1594

Таким образом, над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические операции, такие же, как и над конечными суммами: умножать их почленно на число, складывать и вычитать.

З а м е ч а н и е. Отметим, что сумма сходящегося и расходящегося рядов всегда является расходящимся рядом. О сумме двух расходящихся рядов ничего определённого сказать нельзя.

3. Пусть дан ряд

an a1 a2 ... an ... .

n 1

Предположим, что он сходится. Тогда для любого фиксированного натурального k сходится и ряд

т.е. ряд с отброшенными членами также сходится.

4. Предположим теперь, что для некоторого натурального k сходится ряд вида (1.4), так что существует конечный предел

lim n k .

n

11

Тогда сходится и ряд an .

n 1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя равенство n k Sn S , справедливое для любого натурального n k , получаем Sn S n k . Отсюда следует, что

существует конечный предел

и потому ряд an сходится.

n 1

Из установленных свойств рядов 3 и 4 следует, что добавление или отбрасывание конечного числа слагаемых не влияет на сходимость ряда.

1.4. Положительные ряды и признаки их сходимости

Рассмотрим достаточные признаки сходимости (расходимости) рядов с неотрицательными членами. В дальнейшем мы будем называть такие ряды положительными.

1. Первый признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда

n 1

ипусть an bn , n 1, 2, 3, ... . Тогда из сходимости ряда (1.6) следует сходи-

мость ряда (1.5), а из расходимости ряда (1.5) следует расходимость ряда

(1.6).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку для любого натурального k справедливо неравенство ak bk , то частичные суммы SnA и SnB рядов (1.5) и (1.6) связаны соотношением

SnA SnB , n N .

Пусть ряд (1.6) сходится, тогда существует конечный предел lim S B S B .

n n

Заметим, что частичные суммы рядов образуют возрастающие последовательности. Из свойств возрастающих последовательностей следует, что

12

SnB S B . Таким образом, для любого натурального n выполняется неравенство SnA SnB S B , т.е. возрастающая последовательность SnA ограничена

сверху. Из теории пределов монотонных последовательностей известно, что всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится, т.е.

существует конечный предел lim S A S A . А это и означает, что ряд (1.5) схо-

n n

дится.

Пусть теперь ряд (1.5) расходится. Тогда расходится и ряд (1.6), поскольку из его сходимости, в силу уже доказанного, следовала бы сходимость ряда (1.5), а он, по предположению, расходится.

2. Второй признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда

Тогда

1)если ряд (1.8) сходится и K , то ряд (1.7) также сходится;

2)если ряд (1.8) расходится и K 0, то расходится и ряд (1.7).

Таким образом, если K есть положительное число, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

До к а з а т е л ь с т в о

1.Пусть ряд (1.8) сходится, и пусть K . Поскольку K число, то после-

пользуя первый признак сравнения, получаем, что ряд (1.7) также сходится.

13

2. Пусть теперь ряд (1.8) расходится, и пусть K 0. Так как K 0, то существует конечный предел

Если бы ряд (1.7) сходился, то в силу уже доказанного сходился бы и ряд (1.8), а он, по предположению, расходится. Поэтому ряд (1.7) также расходится.

Пр и м е р ы

1.31n .n 1

Для сравнения воспользуемся гармоническим рядом 1 . Поскольку для

n 1 n

любого n N выполняется неравенство

31n n1

и гармонический ряд, как было замечено ранее, расходится, то, согласно пер-

вому признаку сравнения, ряд 1 также будет расходиться.

n 1 3 n

рассмотрен ранее). Воспользуемся вторым признаком сравнения:

Данный ряд сходится по второму признаку сравнения.

3. ln3n .

n 1 n

Для сравнения воспользуемся сходящимся рядом 12 . Заметим, что

n 1 n

14

ln3n ), то K и по второму признаку сравнения рассматриваемый ряд расходится.

рической прогрессии со знаменателем q 12 (| q | 1). По первому признаку сравнения рассматриваемый ряд также сходится.

и гармонический ряд расходится, то заданный ряд также расходится по второму признаку сравнения.

15

Вывод: при использовании признаков сравнения необходимо иметь «запас» рядов, сходимость или расходимость которых заранее известна. Для сравнения, как правило, используются ряды, составленные из членов геометрической прогрессии, гармонический ряд, различные варианты обобщённогармонического ряда.

Рассмотрим достаточные признаки сходимости (расходимости) рядов, которые позволяют исследовать ряды, не прибегая к помощи вспомогательных рядов.

Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами

1)при 1 ряд сходится;

2)при 1 ряд расходится;

3)при 1 ряд может как сходиться, так и расходиться (требуется дополнительное исследование).

До к а з а т е л ь с т в о

1.Пусть 1. Выберем число 0 таким, чтобы выполнялось неравен-

равносильное двойному неравенству

an 1 . an

Тогда для любого n n0 будет выполняться неравенство

an 1 an qan .

Далее запишем:

an 1 qan , n n0 , n0 1, n0 2, ... ,

откуда получаем:

an0 1 qan0 ,

16

П р и м е р ы

1. 1 .

n 1 n!

Воспользуемся признаком Даламбера:

По признаку Даламбера ряд сходится.

2. nn .

n 1 n!

Воспользуемся опять признаком Даламбера:

1.

По признаку Даламбера ряд расходится.

Ранее было показано, что этот ряд расходится.

18

по первому признаку сравнения получаем, что рассматриваемый ряд сходится.

Радикальный признак Коши. Пусть дан положительный ряд

1)при 1 ряд сходится;

2)при 1 ряд расходится;

3)при 1 ряд может как сходиться, так и расходиться (требуется дополнительное исследование).

Доказательство аналогично доказательству предыдущго признака. Отметим лишь, что в случае 1 члены ряда неограниченно возрастают при n .

З а м е ч а н и е. Приведённые признаки Даламбера и Коши сходимости положительных рядов называются признаками в предельной форме. Признаки Даламбера и Коши в иной форме, называемой непредельной, можно найти в [1, с.452].

П р и м е р

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

По радикальному признаку Коши ряд сходится.

Интегральный признак Коши. Пусть дан положительный ряд an ,

n 1

члены которого образуют убывающую последовательность. Пусть далее функция f x является непрерывной, положительной и убывающей на

полупрямой x 1, и пусть an f n , n 1,2,3, ... . Тогда данный ряд и

несобственный интеграл f x dx сходятся или расходятся одновременно.

1

19