Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1594

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

791.65 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Наиболее часто имеют дело с интегрированием суммы степенного ряда по отрезку с граничными точками 0 и x , x R; R . Полагая в предыдущей

формуле x1 0, x2 x , получим

x	f t dt x a0 a1t a2t2 ... antn ... dt a0 x a1		x2	a2	x3	... an	xn 1	... .

0	0	2		3			n 1
	Отметим, что ряд, полученный в результате интегрирования, имеет тот
же интервал сходимости, что и исходный ряд.
	3. Если функция f (x) на интервале R ; R	разлагается в степенной ряд,

то это разложение единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть справедливо разложение (2.10). В силу свойства 1 ряд (2.9) можно дифференцировать на интервале R ; R сколько

угодно раз, выполняя дифференцирование почленно. Выполняя последовательно дифференцирование равенства (2.10), получаем:

f x 1 a1 2 a2 x 3 a3 x2 4 a4 x3 ... n an xn 1 ...,

f x 1 2 a2 2 3 a3 x 3 4 a4 x2 ... (n 1)n	an xn 2 ...,
f x 1 2 3 a3 2 3 4 a4 x ... (n 2)(n 1)n	an xn 3 ...,
…

f n x 1 2 3 ... (n 1)n an 2 3 4 ... n(n 1) an 1 x ...,

…

Положив в этих формулах и в равенстве (2.10) x 0, получим

f 0 a0 0!a0 , f 0 1!a1 , f 0 2!a2 , f 0 3!a3 , … , f n 0 n!an , … .

Отсюда следует, что
a0 f 0 , a1	f 0	, a2	f 0	, a3	f 0	, … , an	f n 0	, … . (2.12)
	1!		2!		3!		n!

Итак, коэффициенты степенного ряда вычисляются по формулам (2.12), т.е. определяются однозначно.

Таким образом, если функция f x разлагается в степенной ряд на интервале R ; R , то его коэффициенты вычисляются по формулам (2.12), и потому соотношение (2.10) может быть записано в виде

f x

f 0

...

f n 0

...,

(2.13)

x R ; R .

Ряд в правой части формулы (2.13) называется рядом Маклорена для
функции f x на интервале R ; R .
Пусть теперь функция		f x на интервале x0 R; x0 R , x0 0, R 0 раз-
лагается в степенной ряд по степеням x x0 :
f (x) a	a x x		a	x x 2 ...	a	x x n ...,	(2.14)
0	1	0	2	0	n	0

x0 R x x0 R.

Можно показать, что в этом случае коэффициенты степенного ряда будут

однозначно определяться

формулами a

f (x

), a

f (k ) (x )

k 1,2,... .

k !

Поэтому разложение (2.14) можно записать в виде

f (x) f (x )

f (x0 )

x x

...

f (n) (x0 )

x x

n ... .

Ряд в правой части этого равенства называется рядом Тейлора для функции f x на интервале x0 R ; x0 R .

Пусть функция f x определена и имеет производные любого порядка на промежутке вида ( l ;l), l 0. Тогда для неё формально может быть состав-

лен ряд Маклорена. Выясним, когда этот ряд имеет сумму и при каких x эта сумма совпадает с самой функцией f x . С этой целью для произвольного

фиксированного натурального числа n запишем для функции f x								формулу
Маклорена:
f x f 0	f 0	x	f 0	x2 ...	f n 0	xn	f n 1 x	xn 1 ,
f x f 0	1!	x	2!	x2 ...	n!	xn	n 1 !	xn 1 ,
			где	0 1.

Последнюю формулу перепишем в виде

f x Sn x Rn x ,

f n 1 x

(2.15)

где Sn x частичная сумма ряда Маклорена, а

Rn x

xn 1

ос-

1 !

таточный член формулы Маклорена, 0 1.

