Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2836.Труды IX Международной (XX Всероссийской) конференции по автоматизирова

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

57.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 6222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

	B	s x(s)	1	x(s)	y(s)
			1		C
			s		C
			s
			A		Объект
					Объект
					-
			L
yз(s) U(s)	B	s xм(s)	1	xм(s)	C
			1
			s
			s		yм(s)
					yм(s)
			A
			Kм		РНС

Рис. 1. Структурная схема системы управления с РНС

В данной работе предлагается метод формирования оптимальной структуры наблюдателя, основанный на сингулярном разложении грамианов управляемости и наблюдаемости, позволяющий сформировать модель объекта управления, обеспечивающую отсутствие положительных обратных связей в структуре РНС.

Будем рассматривать варианты одноканальных систем управления с РНС, имеющие общую векторноматричную структуру (рис. 1). Здесь приняты следующие обозначения: s – переменная Лапласа; yз, y, yм – входной и выходные сигналы объекта и наблюдателя; U – управляющее воздействие на объект; x и xм – векторы координат состояния объекта и наблюдателя;

и ˆ , и ˆ , и ˆ матрицы состояния, входа, выхо-

A A B B C C –

да объекта и наблюдателя с размерностями n×n, n×1, 1×n, где n – порядок объекта; Kм – матрица коэффициентов регулятора; L – матрицаподстройкинаблюдателя.

Ограничимся исследованием особенностей робастного управления невырожденными минимальнофазовыми объектами.

Будем осуществлять синтез робастной системы с РНС методами модального управления [1, 2]. Вычисление матрицы регулятора Kм при этом выполняется на основе желаемого характеристического полинома

D(s) = sn + dn−1sn−1 + ...+ d1s + d0 :

K м = K м PU ; K м = [a0 − d0 , a1 − d1, ..., an−1 − dn−1] , (1)

ˆ −1

где

PU = U

– матрица преобразования наблюдате-

ля

из КФУ

принятую форму его представления;

= [

n−1

] ,

...

ˆ ˆ ˆ

ˆ 2 ˆ

n−1 ˆ

U = [B AB A B ... A

B] – матрицы управляемости

в КФУ и в координатах РНС; a0 , a1, ..., an−1 – коэффи-

циенты полинома знаменателя передаточной функции объекта.

Вычисление матрицы подстройки L выполняется на основе желаемого полинома

D* (s) = sn + d

sn−1

+ ... + d*s + d* :

n−1

− d1,

...,

L = L PV ; L = [a0 − d0

an−1 − dn−1] , (2)

ˆ −1

– матрица преобразования наблюдателя

где PV = V V

из

КФН в

принятую

форму

его

представления;

T T

n−1

= [C

A C

)

... (A

)

] ,

ˆ T

ˆ T ˆ T

ˆ T

)

n−1 ˆ T

] – матрицы наблю-

= [C

A C

)

C ... (A

даемости в КФН и в координатах РНС.

Поставим задачу формирования рациональной структуры и определения параметров РНС, которые исключают появление положительных элементов матриц Kм и L при выбранных выражениях полиномов D(s) и D*(s) и заданном быстродействии системы управления.

Решение данной задачи будем искать как преобразование подобия координатного базиса объекта управления с использованием матрицы для отыскания которой применяется математический аппарат грамианов управляемости и наблюдаемости.

I. АНАЛИЗ СИСТЕМНЫХ СВОЙСТВ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Для решения поставленной задачи предлагается использовать математический аппарат грамианов управляемости Gc и наблюдаемости Go объекта управления [7–11], которые определяются выражениями

∞	∞
Gc = eA t B BT eAT t dt	и Go = eA tC CT eAT t dt ,
0	0

где t – переменная времени. Для одномерного объекта грамианы представляют собой матрицы размерностью n×n.

Анализ грамианов позволяет судить об управляемости, наблюдаемости и вырожденности объекта управления, представленного в векторно-матричной форме. Для этой цели используется процедура сингулярного разложения, приводящая грамианы к виду

Gc = Uc ΣcUTc , Go = Uo ΣoUTo ,

где Σc = diag{σc1,σc2 ,...,σcn}, Σo = diag{σo1,σo2 ,...,σon} –

диагональные матрицы, состоящие из сингулярных чисел грамианов управляемости и наблюдаемости, выстроенных в порядке убывания; Uc и Vo – матрицы преобразования грамианов к диагональной форме.

Относительно малые значения сингулярных чисел грамианов являются признаком плохой управляемости или наблюдаемости объекта. Равенство хотя бы одного из них нулю свидетельствует о вырождении объекта с потерей управляемости при σc n = 0 или наблюдаемости при σo n = 0. Поэтому наименьшие значения сингулярных чисел грамианов могут использоваться [5, 6]

____________________________________________________________________________________________________________________________

IX Международная (XX Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу АЭП-2016

- 211 -

для количественной оценки управляемости, наблюдае-

принудительно

увеличивают

минимальное

значение

мости и вырожденности объекта или его модели.

