1784
.pdfпаса устойчивости ny , определяем эксплуатационную нагруз-
ку.
Гибкость стержня зависит от коэффициента приведения длины , то есть от коэффициента, который сравнивает данные условия закрепления с условиями закрепления, принятыми в задаче Эйлера. Для определения коэффициента необходимо решить полную задачу устойчивости, то есть построить решение и удовлетворить всем граничным условиям. Во многих случаях это сделать довольно трудно. Для нахождения предложен приближенный метод, основанный на использовании энергетического критерия устойчивости. Согласно этому критерию критическая сила определяется по следующей зависимости
l
EJ(y'' )2 dz
P |
0 |
|
, |
(3.7) |
|
|
|||
кр |
l |
|
||
(y')2 dz
0
где y(z) – функция, описывающая упругую линию изогнутого стержня.
Необходимо заметить, что, как и формула Эйлера, формула (3.7) справедлива только в пределах действия закона Гука. Для определения формы упругой линии необходимо опять же решить полную задачу устойчивости, то есть проинтегрировать дифференциальное уравнение равновесия. В результате получится решение в виде формулы Эйлера
P |
2EJ |
. |
(3.8) |
|
( l)2 |
||||
кр |
|
|
Сопоставляя выражения (3.7) и (3.8) при постоянной жесткости EJ стержня, получим формулу
90
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
(y')2 dz |
|
|
|
0 |
. |
(3.9) |
||
l |
|
l |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
(y'')2 dz |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Переходя к безразмерному параметру t z/l , перепишем последнее уравнение в виде
1
(y')2dt
|
0 |
. |
(3.10) |
|
1 |
||||
|
|
|
(y'')2dt
0
Здесь y - безразмерная координата.
Поскольку форма упругой линии стержня заранее неизвестна, для нахождения приближенного решения упругую линию потерявшего устойчивость стержня можно аппроксимировать, например, алгебраическим полиномом
n |
|
y Ck zk . |
(3.11) |
k 1 |
|
Степень n полинома определяется числом заданных граничных условий задачи (числом наложенных связей, ограничивающих изгиб стержня). В безразмерном виде уравнение (3.11) примет вид
n |
|
y Cktk . |
(3.12) |
k 1
При определении критического напряжения необходимо вычислить максимальную гибкость стержня, то есть определить плоскость, в которой стержень может потерять устойчивость (изогнется) в первую очередь.
91
3.3.1. Проектный расчет на устойчивость
Проектный расчет на устойчивость, то есть подбор размеров поперечного сечения, может быть выполнен методом последовательных приближений по гибкости . При выполнении этого вида расчета заданы: эксплуатационная нагрузка Pэ , коэффициент запаса устойчивости ny , материал стержня,
условия его закрепления, форма поперечного сечения и длина l. Так как размеры поперечного сечения стержня неизвестны, то, следовательно, неизвестна и гибкость стержня, а значит неизвестно, по какой зависимости рассчитывать критическое напряжение кр .
В связи с этим расчет размеров поперечного сечения предлагается выполнять методом последовательных приближений. В качестве первого приближения можно принять
(1) пр , кр(1) пц .
Определяется площадь сечения
F(1) Pкр / кр(1) Pэny / кр(1) .
По найденной площади устанавливают размеры сечения и определяют Jmin(1) , imin(1) . Затем уточняют значение гибкости
(1)' l/imin(1) . Далее принимают (2) 0,5( (1) (1)' ) и повторяют счет, определяя кр и т.д. Расчет продолжают до тех пор,
пока не будет соблюдено условие
кр(n) кр(n 1) |
, |
(3.13) |
где - заданная точность определения напряжения.
3.3.2. Расчет эксплуатационной нагрузки
Расчет эксплуатационной нагрузки может быть выполнен по гибкости . При выполнении этого вида расчета заданы: коэффициент запаса устойчивости ny , материал стержня, ус-
ловия его закрепления, форма и размеры
92
поперечного сечения и длина l стержня. Расчет критического напряжения выполняется по формулам (3.6) в зависимости от гибкости стержня. Для определения гибкости стержня вычисляется площадь F и минимальный осевой момент инерции Jmin поперечного сечения. Затем рассчитывается минималь-
ный радиус инерции сечения imin .
Определяется коэффициент приведения длины . Если нет возможности определить коэффициент приведения длины точно, то используется приближенная зависимость (3.10), основанная на энергетическом критерии устойчивости. После чего вычисляют гибкость стержня и, следовательно, величину
критического напряжения кр . Критическая |
нагрузка |
Ркр кр F . Делением критической нагрузки Ркр |
на коэффи- |
циент запаса устойчивости получаем искомую эксплуатационную нагрузку Рэ .
