1594

растающей и потому ограничена сверху своим пределом J , т.е.

n f x dx J , n N .

1

Учитывая неравенство (1.12), получаем: Sn f (1) J , n N . Таким образом, возрастающая последовательность {Sn } ограничена сверху и потому

n 1

Пр и м е р ы

1.Рассмотрим обобщённо-гармонический ряд n1 и исследуем его схо-n 1

димость при 0 с помощью интегрального признака Коши. Введём в рас-

21

гармонического ряда 1 .

n 1 n

Заметим, что при 0 рассматриваемый ряд также расходится, поскольку его общий член не стремится к нулю при n , т.е. нарушается необхо-

димое условие сходимости ряда.

заданный ряд.

1.5. Знакопеременные ряды и признаки их сходимости

Рассмотрим числовой ряд an , члены которого принимают значения

n 1

разных знаков. Такой ряд называется знакопеременным. Среди знакопеременных рядов сначала рассмотрим так называемые знакочередующиеся ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки. Например, знакочередующимся является ряд

1 12 13 14 ... 1 n 1 1n ....

Если первый член знакочередующегося ряда положительный, то ряд можно записать в виде

Если первый член ряда отрицательный, то ряд можно записать в виде

22

Ряд (1.14) можно получить умножением ряда (1.13) на 1. В силу замечания, сделанного к свойству 1 сходящихся рядов, оба ряда (1.13) и (1.14) сходятся или расходятся одновременно. Поэтому при изучении сходимости знакочередующихся рядов будем, без ограничения общности, рассматривать только знакочередующиеся ряды с первым положительным членом.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходи-

мости Лейбница.

Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда

a1 a2 a3 ... 1 n 1 an ... 1 n 1 an

n 1

выполнены условия

1) его члены убывают по абсолютной величине, т.е.

a1 a2 a3 ... ;

2) последовательность {an } является бесконечно малой, т.е.

lim an 0 ,

n

то этот знакочередующийся ряд сходится, а его сумма S неотрицательна и не превосходит первого члена, т.е.

0S a1 .

До к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность частичных сумм знакочередующегося ряда с чётными номерами:

S2 , S4 , S6 , ... , S2n , ....

Заметим, что

С другой стороны,

23

Таким образом, последовательность {S2 n} частичных сумм является, во-

первых, возрастающей, а во-вторых, ограниченной сверху первым членом ряда. По свойству пределов монотонных последовательностей (всякая возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел) будем иметь

lim S2n S a1 .

n

Ясно также, что S 0.

Значит, последовательность Sn сходится и, следовательно, исходный ряд также сходится.

Пр и м е р ы

1.Исследуем на сходимость ряд

1 12 13 ... 1 n 1 1n ....

Проверим для этого знакочередующегося ряда выполнение условий признака Лейбница:

1) 1 12 13 ..., члены ряда убывают по абсолютной величине;

2) lim 1 0 .

n n

Условия признака Лейбница выполнены, и потому рассматриваемый ряд сходится.

24

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

12 13 ..., члены ряда убывают по абсолютной величине;

1n 0 .

Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

Следствие. Если за сумму сходящегося знакочередующегося ряда принять сумму его n первых членов, то допущенная при этом погрешность по абсолютной величине не превзойдёт абсолютной величины первого отброшенного члена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При замене суммы ряда его n -й частичной суммой абсолютная величина погрешности равна модулю суммы остатка ряда. Для знакочередующегося ряда его остаток также знакочередующийся ряд, его сумма по модулю не превосходит, по признаку Лейбница, абсолютной величины его первого члена, который является первым из отброшенных членов.

где ai могут быть как положительными, так и отрицательными числами,

причём расположение положительных и отрицательных членов произвольно. Одновременно с рядом (1.15) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

n 1

Определение. Если ряд (1.16) сходится, то ряд (1.15) называется абсо-

лютно сходящимся.

Признак сходимости знакопеременных рядов. Если ряд сходится аб-

солютно, то он сходится и в обычном смысле. Другими словами, если ряд (1.16) сходится, то сходится и ряд (1.15).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вспомогательный ряд (an | an |).

25

2 | an | сходится, то будет сходящимся и рассматриваемый вспомогатель-

n 1

ный ряд. Так как ряд

представляет собой разность двух сходящихся рядов, то он также сходится.

З а м е ч а н и е. Обратное утверждение неверно, т.е. из сходимости ряда (1.15) не следует сходимость ряда (1.16).