сингулярного числа грамиана наблюдаемости Σo. Напро-

В качестве

альтернативной

оценки управляемости

тив, для объекта с преобладанием наблюдаемости анало-

и наблюдаемости объекта удобно использовать [2] нор-

гичным образом увеличивают значение сингулярного

мы матриц преобразования координат соответственно из

числа грамиана управляемости Σc.

КФУ и КФН в исходный координатный базис:

Эквивалентность исходной и преобразованной моде-

PU 1 = max uij ;

1 = max vij

лей объекта при таком подходе обеспечивается за счет

преобразования подобия с использованием матрицы T:

1≤ j≤n i=1

−1

A T ,

−1

= C T ,

(3)

B = T

B , C

где ui j и vi j – элементы матриц преобразования коорди-

−1

где A ,

C –

матрицы состояния,

входа и выхода

нат PU = U U

и PV

находящиеся на пере-

= V V

объекта в преобразованных координатах. Матрица пре-

сечении строки i и столбца j.

образования T при этом должна отвечать условию

Для иллюстрации возможностей достижения роба-

идентичности передаточных функций исходной и пре-

стных свойств при различных структурах РНС будем

образованной моделей [7]:

использовать [2] графики зависимостей элементов мат-

риц Kм = [k1, k2, …, kn] и L = [l1, l2, …, ln] от значений Ωо

−1

Gc T

−T

Go T

и Ωн соответственно (рис. 2). Так на рис. 2, а приведены

= T

(4)

зависимости параметров РНС от Ωо = var и Ωн = var для

На основе первого уравнения (4), а также выраже-

объекта, близкого по структуре к КФУ. На рис. 2, б по-

казаны результаты структурно-параметрического син-

ний сингулярного разложения грамианов управляемо-

теза РНС, которые отражают более рациональное соче-

сти одномерного объекта в исходной и преобразован-

тание системных свойств модели объекта.

ной системе координат Gc

ˆ ˆ T

= Uc ΣcUc

и Gc

= Uc

Σc Uc

Помимо решения задач системного анализа, грами-

соответственно можно получить выражения для опре-

анные методы могут применяться для формирования

деления матрицы преобразования T:

моделей объектов с заданным соотношением управляе-

мости и наблюдаемости. Подобный подход использует-

1/2

−1/2 ˆ −1

(5)

ся в задачах редукции математических моделей для

T = Uc Σc

Σc

получения сбалансированной формы [5, 6].

При вычислении матрицы Т появляется дополни-

II. ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ

тельная степень свободы в задании матрицы

Uc . Исхо-

НАБЛЮДАТЕЛЯ СОСТОЯНИЙ

дя из того, что большинство сингулярных чисел гра-

Предлагаемый принцип формирования оптимальной

мианов при корректировке сохраняются неизменными,

структуры наблюдателя состояния заключается в сле-

принимаемUc = Uc .

дующем. Для объекта с преобладанием управляемости

Аналогичным образом матрицу преобразования мож-

но определить на основе второго уравнения (4) и выраже-

ний сингулярного разложения грамианов наблюдаемости

ˆ ˆ T

объекта, Go = Vo ΣoVo

= Vo

ΣoVo

T =

−T

−1/2

1/2 ˆ T

(6)

Σo

Σo Vo

где принимаем

= Vo .

По новым выражениям матриц (3) преобразованной

модели объекта выполняется расчет параметров регуля-

тора (матрица Kм) и параметров подстройки наблюда-

теля состояния (матрица L), после чего оценивается

характер обратных связей в контурах РНС.

Предложенные структурные преобразования позволя-

ют изменять в заданном направлении соотношение управ-

ляемости и наблюдаемости модели объекта (наблюдателя)

и формировать тем самым конфигурацию областей пара-

метрическойгрубостисистемыуправления.

Поскольку аналитически определить связь между

областями параметрической грубости системы и значе-

ниями сингулярных чисел грамианов затруднительно,

Рис. 2. Области параметрической грубости вариантов системы

предлагается

итерационный

алгоритм

формирования

при РНС в форме объекта (а) и РНС оптимальной структуры (б)

структуры наблюдателя.

____________________________________________________________________________________________________________________________

IX Международная (XX Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу АЭП-2016

- 212 -

1.Сформировать исходное матричное описание объекта (матрицы параметров А, В, С), определить пе-

редаточную функцию Ho(s) и задать требования к качеству системы, синтезируемой методами модального управления, в виде выражений полиномов D(s), D*(s)

исоответствующих значений Ωо и Ωн.

2.Вычислить грамианы управляемости Gc и наблюдаемости Go, выполнить их сингулярное разложение, получить соответствующие диагональные формы Σc, Σo.

