по косинусам или только по синусам

1°. Если функция f (x) задана в интервале 0, ,

непрерывна и кусочно-дифференцируема в нем, то ее разложение в ряд Фурье по косинусам имеет вид

			f (x) a0
			f (x) a0		ak cos kx ,			(1)
где				2	k 1
где
		2
ak		2		f (x) cos kxdx, (k 0,1, 2,...) .				(2)
ak				f (x) cos kxdx, (k 0,1, 2,...) .				(2)
				0
Разложение по синусам будет

				f (x) bk sin kx ,				(3)
где				k 1
где
	2
bk	2	f (x) sin kxdx,				(k 1, 2,...) .		(4)
bk		f (x) sin kxdx,				(k 1, 2,...) .		(4)
		0
2°. Разложение в интервале 0,l по косинусам имеет вид
			f (x) a0				x ,
			f (x) a0		ak cos k		x ,
				2	k 1		l

где

176

							ak					2				l			f (x) cos k							xdx,								(k 0,1, 2,...) .											(6)
							ak						l						f (x) cos k							xdx,								(k 0,1, 2,...) .											(6)
													l													l
															0
Разложение по синусам будет

																					f (x) bk sin k															x ,									(7)
где																										k 1									l
где																			l
									b							2			l	f (x) sin k							xdx,								(k 1, 2,...) .										(8)
									b								l			f (x) sin k							xdx,								(k 1, 2,...) .										(8)
										k							l										l
										k
																			0
		3.1. Разложить в неполные ряды Фурье: а) по косинусам; б) по
синусам функцию																							x					при 0 x / 2 ,
																	f (x)						x					при 0 x / 2 ,
																	f (x)							x				при / 2 x .
																								x				при / 2 x .
		Решение. а) При k 0 по формуле (2) имеем


															2												2			2
								a0							2				f (x)dx								2					xdx ( x)dx
								a0											f (x)dx													xdx ( x)dx
																			0											0
																																				2
																																										3 2
						2		x2							2									x2								2				2	2					3 2
																		x																										.
																		x																										.
											2														2									8				2				8 2
											2			0											2									8				2				8 2
																											2


																2				2
									ak							2					x cos kxdx ( x) cos kxdx
									ak												x cos kxdx ( x) cos kxdx
																				0
																														2


			2		x															1	2 sin kxdx										x											1

							sin kx								2																				sin kx								sin kxdx
							sin kx								2																				sin kx								sin kxdx
				k											0					k	0												k									k
				k											0					k	0												k									k
																																						2					2
																																						2
	2														1																								1
				sin k															cos k						1								sin k								cos k cos k
				sin k				2								2			cos k				2		1								sin k			2		k		2	cos k cos k				2
		2k						2						k									2						2k							2		k							2
																					2
																								2 cos k								cos k 1 .
																				k		2		2 cos k					2			cos k 1 .
																				k									2

177

При	k 1,3,5,...	коэффициент	ak 0 ; при	k 4,8,12,...
коэффициент ak 0		; при k 2,6,10,...	ak 4 , т. е. при четном k,

которые при делении на два дают нечетное число, коэффициенты ak 0 , а такие числа будут 2(2k 1) .

Таким образом, по формуле (1) разложение примет вид

		2		4 cos 2(2k 1)x					2		cos 2(2k 1)x
f (x)				2	2	(2k 1)	2				(2k 1)	2	.
	4							4
			k 1							k 1

б) Разложение по синусам находим по формуле (3), а коэффициенты по формуле (4).



						2	2
						2	2
				bk			x sin kxdx ( x) sin kxdx
				bk			x sin kxdx ( x) sin kxdx
							0
														2


		x						2							x
2		x				2	1	2							x								1
			cos kx						cos kxdx									cos kx								cos kxdx
		k	cos kx				k		cos kxdx							k		cos kx						k		cos kxdx
						0		0
						0		0
																				2						2
																				2
	2				cos k					1		sin k					cos k				1				sin k

				2k			2			k	2								2			k	2
				2k			2			k			2 2k						2			k					2

4k 2 sin k 2 .

Если k четное, то bk 0 . Если k нечетное, то

	b			4 ( 1)k 1				.
		k
		k		(2k 1)2
Таким образом,
	4			( 1)	k 1
f (x)	4			( 1)			sin(2k 1)x .
f (x)			(2k 1)			2	sin(2k 1)x .
3.2. Разложить в		k 1	(2k 1)
3.2. Разложить в		неполные ряды Фурье: а) по синусам;

б) по косинусам функцию f (x) x при 0 x l. Решение. а) По формуле (8) находим коэффициенты

178

2 l

l l

x sin k

xdx

cos k

xdx

cos k

( 1)k 1 .

Отсюда по формуле (7) получим

( 1)

k 1

sin k

x .

k 1

б) Разложение функции в интервале 0,l по косинусам

находим по формулам (6), (5). Полагая k 0 , получим

xdx l ;

x cos x

sin k

xdx

l 0

k 0

l 2

cos k

1 .

k 2 2

Окончательно имеем

cos 2k 1

( 1)

cos k

(2k

k 1

3.4. Сдвиг основного интервала

1°. Значение коэффициентов Фурье и ряд Фурье не

изменится, если интервал	a, a 2 заменить интервалом
0, 2 , так как для 2 - периодической функции
a 2	2
(x)dx (x)dx .
a	0

Если функция f(x) задана в интервале 0, 2 , непрерывна и кусочно-дифференцируема, то ряд Фурье имеет вид

179

f (x)

(ak cos kx bk sin kx),

(1)

где

k 1

x cos kxdx, k 0,1, 2,... ,

(2)

x sin kxdx,

k 1, 2,... .

2°. Для функции f(x) в интервале от 0,

2l ряд Фурье

имеет вид

f (x)

(ak cos k

x bk sin k

x),

(3)

где

k 1

ak 1l

f x cos k

dx,

k 0,1, 2,... ,

(4)

bk 1l

f x sin k

dx,

k 1, 2,... .

f (x) x

4.1. Разложить

в ряд Фурье

функцию

при

0 x 2 .

Решение. Коэффициенты ряда Фурье находим по формулам (2). При k 0 имеем

						1	2
			a0			1	xdx 2 ,
			a0				xdx 2 ,
							0
					1	2
		ak			1		x cos kxdx 0 ,
		ak					x cos kxdx 0 ,
						0
	1 2			1		x cos kx				2	1 2			2
	1 2			1		x cos kx				2	1 2			2
b		x sin xdx											cos kxdx		.
b		x sin xdx					k				k		cos kxdx	k	.
k							k				k			k
	0									0		0
	0									0		0
Отсюда ряд Фурье (1) примет вид
								1
			x 2					1	sin kx .
			x 2						sin kx .
							k 1	k

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2218 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.47 Mб32368.pdf
#
15.11.20221.47 Mб02369.pdf
#
15.11.20221.49 Mб12377.pdf
#
15.11.20221.49 Mб02378.pdf
#
15.11.20221.5 Mб02382.pdf
#
15.11.20221.5 Mб02385.pdf
#
15.11.20221.51 Mб12391.pdf
#
15.11.20221.52 Mб12393.pdf
#
15.11.20221.52 Mб02394.pdf
#
15.11.20221.52 Mб22395.pdf
#
15.11.20221.52 Mб02396.pdf