2813.Планетарные передачи в автомобилестроении

С центральным колесом и сателлитом жёстко свяжем отрезки, при помощи которых зададим углы φ1, φ2. Углы φ1, φН будут обобщёнными координатами, угол φ2 – функция положения сателлита. Для этого угла можно записать:

данными, ϕ1 = ω1; ϕH = ωН.

Величина φ2 – угловая скорость сателлита, φ2 = ω2, она является иско-

мой.

Найдем частную производную ∂ φ2/∂ φ1. При этом обобщенная координата φН должна быть постоянной, т.е. водило окажется остановленным

(рис. 2.4, а).

Рис. 2.4. Обращенные механизмы: а – при остановке вала; б – при остановке колеса 1

Передаточное отношение

41

Какими будут угловые скорости колес после остановки водила, выясним позже, а сейчас найдем вторую частную производную ∂ ϕ 2/∂ ϕ Н. Обобщенная координата ϕ 1 будет постоянной, и колесо 1 окажется остановленным (рис. 2.4, б). Линейная скорость центра сателлита будет равной

После остановки водила получаем механизм, который называется обращенным. В обращенном механизме из угловых скоростей колес нужно вычитать угловую скорость водила. Выражение (2.18) называется формулой Виллиса, имеющей большое значение в кинематике планетарных передач.

Рассмотрим ряд примеров:

Пример 1

На рис. 2.5 приведена схема простого планетарного редуктора Джеймса в двух вариантах. В первом варианте (рис. 2.5, а) центральное колесо 1 неподвижно, во втором варианте (рис. 2.5, в) неподвижным является центральное колесо 3. Подвижность механизмов, изображенных на рис. 2.5, равна единице:

W = n – p4 = 3 – 2 = 1.

В исходных механизмах (рис. 2.5, а, в) входным звеном может быть либо центральное колесо, либо водило. Обращенные механизмы представ-

42

ляют собой обыкновенные рядовые передачи с паразитным колесом 2. Найдем сначала передаточное отношение обращенного механизма:

i13( H ) = (z2 / z3 )(− z1 / z2 ) = − z1 / z3 ,

i13( H ) = (− z2 / z1 )(z3 / z2 ) = − z3 / z1 .

Рис. 2.5. Редуктор Джеймса:

а, в – исходные механизмы; б, г – обращенные механизмы

Используем формулу Виллиса для схемы на рис. 8.5, а:

43

отсюда

Исследуем допустимые пределы изменения передаточных отношений для обеих схем. Положим, что z1= z2. Тогда z3= z1+ 2z2, так как все колеса одного модуля. По формуле (2.20) получим:

i3Н = 1 + z1 / z3 = 1 + z1 / 3z1 = 4/3; iН3 = 3/4.

При ведущем водиле угловая скорость ω3 = (4/3) ωН. При ведущем колесе 3 угловая скорость ωН = (3/4) ω3. В первом случае получается повышающая передача (мультипликатор). Во втором случае получается понижающая передача (редуктор). В обоих случаях передаточное отношение мало отличается от единицы. По формуле (2.22) найдем

i1Н = 1 + z3 / z1 = 1 + 3z1 / z1 = 4; iН–1 = 1/4.

При ведущем водиле угловая скорость ω1 – повышающая передача, ω1 = 4ωН. При ведущем колесе 1 угловая скорость водила ωН – понижающая передача, ωН = 0,25ω1. Здесь достигается значительно больший кинематический эффект по сравнению с передачей на рис. 8.5, а.

Возьмем как можно большее соотношение чисел зубьев колес. Для одной ступени рядовой зубчатой передачи не рекомендуется назначать передаточное отношение больше пяти.

Выберем z5= 5z1, тогда z3 = z1 + 10z1 = 11z1. По формуле (2.20)

i3Н = 1 + z1 / z3 = 1 + z1 / 11z1 = 12/11; iН3 = 11/12.

По формуле (2.22)

i1Н = 1 + z3 / z1 = 1 + 11z1 / z1 = 12; iН1 = 1/12.

Для схемы на рис. 2.5, а передаточное отношение опять мало отличается от единицы. Для схемы на рис. 2.5, в при ведущем водиле ω1 = 12 ωН – повышающая передача. При ведущем колесе 1 угловая скорость водила ωН – понижающая передача; ωН = 1/12 ω1.

44

Наконец, рассмотрим соотношение чисел зубьев z1 = 5z2, тогда z3 = 7/5z1. По формуле (2.20)

i3Н = 1 + z1 / z3 = 1 + 5z1 / 7z1 = 12/7; iН3 = 7/12.

По формуле (2.22)

i1Н = 1 + z3 / z1 = 1 + 7z1 / 5z1 = 12/5; iН1 = 5/12.

Таким образом, получены следующие кинематические свойства передач. Для схемы на рис. 2.5, а при ведущем водиле угловая скорость центрального колеса изменяется в пределах ω3 = (12/11…12/7) ωН; при ведущем колесе 3 угловая скорость водила ωН = (11/12…7/12) ω3.

Для схемы на рис. 2.5, в при ведущем водиле угловая скорость колеса 1: ω1 = (12/5…12/1) ωН; при ведущем колесе 1 угловая скорость водила

ωН = (1/12…5/12)ω1.

Из-за низкой кинематической эффективности передача с неподвижным колесом 1 не находит применения в машиностроении. Передача с неподвижным колесом 3 получила широкое распространение и может работать как повышающая, так и как понижающая.

Пусть задана схема редуктора (рис. 2.6), в котором водило Н редуктора Джеймса приводится от рядовой ступени (колеса 1, 2).