Рассчитать матричные нормы PU 1 и PV 1 для точной

оценки управляемости и наблюдаемости объекта, используя для получения КФУ и КФН коэффициенты передаточной функции Ho (s).

3.Выполнить расчет параметров регулятора (матри-

ца Kм) и контуров подстройки наблюдателя (матрица L) методом модального управления на основе формул (1)

и(2) соответственно.

4.Проверить условие отрицательной определенно-

сти матриц обратных связей Kм < 0 и L < 0.

При получении отрицательно определенных матриц

Kм и L задача синтеза робастной системы считается решенной, и вычисленные значения параметров РНС используют для практической реализации управления.

При наличии положительных обратных связей в структуре РНС перейти к корректировке координатного базиса модели объекта грамианными методами.

5.Cравнением матричных норм PU 1 и PV 1 оце-

нить степень близости объекта управления к КФУ или КФН, выявить доминирование управляемости или наблюдаемости.

При доминировании управляемости (PU 1 ≤ PV 1 ) принудительно увеличить на величину шага σo минимальное сингулярное число σo n грамиана наблюдае-

мости. Рассчитать матрицу преобразования Т исходной структуры объекта к новому координатному базису по формуле (6).

При доминировании наблюдаемости

(

1 >

1 )

аналогичным образом увеличить на σc

минимальное

сингулярное число σc n грамиана управляемости, рас-

считать матрицу преобразования Т по формуле (5).

6. Если скорректированные сингулярные числа грамианов не выходят за установленные границы диапазона вариации σˆ c n ≤ σc n−1 и σˆ o n ≤ σo n−1 , выполнить преобразование координат объекта управления по формуле (3), затем провести повторный расчет параметров РНС (шаг 3) и анализ характера обратных связей (шаг 4).

В случае выхода сингулярных чисел грамианов за пределы диапазона следует перейти к шагу 1 и скорректировать условия задачи.

Приведенный алгоритм может применяться и для объектов с несколькими сингулярностями, если при корректировке (шаг 5) одновременно изменять соответствующее количество минимальных сингулярных чисел.

Пример. Рассмотрим синтез робастной системы с РНС для электромеханического объекта со структурой, приведенной на рис. 3, в соответствии с предложенным

		C						MУ(s)			ξ(s)
								MУ(s)			ξ(s)
U(s)	-		M(s)					C12			Ω2(s)
U(s)	-	C/ R	M(s)		1		-	1		1	Ω2(s)
		Я			1			1		1
		TЯs +1		-	J1s	Ω1(s)		s	-	J2s
								KДs
										KТ

Рис. 3. Структурная схема линейной модели двухмассовой электромеханическойсистемы; M, M у – моменты двигателя и упругой

передачи; Ω1 , Ω 2 – угловые скорости; C – конструктивный параметр двигателя; Tя , Rя – постоянная времени и сопротивление якорной цепи; J1 , J2 – моменты инерции; C12 – коэффициент жесткости передачи; Kд , Kт – коэффициенты трения

алгоритмом. Полученное векторно-матричное описание объекта имеет вид

-9,091			-0,074		0	0

A = 66,667				-5,0	-66,667	5,0	;
	0			0,65	0
	0			0,65	0	-0,65
	0			0,3	4,0	-0,3
	0,462
		0		; C = [0 0 0 1].
B	=	0		; C = [0 0 0 1].
		0
		0
		0

Примем в качестве желаемых D (s) и D* (s) синтези-

руемой САУ полиномы Ньютона 4-го порядка при значениях Ωо = 15 c–1 и Ωн = 30 c–1, отвечающих заданным

требованиям быстродействия и разделения темпов движений.

Процедуры вычисления грамианов управляемости и наблюдаемости gram () с последующим сингулярным разложением svd () дают следующие результаты:

Σc

= diag {1,39

2,066 10-1

1,0334 10-2

4,849 10-3

} ,

Σo

= diag {17,46

3,727 10-2

1,046 10-2

3,665 10-9

} .

Соответствующие значения норм матриц преобразо-

вания

1 = 2,351 и

= 1884,9;

PUU

1 =

PVV

1 =

= 517,0.

Матрицы Kм и L для наблюдателя в форме объекта, полученные при заданных значениях СГК, не удовлетворяют условиям параметрической грубости:

Kм = [–9,877 10 –3,278 10 –2,572 102 –5,995 102],

L = [–7,374·104 +5,430·105 – 4,168·104 –1,056·102].

Полученные в результате преобразований матрицы наблюдателя состояния оптимальной структуры имеют вид

____________________________________________________________________________________________________________________________

IX Международная (XX Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу АЭП-2016

- 213 -

	-1,589		7,107	-8,953	0,635
ˆ	1,276		-7,136	-0,973	0,0631
A =		4,391	5,457	-5,364	-0,272	,
		0,405	-2,989	4,267	-0,302

−1

5,789 10

−2

−4,409 10

−3

−5

B = 4,543 10

1,183

-2

2,778 10

-1

-2,118 10

-2

1,0 .