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пр и м е р ы

1.1 n 1 n1 .n 1

Данный ряд сходится по признаку Лейбница. Однако ряд 1 , составлен-

n 1 n

ный из абсолютных величин его членов (гармонический ряд), расходится. Значит, рассматриваемый знакочередующийся ряд сходится условно.

Сходимость данного ряда также можно установить с помощью признака

Лейбница. Рассмотрим ряд 12 , составленный из абсолютных величин

n 1 n

членов исходного ряда. Этот ряд также сходится, т.к. является обобщённогармоническим рядом с показателем 2 1. Значит, исходный ряд сходится абсолютно.

Данный ряд сходится по признаку Лейбница. Более того, он сходится абсолютно, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин его членов, представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со

знаменателем q 12 , | q | 1.

З а м е ч а н и е. Заметим, что признаки Даламбера и Коши сходимости положительных рядов могут оказаться полезными и при исследовании схо-

26

димости рядов с членами произвольных знаков. Пусть дан, например, знако-

применив к этому ряду признак Даламбера или Коши, мы установим, что данный ряд расходится, то это будет означать, что его общий член | an | не

расходится. Если же с помощью указанных признаков мы установим, что

Обобщённый признак Даламбера (Коши) сходимости числовых рядов

Если для ряда an с членами произвольных знаков существует предел

ваемый ряд расходится.

Ко н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и з а д а н и я

1.Дайте определения сходящегося числового ряда и суммы ряда.

2.Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда. Является ли схо-

3.Числовой ряд является суммой сходящегося и расходящегося рядов. Сходится ли такой ряд?

4.Сформулируйте признаки сравнения для положительных рядов.

5.Сформулируйте признак Даламбера сходимости положительных рядов.

27

6.Сформулируйте радикальный признак Коши сходимости положительных рядов.

7.Сформулируйте интегральный признак Коши сходимости положительных рядов. При каких значениях параметра будет сходиться обобщённо-

8.Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

9.Дайте определения абсолютной и условной сходимостей числовых рядов. Сходится ли ряд, сходящийся абсолютно?

10.Сформулируйте обобщённый признак Даламбера (Коши) сходимости числовых рядов.

§2. Функциональные ряды

2.1.Основные понятия

n 1

называется функциональным рядом, а сами функции fn (x), n 1, 2,... членами ряда.

Придадим переменной x некоторое значение x x0 ; тогда ряд (2.1) станет

числовым рядом.

Если получившийся ряд

n 1

28

сходится, то говорят, что функциональный ряд (2.1) сходится при x x0 (или, что то же, в точке x0 ); если же числовой ряд (2.2) расходится, то говорят, что функциональный ряд (2.1) расходится при x x0 (в точке x0 ). Так опре-

деляются поточечная сходимость и расходимость функционального ряда. П р и м е р

Рассмотрим ряд 1:

а) при x 1 получаем знакочередующийся числовой ряд

11 12 13 14 ...,

сходящийся по признаку Лейбница;

б) при x 1 имеем гармонический ряд с точностью до множителя 1 ,

11 12 13 14 ... .

Очевидно, что этот ряд расходится.

Определение. Множество всех значений переменной из области определения членов функционального ряда, при которых функциональный ряд схо-

дится, называется его областью или множеством сходимости.

П р и м е р ы

каком значении x не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

2.2. Степенные ряды

Среди функциональных рядов сначала изучим подробно степенные ряды, члены которых – степенные функции с целыми неотрицательными показателями, расположенные по возрастанию показателей степеней x :

29

n 0

Числа a0 , a1 , a2 , … , an , ... называются коэффициентами степенного ряда.

Заметим, что члены степенного ряда определены, непрерывны и имеют непрерывные производные любого порядка на всей числовой прямой.

Иногда рассматриваются степенные ряды и более общего вида, членами

_ _

которых являются целые неотрицательные степени двучлена x x , где x фиксированное число; о таких рядах будет сказано в пп. 2.2.2.

2.2.1. Основные свойства степенных рядов

любой степенной ряд сходится, по крайней мере, в точке x 0, причём, как будет показано далее, существуют ряды, которые сходятся только в этой точке.

Теорема (Абеля). Если степенной ряд сходится при некотором значении x x0 , x0 0, то он сходится, и притом абсолютно, при всех x x0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (2.3) сходится при x x0 . Это означает, что сходится числовой ряд

По необходимому признаку сходимости lim an x0n 0 , значит, последова-

n

тельность an x0n сходится и, следовательно, является ограниченной, т.е. су-

Помимо ряда (2.5), рассмотрим ряд, который составлен из абсолютных величин его членов:

30