1784
.pdf
Решение
По условию задачи требуется провести проектный расчет на прочность. Из условия прочности (4.4) проектный расчет ведется по соотношению
Mx
Wx
Для определения изгибающего момента в опасном сечении балки (то есть наибольшего по абсолютной величине значения изгибающего момента) нужно построить эпюры поперечной силы Qу и изгибающего момента М х.
I. Определение реакций опор
Горизонтальная составляющая для шарнирнонеподвижной опоры Н = 0, так как нет сил, наклонных или параллельных оси z. Для определения реакций RА и RВ записываем два уравнения равновесия. Уравнение моментов всех сил относительно точки А
RВ а1 а2 Ра1 m qa12 /2 0.
Откуда
|
m qа2 |
/2 Ра |
22,5 45 45 |
||
RВ |
1 |
1 |
|
|
5кН. |
|
|
|
|||
|
а1 а2 |
3 1,5 |
|||
Уравнение моментов всех сил относительно точки В
RА а1 а2 m qа1 а1 /2 а2 Ра2 0 .
Откуда |
|
qа1 а1 /2 а2 m Ра2 |
|
|
|
|
RА |
|
|
90 22,5 |
22,5 |
10кН. |
|
а1 а2 |
3 1,5 |
|
||||
|
|
|
|
|
Обе реакции получились положительными. Это означает, что их действительное направление совпадает с выбран-
40
ным. Для проверки правильности определения реакций опор спроектируем все внешние силы на вертикальную ось Y:
RА qa1 P RВ 10 30 15 5 0 .
Уравнение удовлетворяется тождественно. Значит реакции опор определены верно.
2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
Разбиваем балку на два участка (рис. 4.4 а). Границами участков являются сечения А, С, В. Положения произвольных поперечных сечений на участках характеризуются соответствующими координатами z1 и z2. Записываем выражения для
поперечных сил и изгибающих моментов по участкам, используя выражения (4.1), (4.2) и правила знаков.
Участок I: 0 z1 а2, Qу(1) RB 5кН, Мх(1) RBz1.
Координата z1входит в выражение Мх(1) в первой сте-
пени (Мх(1) - линейная функция z1). Поэтому для построения
эпюры Мх(1) достаточно определить значения ординат на границах участков:
z1 0, Мх(1) 0; z1 a2, Мх(1) RBa2 5 1,5 7,5кНм .
Участок 2: 0 z2 a1, Qу(2) RA qz2, (Qу(2) - линейная функция z2).
z2 = 0, Q(у2)= R1=10 кН;
z2=а, Qу(2) = RА-qа1 = 10-30 = -20 кН .
Так как поперечная сила на втором участке, меняя знак в одном из сечений (обозначим его координаты через z2 ), обращается в нуль (рис. 4.4 а), то в соответствии с дифференци-
41
альными зависимостями (4.3) изгибающий момент в этом сечении будет иметь экстремум. Приравнивая выражение для Qy на втором участке нулю, определим координату сечения
z2 :
dMx(2) |
(2) |
|
|
|
|
RА |
|
10 |
|
||
|
Qy |
RА qz2 |
0, |
z2 |
|
|
|
|
|
1м. |
|
dz |
q |
10 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Строим эпюру Qy , располагая ее строго под схемой балки
(рис. 4.4, а). Уравнение Mх(2) на втором участке
Mх(2) m RАz2 qz22 / 2.
Изгибающий момент Mх(2) является квадратичной функцией z2 . Для построения параболы необходимо определить как ми-
нимум три значения изгибающего момента, два из которых определяем на границах участка:
z2 0, Мх(2) m 2,25qa2 22,5кН·м;
z2 a1, Мх(2) m RAa1 qa12 /2 22,5 30 45 7,5кНм.
Подставляя значение z2 1м в выражении Мх на втором уча-
стке, определим экстремальное (в нашем случае максимальное) значение изгибающего момента на этом участке:
Мх(2max) m RAz2 q(z2)2 /2 22,5 10 5 27,5кНм.
Найденное значение изгибающего момента будет третьим значением ординаты эпюры Мх(2) для построения параболы.
Строим эпюру изгибающих моментов, располагая ее строго под схемой балки (рис. 4.4 а). Положительные значения Мх откладываем выше нулевой линии, отрицательные – ниже. Используя дифференциальные зависимости (4.3) и следствия
42
из них, проводим проверку правильности построения эпюр. Устанавливаем изгибающий момент в опасном сечении
Мх 27,5кНм.
3.Подбор размеров поперечного сечения балки. Подбор сечения балки ведем из условия прочности (4.4).