C = -3,562 10

Соответствующие матрицы РНС удовлетворяют ус-

< 0 и

< 0):

ловиям параметрической грубости ( K м

K м = [ –6,402 –7,529·10

–2,023·10

–5,998·10

= [ –4,084·10

–5,147·10

–2,651·10 –2,424·10

результате

преобразований структуры

удалось

расширить область параметрической грубости контура подстройки РНС за счет сокращения соответствующей области контура управления (рис. 2, б) по сравнению с наблюдателем в форме объекта (рис. 2, а).

Переходные характеристики вариантов системы управления при заданных значениях Ωо и Ωн приведены на рис. 4, где кривая 1 получена при номинальных параметрах РНС; кривая 2 соответствует наблюдателю в форме объекта, а кривая 3 – оптимальной структуре при отклонении коэффициента l2 на l2 = 0,05l2 .

Предлагаемый грамианный подход позволяет сформировать структуру наблюдателя состояния с определенным соотношением свойств управляемости и наблюдаемости, обеспечивающую выполнение одного из условий параметрической грубости системы – отсутствие положительных обратных связей в структуре РНС.

Результаты исследований позволяют разработчикам вести синтез систем модального управления электроприводом исходя из традиционных показателей качества

Рис. 4. Переходные характеристики системы управления с РНС

и условий низкой чувствительности системы к вариациям собственных параметров РНС.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части государственного задания на 2014–2016 гг., а также гранта Российского научного фонда (соглаше-

ние № 14 – 19 – 00972).

Библиографический список

1.Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.

2.Анисимов А.А., Тарарыкин С.В. Особенности синтеза параметрически грубых систем модального управления с наблюдателями состояния // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2012. № 5.

С. 3–14.

3.Подчукаев В.А. Аналитические методы теории автоматического управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 256 с.

4.Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управ-

ление. М.: Наука, 2002. 303 с.

5.Мироновский Л.А., Соловьева Т.Н. Анализ и синтез модальносбалансированных систем // Изв. РАН. Автоматика и телеме-

ханика. 2013. № 4. С. 59–79.

6.Конструирование объекта управления. Ч. 1 / Д.С. Бирюков, Н.А. Дударенко, О.В. Слита, А.В. Ушаков // Мехатроника, автоматизация, управление. 2013. № 6. С. 2–6.

____________________________________________________________________________________________________________________________

IX Международная (XX Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу АЭП-2016

- 214 -

УДК 621.3

Согласование элементарных движений объекта по условиям оптимальности в автоматизированном электроприводе

В.О. Тырва

Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова, Санкт-Петербург, Россия

Coordination of elementary movements of object under the terms of an optimality in the automated electric drive

V.О. Tyrva

State University of Marine and River Fleet behalf of Admiral S.O. Makarov,

St. Petersburg, Russian Federation

Рассматривается оптимизационная задача согласования элементарных движений объекта в пространстве состояний применительно к автоматизированному позиционному электроприводу с дискретным управлением. Решение задачи представлено в общем виде в форме алгоритма вычислений на ЭВМи для примера перемещения рабочего органа механизма с одной степенью подвижности.

Is considered an optimizing problem of coordination of elementary movements of object in space of states in relation to the automated position electric drive with discrete management. The solution of a task is presented in a general view

рым удовлетворяют оптимальные управляющие воздействия в автоматизированном электроприводе. На этой основе разработан алгоритм определения оптимальных моментов времени подачи команд, рассматриваемых как дискретные сигналы управления приводом.

I.ОПИСАНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ ДВИЖЕНИЙ

Вобщем виде модель элементарного движения может быть представлена нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 3]

in the form of algorithm of calculations on the COMPUTER and for an example of movement of working body of the mechanism with one degree of mobility.

Ключевые слова: электропривод, элементарное движение, дискретный сигнал, механизм, рабочий орган.

Keywords: the electric drive, the elementary movement,

X1 (t) = F1s (X1 (t), X 2 (t),…, X N (t),
X	2 (t) = F2s (X1 (t), X2 (t),…, X N (t),	(1)


X N (t) = FNs (X1 (t), X2 (t),…, X N (t)

a discrete signal, the mechanism, working body.