3.3.3. Расчет на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемого напряжения
Расчет сжатых стоек на устойчивость может быть выполнен по допускаемому напряжению на устойчивость y , которое вы-
числяется через коэффициент снижения допускаемого напряжения и допускаемоенапряжениепо прочности насжатие[σ]с
у c . |
(3.14) |
Коэффициент зависит от материала стойки и ее гибко- |
|
сти. Таблицы значений коэффициента |
приведены в спра- |
вочниках, например, в [1]. Условие устойчивости в этом случае записывается в виде
Рэ c F . |
(3.15) |
Из условия устойчивости (3.15) можно, в частности, рассчитать допускаемую (эксплуатационную) нагрузку. При выполнении этого вида расчета заданы: условия закрепления
93
стержня и его длина l, а также материал стержня и размеры поперечного сечения. Сначала определяют коэффициент приведения длины, как и в предыдущем случае. Затем по размерам поперечного сечения вычисляют площадь F, минимальный осевой момент инерции Jmin и рассчитывают минимальный
радиус инерции сечения imin . Далее вычисляют гибкость стержня. По гибкости стержня и материалу стойки из таблиц [1] устанавливают коэффициент снижения допускаемого напряжения . После этого из условия устойчивости (3.15) оп-
ределяют нагрузку Рэ .
3.4. Пример 1. Проектный расчет на устойчивость сжатого стержня
Для заданной стойки со сферическими или цилиндрическими шарнирами (рис. 3.4), (l=2,1м и α=0,5), из материала сталь Ст.3, имеющего пц 220МПа; 0,2 250МПа; E 2 10МПа; с заданной формой поперечного сечения (рис. 3.5), (β=0,6 и γ=0,7) требуется из условия устойчивости подобрать размер поперечного сечения d. Величину промежуточной гибкости вычислять по приближенной формуле0 0,3 пр . Эксплуатационная нагрузка Рэ 102кН . Принять
коэффициент запаса устойчивости ny 1,5.
Решение 1. Коэффициент приведения длины определим согласно
энергетическому критерию устойчивости (3.10). В качестве аппроксимирующей функции изогнутой оси стойки с числом опор≤3 примем алгебраический полином
y czp (z l)r (z l)s , |
(3.16) |
где показатели степени p,r,s могут принимать значения 0,1,2 в зависимости от числа связей, накладываемых соответствующим закреплением.
94
В нашем случае (рис. 3.4) аппроксимирующая функция имеет вид
y cz2 (z l) (z l) |
(3.17) |
и удовлетворяет граничным условиям:
при z=0: y=0 и y׳ = 0; при z=l/2: y=0; при z=1: y=0.
Раскрывая в (3.17) скобки и введя безразмерную переменную t z/l , получим
y |
t2 (1 )t3 t4 , |
(3.18) |
где y y/C l4 - безразмерная координата. Проводя расчеты, определяем 0,3224.
2. Предельную гибкость рассчитываем по формуле (3.3)
пр 
E/ пц 
2 105 /220 94,72.
Находим промежуточную гибкость, ограничивающую потерю устойчивости стержня
0 0,3 пр 0,3 94,72 28,42.
z |
|
|
d |
|
|
|
|
P |
|
|
y |
l |
|
(β+γ)d |
x |
|
|
|
|
αl |
|
|
|
|
y |
|
βd |
|
|
|
|
Рис. 3.4 |
|
|
Рис. 3.5 |
95
3. Принимаем линейную зависимость Ясинского (3.4) для стержней средней гибкости. Рассчитываем параметры формулы Ясинского
a |
|
0,2 |
пр |
пц |
0 |
|
|
250 94,72 220 28,42 |
262,846МПа; |
||||||||
|
пр |
0 |
|
|
|
94,72 28,42 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
b |
|
0,2 |
пц |
|
|
|
|
250 220 |
0,452МПа. |
|
|||||||
пр |
0 |
|
|
94,72 28,42 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Таким образом, зависимость критического напряжения |
|||||||||||||||
кр |
от гибкости стержня можно представить в виде |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
250МПа |
|
при |
0 0; |
||||||||
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28,42 94,72; (3.19) |
|
262,846 0,452 (МПа) при |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 10 |
5 |
/ |
2 |
при |
94,72. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
График зависимости кр f ( ) , построенный с использова-
нием (3.19), представлен на рис. 3.6.
σкр,
МПа
250
225
200
150
100
50
|
|
|
|
|
|
|
|
83,77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
120 |
λ |
||||||
|
|
λ0 = 28,42 |
|
|
λпр = 94,72 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.6 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
96 |
|
|
|
|
4.По заданному значению эксплуатационной нагрузки
икоэффициенту запаса устойчивости определяем критическую нагрузку
Ркр Рэ ny 102 1,5 153кН .
