1594

так как иначе имели бы T (t) 0 u(x,t) 0.

Для уравнения (3.9) условия (3.12) не являются начальными, это так называемые краевые условия. Задача решения уравнения (3.9) при условиях (3.12)

называется краевой задачей.

Для уравнения (3.9) составим характеристическое уравнение:

k2 c 0.

Здесь возможны следующие случаи:

1)c 0 , т.е. c 2 , 0 ;

2)c 0;

3)c 0 , т.е. c 2 , 0.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. c 2 , k , 0. Корни уравнения действительные и различные, и, следовательно, общее решение уравнения (3.9) имеет вид

X x C1e x C2e x .

Согласно краевым условиям будем иметь

Xx 0 u(x,t) 0.

2.c 0, k1 k2 0 . В этом случае общее решение уравнения (3.9) имеет

вид

X x C1 C2 x .

82

C1 C2 0 0,C1 C2 l 0.

Поскольку определитель этой системы l 0 , то она имеет единственное

мые, поэтому общее решение уравнения (3.9) имеет вид

X x C1 cos x C2 sin x .

Согласно краевым условиям будем иметь

C1 C2 0 0,

C1 cos l C2 sin l 0.

Из этой системы получаем:

Ясно, что в формуле (3.14) достаточно брать только положительные значения m , т.к. в полученных решениях множителями являются произвольные постоянные, а функция sin y нечётная. Поэтому везде далее будем рассмат-

ривать только натуральные m.

Постоянные m2 называются собственными числами, а функции sin ml x собственными функциями уравнения (3.9) с краевыми условиями

(3.12).

83

Запишем его характеристическое уравнение:

k2 m2 l22a2 0 .

Оно имеет корни k1, 2 i ml a , и потому общее решение рассматриваемого

уравнения имеет вид

Tm t Bm cos m l at Dm sin m l at ,

где Bm и Dm произвольные постоянные, m 1, 2,....

Окончательно решение um (x,t) Tm X m уравнения (3.3) для каждого m

можно записать в виде

um x,t am cos m l at bm sin m l at sin ml x ,

где am и bm новые произвольные постоянные, m 1, 2,.... Так как уравнение (3.3) линейное, то его решением будет и сумма всех решений um (x,t) , т.е.

в предположении, что ряд, определяющий функцию u(x,t) , можно дважды почленно дифференцировать по переменным x и t . Ясно, что функция u(x,t) удовлетворяет краевым условиям (3.5), так как им удовлетворяет каждая из функций um ( x, t) .

Для определения произвольных постоянных am , bm воспользуемся начальными условиями (3.4):

f x am sin ml x , 0 x l ,

m 1

84

F x bm ml a sin ml x , 0 x l .

m 1

m 1, 2,... .

Таким образом, решение уравнения (3.3) при начальных условиях (3.4) и граничных условиях (3.5) имеет следующий окончательный вид:

Условия, которые надо наложить на функции f (x) и F(x) для того, чтобы

выполнялось предположение о возможности двукратного почленного дифференцирования ряда (3.15), можно найти в [3, с.100]. Обычно в физических задачах эти условия соблюдаются.

Метод, применённый для нахождения решения уравнения (3.3), удовлетворяющего начальным условиям (3.4) и краевым условиям (3.5), называется

методом Фурье или методом разделения переменных. Его подробное опи-

сание дано в [3, с.119].

3.5.Физический смысл решения уравнения колебаний ограниченной струны

Каждое из слагаемых полученного решения (3.16) представим в виде

85

um x,t am cos m l at bm sin m l at sin ml x m cos m l at m

Рассмотрим произвольную точку струны x x0 , отличную от граничных точек x 0 и x l . Выбранная точка будет совершать гармонические коле-

бания с амплитудой m sin m x0 . Такие колебания точек струны, описывае- l

мые функцией um ( x, t) , называют стоячей волной струны.

Выясним, какие точки остаются неподвижными в процессе колебаний. Все такие точки x являются решениями уравнения

sin m x 0 , l

так что ml x n , n 1,2,3, ... . Отсюда следует, что x nml , n 1,2,3,.., m 1.

Точки с найденными координатами в процессе колебаний остаются неподвижными для каждого значения n и называются узловыми.