ВВЕДЕНИЕ

Задача согласования элементарных движений актуальна для автоматизированных позиционных электроприводов с дискретными сигналами управления [1]. Объектом управления является рабочий орган механизма, движение которого представляется в виде последовательности достаточно простых и во многих случаях типовых движений, реализуемых по командам от ручных органов управления электропривода или от автоматических устройств. Для решения задачи необходимо располагать адекватной математической моделью каждого элементарного движения и условиями, кото-

или в векторной форме
X (t) = F s (X (t )),		(2)
где t – время; X (t) – вектор	N ×1 фазовых коорди-
нат Xi , характеризующий	управляемое	движение

рабочего органа механизма в пространстве состояний

{t × X1 × X2 ×…× X N }; F s (X (t)) – вектор-функция N ×1, отражающая связь элементарного движения со структурой системы управления и положением органов управ-

ления на интервале времени (ts−1,ts ) [3, 4]. Буквенное обозначение координаты с точкой сверху означает ее

____________________________________________________________________________________________________________________________

IX Международная (XX Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу АЭП-2016

- 215 -

производную по времени, например,				X1 (t ) = dX1(t) / dt.
Полагаем,		что порядковый номер	s	принимает значе-
ния	s = K, K + 1, K + 2, …, M и		функции F1s (X (t )),
F2s (	X (t )),	…, FNs (X (t)), составляющие вектор-функ-
цию	F s (X (t)), непрерывно дифференцируемы по пе-
ременным состояния Xi (i = 1,2,…, N )				для всех s.
При построении математического описания движе-

ния рабочего органа механизма в виде последовательности элементарных движений в рассматриваемой задаче учтены следующие требования:

–все элементарные движения представлены в единой для них системе координат {t × X1 × X2 ×…× X N } ;

–каждое элементарное движение отображается неполным представлением (1), (2);

–последовательность элементарных движений

	dX (t )
		= F s (X (t )),	(3)
	dt	= F s (X (t )),
	dt

s = K, K		+ 1, K + 2,…, M

реализуется путем подачи требуемых для этого команд – дискретных сигналов управления [1, 3]

		s	(X (ts	− 0) − F	s+1	(X (ts
(s) = F			(X (ts	− 0) − F		(X (ts	+ 0)),	(4)
	s	= K, K		+ 1, K + 2,…, M				(4)
	s	= K, K		+ 1, K + 2,…, M

в моменты времени tK ,tK +1 ,…,tM , которые должны

быть определены в условиях, когда движение объекта оценивается по некоторому критерию оптимальности;

– уравнения (4) удовлетворяют условию

F s+1 (X (ts + 0) ≠ F s (X (ts − 0))

(5)

(векторы скоростей изменения фазовых координат справа и слева от момента времени ts различны);

– траектория изображающей точки X (t) в пространстве состояний {t × X1 × X2 ×…× X N } на интервале вре-

мени [tK − tK ,tM + tM ] (где tK > 0, tM > 0)	всюду
непрерывна, поэтому
X (ts + 0) = X (ts − 0) = X (ts ).	(6)
II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ
СИГНАЛОВ УПРАВЛЕНИЯ

Определим дискретные сигналы управления, оптимальные по критерию

g K (X K , X (K +1) ,..., X M ) → max,

(7)

при ограничениях

h1K (X K , X K +1 ,…, X M ) ≤ 0,
h2K (X K , X K +1 ,…, X M ) ≤ 0,

hLK (X K , X K +1 ,…, X M ) ≤ 0,
где X s = X (ts ) для ts {tK …tM } .
Предполагается,	что	через
gK (X K , X K +1 ,…, X M )	и	hKj (X K , X

(8)

функции

K +1 ,…, X M ),

j = 1, 2, …, L выражены цели управления движением [3] на интервале [tK − tK ,tM + tM ]; они удовлетворя-

ют условию дифференцируемости по фазовым координатам. Левым частям ограничений (8) поставим в соответствие вектор-функцию

H K (X K , X K +1 ,…, X M ) =
	h1K (X K , X K +1 ,…, X M )
	hK (X K , X K +1			,…, X M )	.	(9)
=		2
=

			+1	,…, X M )
	hLK (X K , X K		+1	,…, X M )

Тогда в соответствии с теоремой Куна-Такера [5] представим условия стационарности, которым удовлетворяют оптимальные моменты времени tK ,tK +1 ,…,tM

подачи ДСУ в следующем виде:

		∂g K (X K , X K +1 ,…, X M )		+
			∂T K

+Λ'	∂H K (X K , X K +1 ,…, X M )			= [0],	(10)
			∂T K

≥ 0			при hjK (X K , X K +1 ,…, X M ) = 0,		(11)
λj = 0			при hjK (X K , X K +1 ,…, X M ) < 0,

где T K – вектор-столбец (M − K + 1)×1 моментов времени tK ,tK +1 ,…,tM действия ДСУ;

Λ – транспонированный вектор-столбец ΛL ×1 неопределенных множителей λj , j = 1, 2,…, L.

В уравнении (10) через [0] обозначена матрица-стро- ка 1× (M − K + 1) , всеэлементыкоторойравнынулю.