5. Подбираем размеры поперечного сечения стойки. Анализируем, относительно оси при нагружении стержня произойдет потеря устойчивости. Так как условия закрепления во всех направлениях одинаковы, то гибкость будет максимальной для оси, относительно которой осевой момент инерции минимален. В данном примере (рис. 3.5)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )d |
4 |
|
|
( d)4 |
|
(0,6 0,7)d4 |
(0,6d)4 |
|
|
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Jmin Jy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jd |
|
; |
|||||||||
|
|
12 |
|
|
64 |
|
|
|
12 |
|
64 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0,102. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Площадь сечения стойки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
( d)2 |
|
|
|
2 |
|
(0,6d)2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
F ( )d |
|
(0,6 0,7)d |
|
Fd |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1,017. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Минимальный радиус инерции сечения стойки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,102d4 /1,017d2 |
|
0,3167d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y |
|
J |
y |
/F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Размер d подбираем методом последовательных приближений. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
За первое приближение возьмем (1) |
|
пр 94,72. Соответст- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
вующее критическое напряжение кр(1) |
|
220МПа. Тогда |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(1) P / (1) 153 103 |
/220 6,95см2; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d 1 
F(1) /F 
6,95/1,017 2,61см;
imin1 0,3167d 1 0,3167 2,61 0,826см;(1)' l/imin(1) 0,3324 210/0,826 81,96.
Так как (1) и (1)' отличаются существенно, то делаем следующее приближение, принимая
97
(2) ( (1) (1)') 0,5 0,5 (94,72 81,96) 88,34.
Так как 0 пр , то критическое напряжение определяем
по формуле Ясинского
кр(2) a b (2) 262,846 0,452 88,34 222,92МПа.
Оцениваем отличие критических напряжений
кр(1) кр(2) |
220 222,92 2,92МПа. |
Точность недостаточная. Продолжаем итерационный процесс до тех пор, пока не будет соблюдено условие
кр(n) кр(n 1) 0,1МПа.
Результаты расчета представлены в табл.3.5.
Таблица 3.5
Номер |
|
кр , |
F, |
d, |
imin , |
|
(n)' |
, |
Прибл. |
МПа |
см2 |
см |
см |
|
МПа |
||
1 |
94,72 |
220 |
6,95 |
2,61 |
0,826 |
81,96 |
- |
|
2 |
88,34 |
222,92 |
6,86 |
2,60 |
0,823 |
82,26 |
2,92 |
|
3 |
85,30 |
224,29 |
6,82 |
2,59 |
0,820 |
82,56 |
1,37 |
|
4 |
83,93 |
224,90 |
6,80 |
2,58 |
0,810 |
83,60 |
0,61 |
|
5 |
83,77 |
225,00 |
6,80 |
2,58 |
0,810 |
83,60 |
0,10 |
|
Таким образом, окончательный размер d=2,58 см.
На графике (рис. 3.6) для подобранного стержня показываем значения вычисленного критического и действительного напряжений
кр 225МПа; кр /ny 225/1,5 150МПа.
3.5. Пример 2. Расчет эксплуатационной нагрузки для сжатого стержня
Дана стойка с жесткой заделкой и со сферическими шарнирами (рис. 3.7). Длина стержня l=2,1м и коэффициент α=0,5. Материал стойки сталь Ст.3, имеющий пц 220МПа;
98
0,2 250МПа; E 2 105 МПа. Форма и размеры поперечного сечения заданы в виде двух стандартных равнобоких уголков 40х40х3 (рис. 3.3). Требуется из условия устойчивости определить эксплуатационную нагрузку. Величину промежу-
точной |
гибкости вычислять |
по |
приближенной формуле |
||||
0 |
0,3 пр . |
Принять |
коэффициент запаса |
устойчивости |
|||
ny |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
Для решения данной задачи необходимо сначала выпол- |
||||||
нить первые три пункта предыдущей задачи №1 (п. 3.3) |
|||||||
|
1. |
Коэффициент приведения длины 0,3224. |
|||||
|
2. |
Предельная гибкость |
пр |
94,72 . Промежуточная |
|||
гибкость 0 |
28,42. |
|
|
|
|
||
|
3. |
Параметры |
линейной |
зависимости |
Ясинского |
||
a=262,846МПа, b=0,452МПа.
Вычисления приведены в предыдущей задаче. z
P
yс
l |
b |
|
αl |
z0
y
Рис. 3.7
y 40×40×3 x 0
xс
b
Рис. 3.8
99