1594

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

С.М. Алейников , А.А. Ларин

РЯДЫ

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом Воронежского государственного архитектурно-строительного универстета

в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлениям 270100 «Строительство», 220300 «Автоматизированные

технологии в производстве», 280100 «Безопасность жизнедеятельности», 230200 «Информационные системы», 270200 «Транспортное строительство»

Воронеж 2010

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………..4

§1. Числовые ряды……………………………………………………………...5

1.1.Основные понятия…………………………………………………………5

1.2.Необходимый признак сходимости числовых рядов……………………7

1.3.Свойства сходящихся рядов……………………………………………….9

1.4.Положительные ряды и признаки их сходимости………………………12

1.5.Знакопеременные ряды и признаки их сходимости…………………….22

Контрольные вопросы и задания……………………………………………….27

§2. Функциональные ряды…………………………………………………...28

2.1.Основные понятия………………………………………………………...28

2.2.Степенные ряды…………………………………………………………...29

2.2.1.Основные свойства степенных рядов………………………………..30

2.2.2.Разложение функций в степенные ряды…………………………….39

2.2.3.Разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена…44

2.2.4.Применение степенных рядов………………………………………..52

2.3.Ряды Фурье ...……………………………………………………………...58

2.3.1.Тригонометрическая система функций

итригонометрический ряд…………………………………………...58

2.3.2.Свойства тригонометрической системы функций………………….59

2.3.3.Коэффициенты и ряд Фурье………………………………………….61

2.3.4.Сходимость ряда Фурье………………………………………………64

2.3.5.Неполные ряды Фурье………………………….…………………….65

Контрольные вопросы и задания……………………………………………….73

§3. Дифференциальные уравнения в частных производных……………74

3.1.Основные понятия…………………………………………………….......74

3.2.Примеры дифференциальных уравнений в частных производных……75

3.3.Вывод дифференциального уравнения колебаний струны…………….76

3.4.Метод Фурье решения задачи о колебаниях ограниченной струны с закреплёнными концами………………………………………………..80

3.5.Физический смысл решения уравнения колебаний ограниченной

струны……………………………………………………………………...85

Контрольные вопросы и задания……………………………………………….87

Заключение……………………………………………………………………….88

Библиографический список……………………………………………………..88 Приложение……………………………..………………………………………..89

3

Введение

Тема “Ряды” занимает важное место в курсе математики, изучаемом студентами вузов негуманитарного профиля, и входит в программы большинства специальностей, по которым обучаются студенты Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Это связано с тем, что результаты теории числовых и функциональных рядов находят применение не только во многих разделах математики, таких, например, как “Дифференциальные уравнения”, “Специальные функции”, “Методы вычислений”, но и при исследовании математических моделей различных процессов в механике и физике, т.е. при решении прикладных задач.

Материал предлагаемого пособия содержит основы теории числовых рядов и элементы теории функциональных рядов.

Пособие состоит из трёх параграфов и приложения.

Впервом параграфе изложены основные понятия теории числовых рядов, приведены наиболее употребительные признаки их сходимости.

Во втором параграфе рассмотрены основные понятия и свойства степенных рядов и рядов Фурье, выписаны разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций и указаны области их применения.

Втретьем параграфе пособия рассмотрен метод Фурье решения начальнокраевых задач для уравнений математической физики на примере решения такой задачи для уравнения колебаний струны.

Вконце каждого параграфа приводятся вопросы и задания для самоконтроля.

Приложение содержит варианты расчётно-графических работ.

Большое количество примеров, приведённых в пособии, поможет студентам успешно выполнить задания расчётно-графической работы.

4

n 1

Такая формально составленная сумма называется числовым рядом или просто рядом. Числа ai члены ряда. Член ряда an с индексом n называется

общим членом ряда.

Наряду с бесконечной суммой (1.1) рассмотрим конечные суммы

n

S1 a1 , S2 a1 a2 , S3 a1 a2 a3 , … , Sn ak , …. ,

k 1

которые называют частичными суммами ряда.