В развернутом виде выражение (10) представляет

собой систему из	M − K + 1 алгебраических уравнений
c неизвестными	tK ,tK +1 ,…,tM . Чтобы получить эти

уравнения, представим

∂g K (X K , X K +1 ,…, X M ) = ∂T K

____________________________________________________________________________________________________________________________

IX Международная (XX Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу АЭП-2016

- 216 -

∂g K (X K , X K +1 ,…, X M )

∂X s

пень подвижности. Упростим задачу, чтобы получить

(12)

аналитическое решение. Уравнения (1) для фазовых

∂X

∂T

s= K

координат, приведенных к валу электродвигателя при-

∂H K (X K , X K +1 ,…, X M ),

вода (угол поворота вала и скорость вращения), запи-

шем вначале в «классическом виде», как это делается

в теории оптимального управления [7]:

∂T K

(13)

∂H K (X K , X K +1 ,…, X M )

∂X s

X 0 (t ) = 1,

∂X

∂T

s= K

(17)

Элементы

матрицы

∂X s / ∂T K

размерности

X 1 (t ) = X 2 (t),

= au(t),

N × (M − K + 1)

определим, воспользовавшись матри-

X 2 (t)

цами чувствительности, полученными в [1]:

ξs ( p) = ξs (s −1)× ξs−1 (s − 2)×…

где u(t) – управляющее воздействие, которое в рассмат-

риваемой задаче представляется в виде

×ξp+1 ( p), K ≤ p ≤ s ≤ M .

(14)

1 при t0

≤ t < t1 ,

Тогда имеем

≤ t < t2

(18)

u(t) = 0 при t1

≤ t < t3

∂X s

[(ξs (K ) (K ))(ξs (K + 1) (K + 1))

−1 при t2

(полагаем a = const > 0 ).

∂T K

= 0, X0 (0) = 0, X1 (0) =

…

(ξs (s) (s))

(0) … (0)] ,

(15)

Начальные

условия:

(0) =

где ξs (s) = I – единичная матрица N × N , а ДСУ (s)

= − X 10 < 0, X 2

X 20 ≥ 0

известны. Заданы

– критерий качества (7) в виде

определено выражением (4). Матрица […] в правой час-

g1 (X (t3 )) = X13 − τ1 X 23

→ max

(19)

ти выражения (15) имеет размерность

N × (M − K + 1) .

Она представлена строкой, состоящей из

M − K + 1 бло-

при фиксированном значении t3

= t3 f

;

ков N ×1, выделенных круглыми

скобками (блок (0)

размерности N ×1 состоит из N нулей).

– ограничение (8) в виде

Матрицы ξj ( j −1) при

j = K + 1, K + 2,…, M вычис-

h11 (X 1 , X 2 ) = X02 − X01 − τ2 ≥ 0,

(20)

ляются на основе решения дифференциальных уравнений

чувствительности[1] (уравнений ввариациях[6])

где τ1 , τ2 – априори определенные положительные чис-

∂F j

(

X (t ))

( j −1) =

( j −1)

(16)

ла, характеризующие длины интервалов времени.

При заданных начальных условиях имеем

X0 (t ) = t

∂X

вдоль траектории движения, изображающей точки в про-

для системы (17). Поэтому приводя описание (17), (18)

управляемого движения в решаемой задаче к исходно-

странстве состояний на интервалах

t j −1 ≤ t ≤ t j при на-

му виду (1), исключим для упрощения записей из сис-

чальных условиях t = t j ,ξj ( j −1) = I

(I – единичная мат-

темы (17) первое уравнение. Тогда для векторной фор-

рица N × N ). В этом случае в (16) подставляется реше-

мы записи (2) имеем

ние X (t) уравнения (2) при s = j.

(t)

Таким образом, задача согласования элементарных

F1 (X (t )) =

движений рабочего органа механизма сведена к расчету

оптимальных покритерию(7) моментов времени tK

→ tKo ,

2 (t)

(X (t )) =

(21)

, .

tK +1 → tK +1 , …,

tM → tM

по выражениям(10)–(16).

III. ПРИМЕР РАСЧЕТА

X 2 (t)

(X (t )) = −a

Получим решение формализованной задачи согла-

сования элементарных движений для электропривода

и механизма, у которого рабочий орган имеет одну сте-

Уравнение (16) приобретает вид

____________________________________________________________________________________________________________________________

IX Международная (XX Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу АЭП-2016

- 217 -

( j −1)

Решение поставленной задачи получено. Оно не за-

ξ11

( j −1)

ξ12

висит от начальных значений X1 (0), X2 (0)

и справед-

ξ21 ( j −1)

( j −1)

> max

τ1 + 1

τ2 , τ2 .

ξ22

(22)

ливо, если t3 f

ξ21j ( j −1)

ξ22j ( j −1)

IV. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА МОМЕНТОВ ПОДАЧИ

[t1 ,t2 ],[t2 ,t3 ]

ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ УПРАВЛЕНИЯ

Решая (22) на интервалах

и учитывая

В задачах оптимального согласования элементарных

(14), получим

движений, например с нелинейными моделями (1), (8)

и (или) (7), целесообразно воспользоваться итерацион-

ξ2 (1) = ξ3 (2) = ξ3 (1) = 0

t .