Всоответствии с этим условием расчетный осевой момент сопротивления
|
|
|
|
|
Wx |
|
Mx |
|
|
Mx43 |
|
|
|
27,5 105 1,5 |
183,3см |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
n |
|
|
|
225 102 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Для круглого сечения (прил. 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
D3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Wx |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
D 3 |
32Wx |
|
|
3 |
|
|
32 183,3 |
12,3см. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,14 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Площадь и момент сопротивления круглого сечения |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
о |
|
|
D2 |
|
|
|
31.4 12.32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119cм |
|
, W |
x 183,3см |
|
, |
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Коэффициент экономичности круглого сечения |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
о |
|
|
|
W оx |
|
|
183,3 |
|
|
0,14. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fо 3 |
|
|
|
|
119 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Для прямоугольного сечения (прил. 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Wx bh2 6. Учитывая, что h=1.5b, получим |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Wx |
b 1.5b 2 6 0,375b2 |
|
|
|
, откуда |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b 3 |
|
|
|
|
183,3 |
|
|
|
7,9cм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0,375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0,375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Принимаем b=8см, тогда h=1,5 b=1,5 8=12 cм. Площадь и осевой момент сопротивления прямоугольного сечения
43
F bh 8 12 96cм2,Wx |
|
bh2 |
|
8 122 |
192cм3. |
|
|
||||
|
6 |
6 |
|
||
Коэффициент экономичности прямоугольного сечения
k |
Wx |
|
|
|
192 |
|
0,204 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F 3 |
|
|
|
96 3 |
||
Если сечение состоит из двух швеллеров, то расчетный осевой момент сопротивления для одного швеллера
Wx1 Wx 183,3 91,65 см3 . 2 2
Из таблиц сортамента (прил. 1) по расчетному значению осевого момента сопротивления выбираем швеллер №16, для которого
Wx[ 93,4см3,F[ 18,1cм2 .
Коэффициент экономичности для составного сечения
K |
|
|
|
2Wx |
|
|
|
|
2 93,4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,86. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2F |
3 |
2 18,1 3 |
|||||
Так как K |
>K >K0, то рациональным является се- |
||||||||||
чение, состоящее из двух швеллеров.
4.5. Пример 2. Расчет на прочность консольной балки
Для консольной балки (рис. 4.5,а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобать номер прокатного двутавра, а в качестве варианта - сечение из двух двутавров, поставленных вплотную друг к другу. Оценить экономичность
сечений по коэффициенту экономичности k Wx 
F3 . Чи-
словые данные: P2 2qa; q3 3q; m1 qa2; a1 1,8a; a2 0,6a; a3 1,2a; (q 10кН
м;a 1м).
44
|
|
Решение |
|
|
|
|
По условию задачи требуется выполнить проектный |
||||
расчет на прочность. Из условия прочности по нормальным |
|||||
напряжениям проектный расчет проводится по соотношению |
|||||
|
W Мх . |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
Для определения изгибающего момента в опасном се- |
||||
чении балки (то есть наибольшего по абсолютной величине |
|||||
значения изгибающего момента) необходимо построить |
эпю- |
||||
ры поперечной силы Qу |
и изгибающего момента Мх . |
|
|||
RA |
3 |
P2 |
1 |
q3 |
|
2 |
|
|
|||
А |
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MA |
z3 |
z2 |
|
z1 |
|
|
а3 = 1,2a |
а2 = 0,6a |
а1 = 1,8a |
|
а) |
34 |
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
Qy, |
|
|
|
|
|
кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z, м |
Mx, |
|
|
12,15 |
|
z, м |
кНм |
|
|
|
|
|
|
|
а1/2 |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
48,6 |
|
|
|
|
69 |
|
|
|
в) |
|
79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119,8 |
Рис. 4.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
1. Определение реакций опор Горизонтальная составляющая реакции жесткого защемле-
ния Аравна нулю, так как нет сил, наклонныхили параллельных оси балки. Для определения вертикальной реакции RАи реактивного момента МА записываем два уравнения равновесия.
Уравнение моментов всех сил относительно точки А
|
|
|
|
а |
|
|
|
m |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
М |
А |
Р |
|
|
а |
|
q |
a |
|
1 |
а |
|
а |
|
|
0, |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
1 |
|
3 1 |
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|||
откуда
МА Р2 а2 а3 m1 q3a1 а1 а2 а3 119,8 кНм.
2
Уравнение проекций всех сил на вертикальную ось
RА q3a1 P2 0,
откуда
RА q3a1 P2 34кН .
2.Построениеэпюрпоперечныхсилиизгибающихмоментов Разобьем балку по длине на 3 участка (рис. 4.5, а) и на каждом участке определим поперечные силы Qy и изгибающие
моменты Mx . 1 участок:
0 z1 1,8a
Q(1) |
|
|
; M(1) q |
z2 |
15z2 |
|
||
q z 30z |
1 |
; |
||||||
2 |
||||||||
Y |
3 1 |
1 |
x |
3 |
1 |
|
||
при |
z1 0:Qy |
0;Mx 0 |
|
|
|
|
||
при z1 1,8a:Qy |
54kH;Mx |
48,6kHм; |
||||||
при z1 0,9a:Mx 12,15кНм. 2 участок: 0 z2 0,6a
Q(y2) q31,8a P2 34kH;
Mx q31,8a(z2 0,9a) P2z2 34z2 48,6; при z2 0:Mx 48,6кНм
при z2 0,6a: Mx 69кНм
46
3 участок: 0 z3 1,2a Qy(3) q31,8a P2 34kH;
Mx(3) q31,8a(1,5a z3) P2 (0,6a z3) m1 34z3 79;
при z3 0:Mx 79kHм
при z3 1,2a:Mx 119,8kHм
По полученным данным строим эпюры Qy (рис. 4.5, б) и
Mx (рис. 4.5, в).
