Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2385

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Воспользуемся признаком сходимости Бертрана. Вычисляем предел

n 1

lim ln n

n 1 !e

1 1

n 1 n 1

n!en

lim

lim ln n

Здесь B < 1, следовательно, ряд расходится.

2.9. Исследовать на сходимость ряд

nln nln ln n

Решение. Воспользуемся

n 2

признаком

сходимости

Ермакова. Составляем функцию

f (x)

и находим

x ln x ln ln x

предел lim

x ln x ln ln x ex

lim ln ln x .

x ex ln ex ln ln ex

Здесь Е > 1, следовательно ряд расходится.

2.10. Исследовать на сходимость:

а) 1 1

1 3

2n 1 !!

...

2 4

(2n)!!

б) 1 1 ... n 1 1 ... n 1 F , , ,1

n 1

n! 1 ... n 1

— гипергеометрический ряд.

Решение.

а)

Найдем

отношение

воспользуемся

формулой Тейлора

1 1

1 2 1

1/ 2

1/ 4

an 1

1 2 2n 2

131

n 14 - величина ограниченная, а 12 1, следовательно ряд расходится.

б) Применим признак Гаусса

1 n n

n n

n 1

Пользуясь разложениями

;

представим отношение

в виде

1 1

n 1

Здесь n

— ограничена и ряд сходится при 0 и

расходится при 0 .

2.3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Ряд с членами разных знаков называется знакопеременным рядом

	a a	a	...	(1)
a
n	1 2	3

n 1

Ряд называется знакочередующимся, если знаки членов этого ряда строго чередуются


1 n 1 an a1 a2 a3 ...	(2)

n 1

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов


an a1	a2	a3	...	(3)

n 1

132

Сходящийся знакопеременный ряд (1) называется условно сходящимся, если ряд (3), составленный из абсолютных значений его членов, расходится.

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (2) сходится, если его члены при n монотонно убывают по абсолютной

величине стремясь к нулю, т. е. lim an 0.

При исследовании рядов (1), (2) на абсолютную сходимость следует использовать достаточные признаки сходимости.

Оценка погрешности. Если в сходящемся знакочередующемся ряде ограничиться первыми п членами, то

остаток Rn ряда Rn S Sn 1 n un 1 1 n 1 un 2 ... имеет знак первого отброшенного члена и будет меньше его по абсолютной величине Rn un 1 . В силу этого свойства

знакочередующиеся ряды весьма удобны для вычислений с заданной степенью точности.

3.1. Исследовать на сходимость ряды:

sin n

n2 n

а) 1

...

б)

;

в) 1

;

n 1

г) 1 n ln n .

n 2

Решение. а) Данный ряд знакочередующийся. Найдем

a член ряда: a

1 n 1

. Члены ряда убывают по абсолютной

2n 1

величине,

стремясь к нулю

lim

0 , следовательно, по

2n 1

признаку Лейбница ряд сходится.

Для выяснения сходимости ряда, составленного из абсолютных значений его членов, воспользуемся интегральным признаком

133

dx	1	lim		d 2x 1	1	lim ln (2x 1)

2x 1	2		1	2x 1	2
							1

1 lim ln 2 1 .

2 n

Так как интеграл расходится, то расходится и ряд, составленный из абсолютных значений его членов. Следовательно, исходный ряд — условно сходящийся ряд.

б) Ряд знакопеременный. При любом предел

lim sin 2 n 0 , следовательно, ряд может сходиться, т.к. члены

n n

его стремятся к нулю не монотонно. Рассмотрим теперь ряд,

sin n

составленный из абсолютных значении его членов

n 1

Сравнивая

его со

сходящимся рядом Дирихле

n 1

убеждаемся

sin n

по первому признаку сравнения в его

сходимости. Отсюда следует, что исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

в) Запишем разложение ряда

1	n2 n	nn	1	2	3	4 ...
	2

			2	4	8
n 1		2				16

Отсюда видно, что ряд знакопеременный. Исследуем на сходимость по признаку Даламбера ряд, составленный из

абсолютных значений его членов nn .

n 1 2

lim n 1		2n		1	, D < 1.
n 2n 1		n		2

Так как по признаку Даламбера ряд сходится, то искомый ряд сходится абсолютно.