(23)

ными методами решения уравнения (10) и численными

методами интегрирования дифференциальных уравне-

ний (1) на ЭВМ [5].

Условие

оптимальности

(10)

моментов времени

Обозначим через n номер очередной итерации. Пред-

ставим вектор-столбец T K

моментов времени подачи

t1 и t2 подачи ДСУ по критерию (19)

получим в сле-

ДСУ и вектор Λ неопределенных множителей сле-

дующем виде (учитывая (4), (22) и (23)):

дующим образом:

)

(n)

= T

(n −1) + c (n) D

(n −1) +

∂g

ξ3 (1) (1) + Λ'

∂h1

, X

(n −

1)Λ(n −1)

(29)

∂X

∂t1

(24)

= a (t3 f − t1 − τ1 )− Λ = 0,

Λ[n] = max{[0], Λ(n −1) + b(n) H K (n −1)} ,

(30)

∂g1 (X 3 )

Λ(0) ≥ [0],

(21) (2) + Λ

' ∂h11 (X 1 , X

2 )

∂X 3

∂t2

(25)

где на очередном шаге определены элементы матриц

= a (t3 f − t2 − τ1 )+ Λ = 0,

∂g K (X K

, X K +1 ,…, X M ) '

где с учетом выражения (20)

(31)

∂T K

		(X				) = t2
Λ ≥ 0,если	1		1	, X	2		− t1 − τ2	= 0,
Λ ≥ 0,если	h1			, X			− t1 − τ2	= 0,
		(X			2 ) = t2 − t1 − τ2			(26)
Λ = 0,если	h11	(X	1 , X		2 ) = t2 − t1 − τ2			> 0.

В рассматриваемом примере Λ скаляр.

Вычитая из левой части равенства (25) левую часть равенства (24), учитывая (20), получим

Λ = a2 (t2 − t1 ) ≥ a2 τ2 > 0.

Следовательно, ограничение (20) эффективно (в нем неравенство можно заменить на строгое равенство). Далее, сложив левые части выражений (24) и (25) и учтя (20), после необходимых преобразований получим оптимальные по критерию (19) значения моментов

времени t1 = t1o и	t2 = t2o	подачи дискретных сигналов
управления (1) и (2) :
	t1o = t3 f	− τ1	− 1 τ2 ,			(27)
			2
t2o	= t1o + τ2	= t3 f	− τ1 +	1	τ2 .	(28)
				2

			∂H K (X K , X K +1 ,…, X M ) '
E	K	=		,	(32)
E	K	=	∂T K	,	(32)

	H K = H K (X K , X K +1 ,…, X M ),				(33)

по вычисленным при интегрировании (1) значениям X K , X K +1 , …, X M и определены также с и b в форме

скаляров или матриц в зависимости от выбранного алгоритма градиентного метода [4] приближения к экстремуму функции цели (7).

Алгоритм согласования элементарных движений по критерию оптимизации (7) сводится к следующей последовательности операций:

1. Выбираются начальные значения T K , X K для последовательности элементарных движений (3) и компоненты вектора Λ при условиях (8), (11). Выбранные

значения T K , X K , Λ заносятся в память.

2. Путем численного интегрирования уравнений (1) при условии (6) определяются значения компонент век-

торов X (K +1) , X (K + 2) , ..., X M и заносятся в память; параллельно выполняется интегрирование уравнений (16) с единичными начальными значениями ξj ( j −1) на

каждом интервале			при j = K + 1, K + 2, …, M .
	t j −1	,t j

____________________________________________________________________________________________________________________________

IX Международная (XX Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу АЭП-2016

- 218 -

3. Вычисляются ξs ( p) по формулам (14); полученные значения ξs ( p) заносятся в память.

4. Вычисляются по выражениям (31), (32), (33) с учетом (12), (13) и заносятся в память компоненты матриц

DK , EK , H K .

5. По уравнениям (29), (30) производится расчет компо-

нент T K и Λ иобновлениезначений T K и Λ впамяти. 6. Операции 2, 3, 4, 5 повторяются до получения необ-

ходимойточностиприближениякоптимуму T K [n] → TоптK

поусловию(7).

Решение задачи и алгоритм вычислений упрощаются, если ограничения (8) выражены в виде равенств или вовсе отсутствуют.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задача согласования элементарных движений рабочего органа механизма представлена в математической постановке как задача оптимизации вырабатываемых в электроприводе дискретных сигналов управления; ее решение сведено к вычислительным процедурам определения оптимальных по заданному критерию момен-

тов времени подачи этих сигналов при наличии математического выражения целей управления с помощью ограничений типа неравенств.