3. Расчет на прочность. Условие прочности
|
|
Mxmax |
|
|
( |
|
Mxmax |
|
119,8 кНм) , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Wx |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Т |
|
|
225 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( |
|
|
|
150МПа) |
|||||||||||||
|
|
n |
1,5 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Wx |
|
Mxmax |
|
|
|
11980 |
798,7см |
3 |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|||||||||||
а) сечение в форме прокатного двутавра.
Из таблицы сортамента прокатной стали (прил. 1) выбираем двутавр №40: Wx 953см3 .
Площадь профиля F=72,6 см2 .
Коэффициент экономичности k |
Wx |
|
|
1,54. |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
3 |
|||
|
F |
|
|
||
|
|
|
|
||
б) сечение в форме двух двутавров. Момент сопротивления на 1 двутавр
Wx1дв Wx 399,35см3 . 2
Из таблицы сортамента (прил. 1) выбираем двутавр № 27а : Wx=407 см3, F=43,2 см2 .
Коэффициент экономичности k2 |
|
2Wx |
|
1,01. |
|
|
|
||
|
||||
|
|
(2F)3 |
||
Т.к. k1 k2 , то экономичнее сечение в форме одного двутавра.
47
КУРСОВАЯ РАБОТА «РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ, ЖЕСТКОСТЬ
ИУСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ»
1.СТРУКТУРА, ОФОРМЛЕНИЕ И ПОРЯДОК ЗАЩИТЫ
Курсовая работа (КР) должна содержать титульный лист, задание на КР, текстовую часть с иллюстративным графическим материалом, размещенным по разделам работы, список литературы и содержание.
Титульный лист является первой страницей КР. На титульном листе указывается министерство, в ведении которого находится вуз, наименование вуза, факультета и кафедры. Приводится название дисциплины, по которой выполняется КР и её тема, фамилия и инициалы разработчика (студента), номер его группы, а также должность, фамилия и инициалы руководителя. Указывается дата защиты КР и год её выполнения.
Задание на КР должно оформляться на отдельном листе формата А4 и включать в себя номер варианта и исходные данные (расчетные схемы, числовые значения размеров элементов конструкций и нагрузок).
Текстовая часть КР оформляется также на листах формата А4. Текст КР должен быть написан от руки четким разборчивым почерком, грамотно, в точных и ясных формулировках, без помарок и исправлений чернилами (пастой) одного цвета. Текстовая часть КР должна полностью отражать все проводимые при проектировании расчеты и построения. В случае необходимости в тексте КР приводят таблицы, схемы, графики и т.п. Схемы, графики и диаграммы выполняют на отдельных листах формата А4 или миллиметровой бумаге.
Каждая страница должна иметь неочерченные поля : слева – 30 мм, справа – 10мм, сверху и снизу – по 20мм. Страницы текста и рисунки должны иметь сквозную нумерацию. Нумерация страниц производится арабскими цифрами, кото-
48
рые проставляют в центре нижней части листа без точки и черточек, отступив одну строку от текста. Титульный лист является первым листом КР (не нумеруется), вторым – задание на КР. Основной текст начинается со страницы “3”. Список литературы и содержание включают в сквозную нумерацию.
Все формулы вписывают в текст разборчиво, вначале обязательно в буквенном (символическом) виде. Формулы выделяют из текста в отдельную строку. Выше и ниже каждой формулы должна быть оставлена одна строка. Значения символов и числовых коэффициентов, входящих в формулу, должны быть пояснены. Расшифровка должна производиться непосредственно под формулой в той последовательности, в которой символы даны в формуле. Значения каждого числового коэффициента и символа следует давать с новой строки. Первая строка расшифровки начинается со слова “где”, двоеточие после него не ставится, а после формулы ставится запятая.
При выполнении расчетов следует привести формулу, подставить числовые значения величин в порядке их следования в формуле и записать конечный результат вычислений с указанием размерности. Промежуточные расчеты не приводятся. Размерность одного и того же параметра по всей текстовой части должна быть постоянной. Все величины в формулах должны выражаться в единицах СИ. Сложные расчеты желательно выполнять на компьютере (ПЭВМ).
Все иллюстрации (схемы, графики, эпюры, чертежи и т. д.) именуются рисунками, нумеруются арабскими цифрами в порядке следования. Рисунки должны размещаться сразу же после первого упоминания о них в тексте. Рисунки выполняют простым карандашом на таких же листах бумаги, что и текст РПР, или миллиметровке. Надписи на рисунках выполняют чертежным шрифтом единообразно на протяжении всей РПР. Рисунок может иметь поясняющую подпись, например: “Рисунок 2. Эпюра крутящих моментов”. Допускается выполнение рисунков на компьютере.
49