Рис. 2.6. Двухступенчатый редуктор с простой и планетарной ступенями

45

Рассчитать передаточное отношение u15, если z1 = z4 = 30; z2 = z5 = 20; z3 = 80, а также найти число оборотов колеса 5 и сателлита 4 при n1 = 50 об/мин.

Решение

1. Подсчитываем передаточные отношения отдельных ступеней. Для первой ступени

i12= n1/ n2= – z2/ z1 = –20/30 = –2/3,

откуда

n2 = – 3/2 n1 = – (3/2) 50 = –75 об/мин.

Так как n2 = nН, то nН = –75 об/мин. Для второй ступени

iН5 = nН / n5 = 1 / i5Н = 1 / (1 – i53H ) = 1 / (1 – (– z4 / z5) (z3 / z4)) = =1 / (1+ z3 / z5) = 1/ (1 + 80 / 20) = 1/5.

2. Общее передаточное отношение редуктора (об/мин) i15= i12 iН5 = (–2/3) (1/5) = – 2/15 = n1/ n5

или

n5 = – 7,5 n1 = – 7,5 · 50 = – 375.

3. Найдем число оборотов сателлита. Для этого воспользуемся форму-

лой Виллиса:

i54H = (n5 – nН) / (n4 – nН) = – z4/ z5 = – 30/20 = –3/2

или

n5 – nН = (– 3/2 n4) + (3/2 nН),

откуда

n4 = (– 2/3 n5) + (5/3 nН) = (– 2/3 (– 375)) + (5/3 (– 75)) = 125.

Сателлит вращается в ту же сторону, что и колесо 1.

Пример 2

На рис. 2.7 изображена схема редуктора с двумя внешними зацеплениями. Подвижность механизма

W = n – p4 = 3 – 2 = 1.

46

Пусть задана угловая скорость водила ωН. Требуется определить угловую скорость ω1 ведомого звена. Сначала выразим эти соотношения через радиусы колес. Мгновенная ось вращения обозначена ММ. Найдем скорость точки А:

VA = (r3 + r2') ωН = ω2 r2'

или

Блок сателлитов z2, z2' вращается как одно целое, поэтому скорость точки С

Рис. 2.7. Редуктор Давида с внешнем зацеплением

Скорость точки С является окружной для колеса 1, тогда для угловой скорости этого колеса получим

47

Из этой формулы видно, что чем ближе точка С к мгновенной оси, тем меньше передаточное отношение и1Н и тем больше отношение uН1. Особенно наглядно это проявляется в профильной проекции на рис. 2.7. В рассматриваемом случае колесо 1 вращается противоположно водилу. Если точка С окажется выше точки В, то направления угловых скоростей водила и колеса 1 будут совпадать. Если же точка С совпадет с точкой В, то r2 – r2' = 0, колесо 1 окажется неподвижным.

Выражение передаточного отношения через радиусы колес не всегда удобно, так как колеса z2, z2' могут быть разного модуля. Используя формулу Виллиса, выразим передаточное отношение через числа зубьев колес:

Для уменьшения i1Н необходимо, чтобы передаточное отношение обращенного механизма i13( H ) было положительным и как можно ближе к еди-

нице.

Пусть задано: z1 = 101; z2 = 100; z2' = 99; z3 = 100. По формуле (2.29)

i1Н = 1 – (z2 / z1) (– z3 / z2') = – (100·100) / (101·99) = = – 1/9999 ≈ – 1/10000.

Этот случай соответствует рис. 2.7, где гочка С лежит ниже мгновенной оси. Заданы другие значения чисел зубьев:

z1 = 100; z2=101; z2' = 100; z3 = 99.

Тогда

i1Н = 1 – (– z2 / z1) (– z3 / z2') = 1 – (101·99) / (100·100) = 1/1000.

В этом случае точка С лежит выше мгновенной оси, водило и колесо 1 вращаются в одну сторону.

Недостатком этого механизма являются большие потери на трение, следовательно, низкий коэффициент полезного действия. При uН1 = 1000 КПД равен 0,0015.

48

Пример 3

На рис. 2.8 изображен редуктор Давида с двумя внутренними зацеплениями. Здесь получается более компактная конструкция, чем на рис. 2.7.

Зададим числа зубьев: z1 = 100;

z2 = 99; z2' = 100; z3 = 101.

Передаточное отношение считается по той же формуле (2.29):

i1Н = 1 – (z2 / z1) (– z3 / z2') =

= – (99·101) / (100·100) = 1/1000.

2.4. Замкнутые дифференциальные передачи

Пример 4

На рис. 2.9 изображена схема замкнутого дифференциала. Рассчитаем степень подвижности передачи:

W = n – p4 = 5 – 4 = 1.

Первым признаком такой передачи является то, что при W = l в ней нет неподвижного центрального колеса. Пусть задана угловая скорость первого колеса. Требуется найти угловую скорость водила.

Записываем формулу Виллиса для центральных колес:

(в простой планетарной передаче с неподвижным центральным колесом неизвестна угловая скорость только одного колеса). Следовательно, должна существовать связь между угловыми скоростями либо ω1, ωН, либо ω3,

ωН, либо ω1, ω3.

В рассматриваемой передаче связь осуществляется между скоростями ω3, ωН при помощи замыкающей кинематической цепи z3', z4, z4'.

49

Передаточное отношение замы-

Это понижающая передача, она часто применяется в грузоподъемных механизмах. Например, при n1 = 750 об/мин водило, выполненное в виде барабана, будет иметь следующее число оборотов в минуту: 750/43,92 = 17.

2.5. Передача с коническими колесами

50