Библиографический список

1.Тырва В.О. О дискретных сигналах управления автоматизированным электроприводом // Тр. VIII Междунар. (XIX Всероссийской) конф. по автоматизированному электроприводу АЭП-2014: в 2 т. Т. 1. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2014. С. 134–138.

2.Самосейко В.Ф. Теоретические основы управления электроприводом. СПб.: Элмор, 2007. 464 с.

3.Тырва В.О. Применение математических моделей для коррекции дискретных сигналов управления объектом эргатической системы // Вестн. ГУМРФ им. адм. С.О. Макарова. Вып. 1. СПб., 2014.

С. 171–178.

4.Саушев А.В., Тырва В.О. Моделирование процесса управления режимами функционирования электротехнических систем // Надежность и качество: тр. междунар. симпозиума: в 2 т. Пенза, 2014. Т. 1. С. 219–222.

5.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 831 с.

6.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

М.: Наука, 1974. 331 с.

7.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управ-

ления. М.: Наука, 1969. 408 с.

____________________________________________________________________________________________________________________________

IX Международная (XX Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу АЭП-2016

- 219 -

УДК 62-83: 681.351

Моделирование асинхронного электропривода с корректором коэффициента мощности

А.С. Ушков, А.Р. Колганов

Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина, Иваново, Россия

Modeling of induction motor electric drive whith power factor corrector

A.S. Ushkov, A.R. Kolganov

Ivanovo State Power Engineering University,

Ivanovo, Russian Federation

Применение корректора коэффициента мощности (ККМ) в составе асинхронного электропривода является одним из наиболее простых и эффективных путей повышения его энергоэффективности. В статье приводится анализ ККМ, построенного на базе повышающего преобразователя напряжения, синтез его системы управления а также функциональное моделирование, выполненное

в MatLab Simulink.

Application of power factor corrector (PFC) as part of induction motor electric drive is one of the simplest and most effective ways to improve its energy efficiency. This article provides analysis of PFC, built on the boost voltage converter, develop of its control system and also functional model, made in Matlab Simulink.

Ключевые слова: асинхронный электропривод, корректор коэффициента мощности, ККМ, simulink.

Keywords: induction motor electric drive, power factor corrector, PFC, simulink.

ВВЕДЕНИЕ

Рис. 1. Силовая часть асинхронного электропривода с ККМ

Одним из наиболее простых и дешевых способов улучшения гармонического состава потребляемого из сети тока, а также повышения энергосбережения является использование корректоров коэффициента мощности (ККМ). Задачей ККМ в идеале является формирование синусоидального сетевого тока, синфазного напряжению сети. Силовая часть АЭП с наиболее распространенной топологией ККМ представлена на рис. 1.

I. АНАЛИЗ ККМ

Подавляющее большинство современных асинхронных электроприводов реализованы на базе двухзвенных преобразователей частоты (ПЧ), которые, как правило, выполнены по схеме «неуправляемый выпрямитель – емкостный фильтр – транзисторный автономный инвертор с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) выходного напряжения».

При использовании неуправляемого выпрямителя. спектр потребляемого тока помимо основной гармоники содержит «паразитные» высшие гармоники, обусловленные нелинейностью характеристик диодов выпрямителя и влиянием емкостного фильтра.

К настоящему времени существует ряд международных [1] и государственных стандартов [2], нормирующих гармонический состав токов, потребляемых нелинейными потребителями.

Функциональная схема ККМ на базе boost-преобра- зователя и его схемы замещения для различных интервалов проводимости ключа представлены на рис. 2.

Рис. 2. Функциональная схема ККМ (a); транзистор включен (б); транзистор выключен (в)

____________________________________________________________________________________________________________________________

IX Международная (XX Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу АЭП-2016

- 220 -

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 6222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202252.65 Mб412830.Встроенные микропроцессорные системы..pdf
#
15.11.202253.56 Mб132832.Теория и технология получения наноструктурированных компактных мате..pdf
#
15.11.202254.21 Mб72833.Западная философия от истоков до наших дней. Книга 4. От романтизма до н.pdf
#
15.11.202255.26 Mб312834.Введение в супрамолекулярную химию..pdf
#
15.11.202255.89 Mб112835.Проблемы разработки месторождений углеводородных и рудных полезных и..pdf
#
15.11.202257.92 Mб292836.Труды IX Международной (XX Всероссийской) конференции по автоматизирова..pdf
#
15.11.20222.76 Mб1284.pdf
#
15.11.202263.74 Mб892843.Разработка калийных месторождений практикум..pdf
#
15.11.202269.4 Mб72844.Основы прогнозирования нефтегазоносности..pdf
#
15.11.202273.01 Mб172847.Исследование операций..pdf
#
15.11.202274.35 Mб162848.Методические рекомендации по восстановлению дорожных одежд на участк..pdf