1784

0,814мм.

Относительная погрешность расчета прогиба y методом Мора и способом Верещагина составляет

0,85 0,814 100% 4,2% 5%. 0,85

Таким образом, точность расчета перемещений вполне приемлема. Знаки полученных перемещений говорят о том, что сечение 1 поворачивается по ходу часовой стрелки, а сечение 2 перемещается вверх.

Проверим жесткость балки в сечениях 1 и 2. Запишем условия жесткости

,

y y .

70

По результатам расчетов перемещений

0,012рад 0,02рад,

y 0,85мм y 0,002 l 16мм

(длина балки l 8a 8м).

Таким образом, условия жесткости выполнены. Используя рассчитанные значения перемещений (сече-

ние 1 поворачивается по ходу часовой стрелки, сечение 2 перемещается вверх), а также эпюру изгибающих моментов (рис. 1.7, в), изобразим вид изогнутой оси балки. При этом следует иметь в виду, что на тех участках, где изгибающий момент положителен, изогнутая ось обращена выпуклостью вниз. Если же изгибающий момент отрицателен, изогнутая ось обращена выпуклостью вверх. В точках, где эпюра изгибающего момента меняет знак, на изогнутой оси имеют место точки перегиба. Вид изогнутой оси балки изображен на рис. 1.7, г.

2.4 Задача № 2. Расчет на прочность статически определимой плоской рамы

Из расчета на прочность при изгибе подобрать размеры коробчатого сечения h, b, t плоской рамы (рис. 2.10, а), приняв h/b = 2, t = 0,2b (рис. 2.10, б).

Принять а = 1 м, q = 10 кН/м, материал сталь Ст.3, пределы текучести для которой при растяжении и сжатии одинаковы и равны Т 225МПа; коэффициент запаса прочности n = 1,5.

Данные взять из табл. 2.1.

71

Из условия прочности подобрать размеры коробчатого

Ст. 3, предел текучести на растяжение и сжатие Т 225МПа, а коэффициент запаса прочности n 1,5.

Решение Рама работает в основном на изгиб. По условию задачи

требуется выполнить проектный расчет на прочность. Так как жесткость рамы постоянна на всех участках, то из условия прочности проектный расчет проводится по соотношению

Мхmax

Wх .

Для определения изгибающего момента в опасном сечении рамы (т.е. наибольшего по абсолютной величине значения изгибающего момента) нужно построить эпюры поперечной силы Qу

и изгибающего момента М х , а для выполнения дополнительного проверочного расчетаещеи эпюрунормальной силы N .

1.Определение реакций опор.

Для определения трех реакций опор H, RA и RB можно

Уравнение моментов всех сил относительно точки А: RBa2 – Pa3 – m – qa2 a2 / 2 = 0, откуда

RB Pa3 m qa22 /2 5 10 5 10 кН . a2

73

X

а)

г)

Рис. 2.11

Все три реакции получились положительными. Это означает, что их действительное направление совпадает с выбранным. Для проверки правильности определения реакций RA и RB спроектируем все силы на вертикальную ось y

74

- RB –qa2 + RA = 0, - 10 – 10 + 20 = 0.

Уравнение удовлетворяется тождественно, значит реакции определены верно.

2. Построение эпюр нормальных сил N, поперечных сил Q y и изгибающих моментов М х. Разбиваем раму на три участка (рис. 2.11, а). Положение произвольного поперечного сечения на участках характеризуется координатами z1, z2 и z3. Выбираем направление обхода (показываем стрелками) и записываем выражения для N, Qy и Мх по участкам.

Участок 1:0 z1 a3,N 1 RA 20кН,Qy1 0,Mx1 0.

Участок 2:0 z2 a2,N 2 0,Qy2 qz2 RA,

Q y2 - линейная функция z2. Определим значения поперечной

силы на границах участка: при z2 = 0,

Q y2 RA 20кН; z2 a2, Qy2 qa RA 10 20 10кН.

Мx2 RAz2 m qz22 /2.

Изгибающий момент является квадратичной функцией z2. Для построения параболы необходимо определить как ми-

нимум три значения Mx2 , два из которых определяем на границах участка

Z2=0, Mx2 = - m = - qa22 = - 10 кНм;

Z2 = a, Mx2 = R2a2 - m – q a22 / 2 = 20 – 10 – 5 = 5 кНм.

Так как на втором участке Q y2 не меняет знак, то эпюра

Mx2 не имеет экстремума. Третье значение изгибающего момента определим посредине участка при z2 = a2 / 2

75

z3=0, Mx3 0;z3=a1, Mx3 = Ha1=10 0,5 5 кНм.

Строим эпюры N, Q y и M x, используя в качестве нулевых линий оси стержней рамы. Положительные значения N и Q y откладываем выше нулевой линии, отрицательные – ниже. Ординаты эпюры изгибающих моментов откладываем со стороны сжатого волокна. Изгибающий момент в опасном сече-

нии M x =10 кНм (рис. 2.11 б, в, г).

1. Подбор размеров поперечного сечения рамы.

Подбор сечения рамы ведем из условия прочности. В соответствии с этим условием расчетный осевой момент сопротивления

Для коробчатого сечения осевой момент сопротивления

Учитывая, что h = 2b и t = 0.2b, получим

Wxк 4b3 0,6b(1,66)3 0,47b3. 6 12

Приравняв осевой момент сопротивления коробчатого сечения расчетному значению W x, получим

Площадь коробчатого сечения

FК Fнар Fвн bh -( b - 2t )( h - 2t )= =10,4 5,2 3,12 8,32 28,12 см2.

В данном случае нет смысла проводить дополнительную проверку условия прочности с учетом нормальной силы, так как в сечении с максимальным изгибающим моментом нормальная сила N = 0.

76

3. ЧАСТЬ 2. РАСЧЕТЫ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

3.1. Задача №1. Проектный расчет на устойчивость

Для заданной стойки со сферическими или цилиндрическими шарнирами (табл. 3.1 и рис. 3.1) с заданной формой поперечного сечения, имеющего оси симметрии (табл. 3.1 и рис. 3.2), требуется из условия устойчивости подобрать размер поперечного сечения d. Величину промежуточной гибкости вычислять по приближенной формуле 0 0,3 пр . Здесь пр –

предельная гибкость. Принять коэффициент запаса устойчивости ny 1,5. Числовые данные взять из табл. 3.2.

77