1784

2.3. Основные понятия и зависимости [1]

При растяжении (или сжатии) в поперечном сечении стержня возникает только нормальная сила N.

Нормальная сила N определяется методом сечений и равна алгебраической сумме проекций на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения. При этом сила N считается положительной, если она вызывает растяжение стержня, то есть направлена от сечения стержня в сторону отброшенной части.

Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня определяют по формуле

где F- площадь поперечного сечения.

Условие прочности при растяжении (или сжатии) имеет

тяжению и сжатию, то при растяжении р , а при сжа-

тии с , где р , с- допускаемые напряжения на рас-

тяжение и сжатие соответственно.

Перемещение одного поперечного сечения стержня по отношению к другому можно определить по формуле

где l - расстояние между сечениями, взаимное смещение которых определяется; EF – жесткость стержня.

13

где - допускаемое перемещение.

2.4. Пример 1. Расчет на прочность и жесткость ступенчатого стержня

Стальной ступенчатый стержень, защемленный с одной стороны, нагружен двумя сосредоточенными силами Р1, Р2 и распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 2.3). Проверить прочность стержня при допускаемом напряжении для его материала 160МПа. Проверить жесткость стержня в

сечении I-I, если допускаемое перемещение I I 0,5мм. Собственным весом стержня пренебречь.

Числовые данные:

Р2 10кН; Р2 30кН; q 30 кН ;

м

l1 0,8м; l2 0,2м; l3 0,6м; F1 10см2; F2 5см2;

F3 15см2; E 2 105 МПа .

14

Решение Стержень защемлен с одной стороны. Поэтому реакции

защемления можно не определять. Тогда, используя метод сечений, необходимо отбрасывать левую часть стержня.

Разобьем стержень на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, резко (скачком) изменяется площадь поперечного сечения, начинает или заканчивает действовать распределенная нагрузка. На каждом участке запишем выражение для нормальных сил N.

1 участок: 0 Z1 l3; N(1) P2 qz1 30 30Z1.

Как видим нормальная сила изменяется на участке по линейной зависимости.

2 участок: 0 Z2 l2;N(2) P2 ql3 30 30 0,6 48кН.

3участок:0 Z3 l1;N(3) P2 ql3 P1

30 30 0,6 10 38кН .

По полученным данным в системе координат “N – Z” строим эпюру нормальных сил (рис. 2.3.)

Нормальные напряжения на участках стержня равны:

при Z1 l3: (1) 3,2 кН2 32МПа.

см

16

По полученным значениям в системе координат " Z" строим эпюру нормальных напряжений (рис. 2.3.). Как видим, максимальное нормальное напряжение

max 96МПа< 160МПа, то есть условие прочности (2.2) выполняется.

Определим перемещение сечения I – I (см. рис.2.3.)

кости выполняется.

2.5. Пример 2. Расчет на прочность стержневой системы

Абсолютно жесткий брус АВ опирается на шарнирную неподвижную опору А и прикреплен при помощи шарнира к стальному стержню круглого поперечного сечения (рис. 2.4,а). Подобрать диаметр поперечного сечения стержня, если допускаемое напряжение для его материала = 160 МПа.

Числовые данные: Р = 50 кН; a = 3 м; b = 2 м; с = 1 м.

Решение В рассматриваемой конструкции брус АВ считается аб-

солютно жестким, то есть недеформируемым, и при нагружении системы силой Р деформируется только стержень ОВ. Собственным весом стержня можно пренебречь по сравнению с приложенной к системе силой Р. Тогда возникающая в по-

17

перечных сечениях стержня нормальная сила N будет постоянной по всей его длине.

О

b

ас

Р

Р

Рис. 2.4

Подбор диаметра стержня выполняется из условия прочности (2.2). Так как начальная площадь поперечного сечения

стержня F d2 , где d – диаметр стержня, то из (2.2) получим

4

18

Для расчета диаметра стержня предварительно необходимо найти нормальную силу N. Используя метод сечений, мысленно вырежем брус АВ. Рассекая стержень ОВ, заменим действие его отброшенной части на оставшуюся нормальной силой N (рис. 2.2,б). В шарнирно неподвижной опоре при нагружении системы силой Р возникнут реакции Rx и Rу. Рассматривая равновесие бруса АВ под действием плоской системы сил, можно составить три независимых уравнения равновесия. Однако для определения нормальной силы N в стержне ОВ достаточно записать одно уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно шарнира А.

19