Пусть ряд Маклорена для функции

f (x)

имеет интервал сходимости

( R; R), 0 R l , и пусть для всех x ( R; R)

выполнено условие

Rn x 0

при n .

(2.16)

Из формулы (2.15) следует, что Sn x f x Rn x .

Переходя в этом ра-

венстве к пределу при n ,

получим

lim S

x lim f (x) R (x)

lim f (x) lim R

x f (x) ,

n n

или

f x lim Sn x ,

т.е. ряд Маклорена имеет своей суммой функцию

f x . Наоборот, пусть рас-

сматриваемый

ряд

Маклорена

имеет

своей

суммой

на

промежутке

( R; R) функцию f (x) , так что lim Sn x f x

для любого x ( R; R). То-

гда для любого x из промежутка ( R; R)

lim R x lim ( f (x) S

(x)) f x

lim S

x 0.

n n

f ( x)

Вывод: Условие

Rn x 0

при n есть необходимое и достаточное

условие разложимости функции

f x

в ряд Маклорена.

Отсюда вытекает

следующая последовательность действий при разложении функции в ряд Маклорена:

1) находят радиус сходимости R ряда Маклорена функции f x ;

2)исследуют остаточный член Rn x на выполнение условия (2.16). Если условие (2.16) будет выполняться, то на интервале R ; R функция

f x разлагается в ряд Маклорена.

Заметим, что если R l , то условие (2.16) следует проверять только на интервале ( l ;l) области задания функции.

З а м е ч а н и е. Отметим, что необходимое и достаточное условие разложимости функции f x в ряд Тейлора имеет тот же вид (2.16), с той лишь

разницей, что в этом случае Rn x есть остаточный член формулы Тейлора.

2.2.3.Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена

1.f x ex .

Составим ряд Маклорена для этой функции. Поскольку

f x ex , f	x ex , … ,					f n x ex , ... , то
f 0 1, f 0	1,			f 0 1, … , f n 0 1, ... ,
и ряд Маклорена имеет вид
1			x	x2	...	xn	....
1		1!		2!	...	n!	....
		1!		2!		n!

Найдём радиус сходимости записанного степенного ряда:

, a

, n N ; R

lim

lim n 1 .

n 1

an 1

n 1

Поэтому интервалом

сходимости ряда является вся числовая прямая, т.е.

x ; . Исследуем остаточный член Rn (x). Поскольку

f n 1

e x

e| x|

| x |n 1

| R x |

xn 1

| x |n 1

| x |n 1 e|x|

n 1 !

(n 1)!

x E1 при n , то Rn x 0

x E1 при n .

Таким образом,

окончательно получаем формулу разложения функции ex

в ряд Маклорена:

ex 1

...

...,

x ; .

2.	f x ch x ex e x .
	2

Поскольку

ex 1

...

..., x ; ,

e x 1

... 1 n

...,

x ; ,

то, комбинируя записанные степенные ряды, получим

ch x 1

...

x2n

...,

x ; .

2n !

f x sh x ex e x .

Поступая аналогично, как и в предыдущем случае, будем иметь

sh x		x		x3	...		x2n 1	...,	x ; .
sh x	1!			3!	...	2n 1 !		...,	x ; .
	1!			3!		2n 1 !
4. f x sin x .
Заметим, что f (0) 0. Последовательно получаем

				f									2	,
f x cos x sin x	2		,	f	x sin x			2	cos x		sin x	2	2	,
	2							2		2		2

f x sin x 2 2 cos x 2 2 sin x 2 3 , … ,

		f (n
Поэтому f	n (0) sin	n
	2

) (x) sin x		n	, ... .
	2

. Следовательно, если n чётное, n 2k , k 1, то

f (n) (0) f (2k ) (0) sin k 0;	если же n нечётное, n 2k 1, k 0, то
f n (0) f (2k 1) (0) sin ( k	) cos k ( 1)k .
	2

Таким образом, ряд Маклорена функции sin x имеет вид

x		x3	...	1 n	x2n 1	....
1!					2n 1 !
	3!