134

	г)	Ряд	знакочередующийся. По признаку		Лейбница
lim ln n		lim	1	0 ряд сходится. Исследуем на	сходимость
n	n	n n

ряд, составленный из абсолютных величин. Воспользуемся интегральным признаком сходимости

ln x dx lim ln xd ln x			1 lim ln2	x

2	x	2	2		2

1 lim ln2 ln2 2 .

2 n

Интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд. Таким образом, исходный ряд есть ряд условно сходящийся.

3.2. Найти сумму ряда 1 21! 41! 61! 81! ...с точностью

до 0,01.

Решение. Согласно свойствам сходимости знакочередующихся рядов абсолютная величина первого отброшенного члена должна быть меньше 0,01. Поскольку

то

достаточно найти

сумму

первых

трех

720

100

чтобы

обеспечить

заданную

точность

членов

ряда,

1 1

0,541.

Сумма

отброшенного

ряда

... по

абсолютной величине

меньше

720

8! 10!

вычисление

выполнено

Следовательно,

точностью

до

0.01.

720

2.4. Степенные ряды

1°. Ряд вида

an xn

a1x1

a2 x2 a3 x3 ...,

(1)

n 0

где a0 , a1, a2 , a3 ,...— постоянные числа, называется степенным рядом расположенным по степеням х.

135

Если степени х заменить степенями разности x x0 , то получим ряд

	n a0 a1 x x0	a2 x x0 2 ...,
an x x0			(2)

n 0

который также называется степенным рядом.

2°. Число R называется радиусом сходимости ряда (1),

если при x R ряд сходится абсолютно и расходится при x R . Радиус сходимости ряда (1) находят по формуле

R lim		an	.	(3)
	an 1
n

Интервал (-R, R) — называется интервалом сходимости ряда. Интервалом сходимости для ряда (2) служит интервал

x x0 R , с центром в точке x x0 , внутри которого ряд сходится абсолютно; при x x0 R — ряд расходится.

3°. Под областью сходимости рядов (1), (2) понимают один интервал числовой оси, симметричный относительно точки

x=0 для ряда (1) и точки x x0 для ряда (2), который может

быть закрытым, открытым и полуоткрытым. Область сходимости степенных рядов обычно определяют с помощью признака Даламбера, применяя его к ряду, членами которого являются абсолютные величины членов исследуемого ряда. Граничные точки x, для которых признак Даламбера не решает вопрос о сходимости ряда ( D 1), исследуются особо, с помощью других достаточных признаков сходимости.

4.1. Найти область сходимости рядов:

( 1)

n 1

( 1)

а)

n 1

; б)

;

в)

;

2n 1

n 1

n 0

n 1

x 3

г)

x 5 2n 1 ;

д)

n 1 (n 1)!

n 1

Решение.

а) Используем признак Даламбера:

136

n 1 5 x2n

;

n 2 5 x2n 2

;

2n 1

n 1

2n 3

lim

an 1

lim

x2n 2

n 2 5 2n 1

2n 3 n 1 5

x2n

и определяем, при каких значениях х этот предел меньше 1;

x2 1, отсюда		1 x 1. В				этом	интервале ряд сходится
абсолютно.	При		x	1	ряд	расходится. Граничные			точки

x 1 исследуем особо.
									5
Пусть	x 1 , тогда				получим		числовой ряд	n 1		,

							n 0		2n 1

который расходится, т.к. не выполняется необходимый

признак сходимости ряда lim n 1 5 . При х = 1 ряд имеет

n 2n 1

тот же вид и также расходится, следовательно, областью сходимости является открытый интервал 1 x 1.

б) Используем признак Даламбера

1 n 1 xn

;

an 1

1 n xn 1

n 1

lim

n 1

lim

xn 1

n 1

и определяем, при каких значениях х этот предел меньше единицы x 1; 1 x 1. В этом интервале ряд сходится

абсолютно.

n 1

При

x 1

получаем ряд

, который сходится по

n 1

признаку

Лейбница

lim

0 .

При

x 1

получим

n n

2n 1

расходящийся

гармонический

ряд

все числа

n 1

137

которого отрицательны. Таким образом, областью сходимости

данного ряда является полуоткрытый интервал

1 x 1.

в) По признаку Даламбера

1 n x2n

;

an 1

1 n 1 x2n 2

;

3n n 1

n 1

3n 1 n 2

n 2

lim

an 1

lim

n 1

n 2

Ряд сходится абсолютно при

3 x

3 . На границах

x 3 ряд примет вид

, который сходится по

n 1

n 0

признаку

Лейбница

lim

0 .