Частота колебаний la , соответствующая слагаемому um ( x, t) с номе-

ром m 1, называется основной частотой колебаний. Остальные частоты кратны ей.

Основная частота определяет основной тон звуковых колебаний, все остальные частоты называются обертонами. В звучании участвует только конечное число частот. Тем самым каждая струна характеризуется своим тембром, т.е звучанием.

Энергия гармонических колебаний каждого слагаемого будет порядка m14 . Отсюда следует, что с ростом m влияние гармоник (членов ряда) стано-

вится всё меньше и меньше. Поэтому в акустике решение в виде бесконечного ряда заменяется конечной суммой стоячих волн. В общем случае решение уравнения колебаний ограниченной струны представляет собой бесконечную сумму стоячих волн с частотами, кратными основной частоте.

П р и м е р Найти решение уравнения колебаний струны

2u a2 2ut2 x2

86

с неподвижными концами

u(0,t) u( ,t) 0

при начальных условиях

u(x, 0) sin3 x,

u (x, 0) 0.

t

Решение данной задачи имеет вид

u(x,t) am cos mat bm sin mat sin mx ,

m 1

где

am 2 sin3 x sin mx dx , m 1, 2, ... ,

0

bm 2 0 sin mx dx 0, m 1, 2,... .

m a 0

Здесь am коэффициенты разложения функции sin3 x в ряд Фурье по синусам. Заметим, что sin3 x 34 sin x 14 sin 3x. Ясно, что правая часть этого равенства как раз и является рядом Фурье для sin3 x разложение в ряд Фу-

Ко н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и з а д а н и я

1.Дайте определение дифференциального уравнения в частных производных. Какое число называется порядком такого уравнения? Дайте определение решения дифференциального уравнения в частных производных.

87

2.Приведите примеры простейших уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа.

3.Сформулируйте задачу о свободных колебаниях упругой ограниченной струны с закреплёнными концами. Приведите формулу, дающую решение такой задачи.

Заключение

В данном пособии не рассмотрены многие важные вопросы теории числовых и функциональных рядов. Так, в первом параграфе не были приведены некоторые тонкие и сложно доказываемые признаки сходимости положительных и знакопеременных числовых рядов, не рассматривались сочетательное и переместительное свойства рядов, которыми они существенно отличаются от конечных сумм, не вводилось понятие произведения рядов. В параграфе, посвящённом изучению функциональных рядов, не вводилось понятие равномерной сходимости таких рядов и в нем не рассматривались свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Последним отчасти объясняется то, что не были доказаны свойства 1 и 2 сумм степенных рядов. Не были рассмотрены многие важные свойства рядов Фурье и применение этих рядов к решению различных задач математической физики. Изложение упомянутых признаков, понятий и свойств привело бы к значительному увеличению объёма пособия и к введению сложного математического аппарата.

Студентам, желающим более глубоко изучить тему “Ряды”, авторы рекомендуют обратиться к изданиям [1], [2], [4], [5].

Библиографический список

1.Ильин, В.А. Высшая математика / В.А. Ильин, А.В. Куркина. М.: Про-

спект, 2008. 600 с.

2.Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: в 2 т. Т. 2 / Г.М. Фихтенгольц. М. : Наука, 2005. 464 с.

3.Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Изд-во МГУ, 1999. 799 с.

4.Толстов, Г.П. Ряды Фурье / Г.П. Толстов. М.: Наука, 1980. 384 с.

5.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 2 т. Т. 2 / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2007. 544 с.

88

Приложение

Варианты расчётно-графических работ

Вариант № 1

1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положи-

2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд

4.Разложить в ряд Маклорена функцию

xarctg 2x 5 . 10x 1

5.Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл

89

Вариант № 2

1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положительные ряды:

2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд

3. Найти область сходимости ряда

4. Разложить в ряд Маклорена функцию

8 26 x2 . x

5. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл

1 sin x dx .

0 x

6. Найти решение задачи Коши

y 3x2 y 1 , y(0) 0, y (0) 2 ,

представив его в виде разложения в ряд Маклорена.

7. Разложить в ряд Фурье на отрезке [ 1;1] функцию f (x) x2 .

90