Найдём радиус сходимости этого ряда. Для этого фиксируем произвольный x 0 и рассмотрим положительный ряд

\| x \|	\| x \|3		\| x \|2n 1
		...		... .	(2.17)
1!	3!		2n 1 !

Для исследования сходимости последнего ряда воспользуемся признаком Даламбера. Поскольку

lim

| x |2n 3 (2n 3)! | x |2n 1 (2n 1)!

lim	\| x \|2	0,

n (2n 2) (2n 3)

то числовой ряд (2.17) сходится. Из его сходимости следует, что ряд Маклорена для функции sin x сходится для любого x, и потому его радиус сходи-

мости R . Далее,

R x

f n 1 x

xn 1

| x |n 1

x E1

при n , и потому

n 1 !

при n .

R (x) 0 x E1

Таким образом, разложение функции sin x в степенной ряд имеет вид

sin x

... 1 n

x2n 1

...,

x ; .

2n 1 !

x2n

5. f x

cos x sin x

...

..., x ; .

2n !

6. f x 1 x , E1 , 0, N .

Можно показать, что при | x | 1 справедливо разложение вида

1 x 1	x	1	x2	1 2	x3	...
		2!		3!
	1!

1 2	... n 1	xn ... ,
n!

1 x 1,

называемое биномиальным. Вывод этой формулы можно найти, например, в [2, с.60].

Рассмотрим следующий степенной ряд:

1 x x2 x3 ... xn ...		1	,	x	1.	(2.18)

	1	x

Он является рядом, составленным из членов геометрической прогрессии со знаменателем q x . Заменив x t , получим:

1	t t2 t3 ... 1 n tn ...		1	,	t	1.	(2.19)

		1	t

Рассмотренные степенные ряды будем использовать в дальнейшем в качестве вспомогательных рядов.

7. f x ln 1 x .

Пусть | x | 1. Проинтегрировав равенство (2.19) от 0 до x , получим соотношение

x 1 t t2

t3 ... 1 n tn ... dt ,

1 t

которое преобразуется к виду

ln 1 x

... 1 n

xn 1

... ,

n 1

Можно показать, что степенной ряд в правой части последнего равенства будет сходиться и при x 1 (по признаку Лейбница). Кроме того, можно показать, что сумма ряда при этом будет равна ln 2 (см. [2, с.56]). Окончательно получаем, что разложение для ln 1 x имеет вид

ln 1 x	x		x2		x3	... -1 n	xn 1	... , 1 x 1.
							n 1
1		2		3

8. f x ln 1 x .

Заменив в предыдущей формуле x x , получим

ln 1 x	x		x2		x3	...	xn 1	... ,	1 x 1.
							n 1
1		2		3

9.f x ln 1 x .

1 x

Т. к.		1 x	ln (1 x) ln (1 x),	то будем иметь следующее разложе-
Т. к.	ln		ln (1 x) ln (1 x),	то будем иметь следующее разложе-
		1 x

ние:

1 x

x2n

2x 1

...

1 x

2n 1

10. f x arctg x .

Заменив в формуле (2.18)

x t2 , получим, что при

1 справедливо

разложение:

1 t2

... 1 n t2n ...,

1 t2

Проинтегрируем получившееся равенство от 0 до x , | x | 1,

интегрируя ряд

в правой части формулы почленно. Тогда получим:

x 1 t2

... 1 n t2n ... dt,

0 1 t

или

x2n 1

arctg x

... 1 n

...,

2n 1

Можно показать, что полученное разложение функции arctg x в степенной ряд будет справедливо и при x 1 (см. [2, с. 55]). Окончательно получаем:

arctg x	x		x3		x5		x7	... 1 n	x2n 1	... ,	x	1.

									2n 1
1		3		5		7

Покажем теперь, как, используя известные разложения основных элементарных функций, можно получать разложения в ряд Тейлора (или Маклорена) функций более сложного вида.