Так как число членов последовательности {an } бесконечно, то суммы

S1, S2 , ... , Sn , ...

также будут образовывать бесконечную последовательность. Таким образом, для каждого числового ряда можно построить последовательность Sn {S1 ,

S2 ,..., Sn ,...} его частичных сумм.

Определение. Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм Sn сходится, т.е. если существует конечный

предел

lim Sn S .

n

При этом предел S указанной последовательности Sn называется суммой

ряда (1.1), и пишут

S a1 a2 a3 ... an ... an .

n 1

Тем самым формальной сумме (1.1) придаётся числовой смысл.

Если последовательность {Sn} имеет своим пределом ( ) или во-

обще не имеет предела, т.е. расходится, то ряд называется расходящимся и ему не ставится в соответствие никакакая сумма.

5

П р и м е р ы

Таким образом, Sn 1 n 1 1 . Мы получили общую формулу для частичных сумм данного ряда. По определению найдём сумму ряда S :

Таким образом, предел последовательности частичных сумм существует и конечен. Значит, заданный ряд сходится и его сумма S 1.

2. 1 n 1 1 1 1 1 ... .

n 1

S1 1, S2 0, S3 1, ... .

В данном случае последовательность Sn вообще не имеет предела, и потому ряд является расходящимся.

3. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

a a q a q2 ... a qn 1 ... a qn 1 ,

n 1

где q знаменатель геометрической прогрессии. Отбросим сразу же тривиальный случай, когда a 0, так как в этом случае ряд сходится при любом q и его сумма равна 0. Итак, пусть a 0.

Предположим, что q 1. Тогда по известной формуле для суммы первых n членов геометрической прогрессии имеем

Sn a a q a q2 ... a qn 1 a 1 qn . 1 q

6

Выясним, когда рассматриваемый ряд сходится. Пусть | q | 1. Тогда

Данный ряд составлен из членов геометрической прогрессии, в которой

1.2. Необходимый признак сходимости числовых рядов

Приведём необходимое условие сходимости чилового ряда, т.е. такое условие, которое всегда выполняется, если ряд сходится. Это условие принято называть необходимым признаком сходимости числовых рядов.

7

Он формулируется следующим образом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим частичную сумму ряда

lim Sn 1 S . Таким образом,

n

lim an S S 0 .

n

Отметим, что этот признак является необходимым, но не достаточным, т.к. существуют ряды, для которых условие (1.2) выполнено, но ряд расходится. Примером может служить так называемый гармонический ряд:

однако в дальнейшем будет показано, что, тем не менее, этот ряд расходится. На практике чаще всего используют не сам необходимый признак, а след-

ствие из него.

Пусть условие (1.2)

lim an 0

n

не выполнено. Тогда ряд расходится.

8

Д о к а з а т е л ь с т в о (от противного). Пусть условие (1.2) не выполнено, а ряд сходится. По необходимому признаку сходимости общий член такого ряда должен стремиться к нулю при n . Полученное противоречие доказывает справедливость следствия.

П р и м е р ы

нено, то числовой ряд расходится (не выполняется необходимый признак сходимости числовых рядов).

и потому lim Sn .

n

3. Рассмотрим ещё ряд 1 , 0 (обобщённо-гармонический ряд).

n 1 n

Условие lim an 0 выполняется при любом 0, однако, как будет пока-

n

зано далее, при 1 ряд будет сходящимся, а при 1 расходящимся.

1.3. Свойства сходящихся рядов

1. Если ряд an сходится и его сумма равна S , то для любого числа c

n 1

ряд c an также будет сходиться и его сумма будет равна c S .

n 1

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию

9

Sn

что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е. Из доказанного свойства вытекает, что если ряд an

2.Если ряды an и bn сходятся и их суммы соответственно равны A

n 1 n 1

и B , то сходится и ряд

10