Следовательно,

n (n 1)

областью

сходимости

будет

закрытый

интервал

3 x

3 .

г) По признаку Даламбера имеем

lim

an 1

lim

n 1 5

x 5

2n 3 n 1 !

x 5 2

lim

0 1.

n n 2 !

x 5

2n 1

n n 2

Так как ряд сходится при любом значении х, то его интервал сходимости есть вся числовая ось x .

д) По признаку Даламбера

lim

an 1

lim

x 3 n 1 n5n

x 3

lim

x 3

n 1 5n 1 x 3 n

n n 1

Ряд сходится абсолютно при

x 3

1 или

5 x 3 5 ,

откуда

2 x 8 .

x 8 ряд имеет

Граничные точки исследуем особо.

При

вид

1 и расходится. При x 2

ряд имеет вид

, и

n 1

138

по признаку Лейбница сходится:		lim 1 0 . Таким образом,
		n n
областью сходимости	является	полуоткрытый	интервал
2 x 8 .
2.5. Функциональные ряды
1°. Ряд вида

an x a1(x) a2 (x) a3 (x) ...,			(1)
n 1
где a1 (x), a2 (x), a3 (x),... —	некоторые функции переменной х,

называется функциональным.

Под областью сходимости понимают множество значений аргумента х, при которых ряд (1) сходится. При определении области сходимости обычно используют признак Даламбера, а граничные точки, в которых D 1 исследуют с помощью других достаточных признаков сходимости рядов.

2°. Равномерная сходимость. Функция S(x) lim Sn (x)

называется суммой ряда (1), а разность Rn (x) S(x) Sn (x) —

остатком ряда. Ряд (1) сходится равномерно на промежутке [а,b], если для любого 0 , можно найти такое N, что при n N для всех x из данного промежутка выполняется

неравенство Rn (x) .

Функциональный ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на промежутке [а,b], если существует такой

сходящийся положительный числовой ряд cn , что

n 1

an (x) cn при a x b (признак Вейерштрасса).

Если a1(x),a2 (x),a3 (x) ,…— непрерывные функции в

области их определения и ряд (1) равномерно сходится в этой области, то его сумма f(x) есть функция непрерывная. Если ряд

139

из непрерывных функций сходится, но неравномерно, то его сумма может оказаться разрывной функцией.

5.1. Определить область сходимости: а) ( 1)n 1 1 ;

nln x

n 1

	x
б) 2n sin	x	; в) lg(x 4) lg2	(x 4) ... lgn (x 4) ...
б) 2n sin	n	; в) lg(x 4) lg2	(x 4) ... lgn (x 4) ...
n 0	3
Решение. а) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных
				1
величин	исходного ряда			1	и для определения
величин	исходного ряда			ln n	и для определения
			n 1	n

сходимости сравним его со сходящимся рядом Дирихле 1p .

n 1 n

При x e ;	p ln x 1, следовательно, наш ряд на основании
признака Вейерштрасса сходится абсолютно.
При x e ряд имеет вид			1	и является по
		1 n 1
		n 1	n

признаку Лейбница условно сходящимся рядом. При 1 x e ; 0 ln x 1 и ряд по признаку Лейбница сходится, а сравнивая ряд с членами из абсолютных величин с рядом Дирихле

убеждаемся, что он сходится неабсолютно. При

0 x 1 ;

ln x 0 и

ряд расходится,

т.к. не выполнен

необходимый

признак сходимости

lim

. Следовательно,

при x e

n nln x

ряд сходится абсолютно, при 1 x e

сходится условно, при

0 x 1 расходится.

б) Используем признак Даламбера

n 1

D lim

an 1

lim

sin

3n 1

2 lim

3n 1

sin

3n 1

2 1.

2n sin

sin

n 1

Предел D меньше 1 и ряд сходится при любом значении х, область сходимости x .

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.47 Mб32368.pdf
#
15.11.20221.47 Mб02369.pdf
#
15.11.20221.49 Mб12377.pdf
#
15.11.20221.49 Mб02378.pdf
#
15.11.20221.5 Mб02382.pdf
#
15.11.20221.5 Mб02385.pdf
#
15.11.20221.51 Mб12391.pdf
#
15.11.20221.52 Mб12393.pdf
#
15.11.20221.52 Mб02394.pdf
#
15.11.20221.52 Mб22395.pdf
#
15.11.20221.52 Mб02396.pdf