П р и м е р ы

1. Разложить в ряд Тейлора по степеням x 1 функцию Сделаем тождественное преобразование:

2(x 1) 1

2(x 1)

Используя известное разложение

... tn ... tn , | t | 1,

1 1 t t2

1 t

n 0

приходим к соотношению

(x 1)n .

2x 1

1 2(x 1)

n 0

1 .

2x 1

Область сходимости полученного ряда Тейлора состоит из всех решений не-

равенства 2 | x 1| 1, т.е. из всех x (

;

1).

2. Разложить в ряд Тейлора по степеням

x 2 функцию

4x 3

Поскольку квадратный трёхчлен

4x 3 имеет вещественные корни

x 1 и

x 3 , то для правильной дроби

справедливо представле-

4x 3

ние вида

x2 4x 3

x 1

x 3

Найдём

коэффициенты

B .

Умножая записанное

равенство на

4x 3 (x 1) (x 3), приходим к соотношению

1 A(x 3) B(x 1) ( A B)x 3A B ,

из

которого находим:

A B 0, 3A B 1.

Решая систему из этих двух

уравнений, получаем: A 1

, B

1 .

Таким образом, справедливо тождество

		1	1		1	1
							.
x	2	4x 3	2			x 3
				x 1

Разложим в ряд Тейлора по степеням x 2 каждую из дробей, записанных в скобках:

			1				1										1									1					1							1			x 2 n

		x 1				(x	2) 3									3	(x	2)								3						x		2				3				3
																												1				x		2					n 0
																												1											n 0
																															3
											1							n				\| x 2 \|
														(x 2) ,															1, т.е. \| x 2 \| 3,
											n 1			(x 2) ,											3				1, т.е. \| x 2 \| 3,
						n 0				3															3
1							1										1								1						1							1			x 2 n

	x 3				(x 2) 5										5 (x 2)																	x		2
																									5		1					x		2				5 n 0				5
																									5		1				5							5 n 0				5
																															5
											1							n			\| x 2 \|
														(x			2) ,												1, т.е. \| x 2 \| 5.
											n 1			(x			2) ,							5					1, т.е. \| x 2 \| 5.
						n 0				5														5
Используя эти соотношения, получаем:
				1								1							1											n						1							n
																							(x 2)																(x 2)
		x	2		4x 3						2								n	1			(x 2)														n 1		(x 2)
		x			4x 3						2					n 0		3															n 0			5
				1					1					1								n									1							1						n
																	(x	2)																							(x 2)				.
				2					n 1					n 1			(x	2)												2			n 1			2		n 1			(x 2)				.
				2		n 0		5					3												n 0					2		3				2		5
Интервал сходимости ряда Тейлора функции																																			1					состоит из всех x ,
Интервал сходимости ряда Тейлора функции																																	x2	4x 3						состоит из всех x ,
удовлетворяющих									неравенству										\| x 2 \| 3 (поскольку																					если			неравенство
\| x 2 \| 3 верно,							то		верно и неравенство \| x 2 \| 5 ). Таким образом, интер-

вал сходимости имеет вид ( 5;1).

3. Разложить в ряд Маклорена функцию cos2 3x .

Воспользуемся сначала тригонометрической формулой понижения степени:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022766.41 Кб01555.pdf
#
15.11.2022780.68 Кб01571.pdf
#
15.11.2022782.64 Кб01577.pdf
#
15.11.2022786.15 Кб01584.pdf
#
15.11.2022787.95 Кб41587.pdf
#
15.11.2022791.65 Кб01594.pdf
#
15.11.2022793.8 Кб21598.pdf
#
15.11.2022794.89 Кб11601.pdf
#
15.11.2022795.19 Кб01603.pdf
#
15.11.2022798.83 Кб21609.pdf
#
15.11.2022805.01 Кб01620.pdf