1499

Угол поворота зависит от направления движения частицы, поэтому траектории даже для одной и той же частицы являются необратимыми. При изменении U0 (z) в n раз для сохранения траектории B0 (z) следует изменить в n1/2. Величина U0 (z) представляет не значение потенциала в данной точке z, а энергию электрона, т.е. пройденную ускоряющую разность потенциалов.

Анализ уравнений (1.22) и (1.23) показывает, что неравномерное осесимметричное магнитное поле в околоосевой области действует как электронная линза. Короткое осесимметричное магнитное поле всегда играет роль собирающей линзы вследствие решения уравнения (1.22), в которое B0 (z) входит во2-й степени.

Условием получения идеального изображения в осесимметричном электрическом и магнитном полях является малость расстояний электронов до оси r и углов dr/dz наклонов их траекторий относительно оси.

Это условие выполняется только для параксиальных электронов. В реальных пучках требования параксиальности не выполняются. Тогда в уравнениях появляются члены, содержащие компоненты поля более высоких порядков. Электронно-опти- ческие изображения в этом случае уже не являются идеальными и становятся размытыми. Отклонения реального изображения от идеального называют аберрациями. При расчете реальной элек- тронно-оптической системы обычно в расчете учитываются аберрации 3-го порядка, т.e. те, которые привнесены добавлением в дифференциальные уравнения членов, содержащих r3,

r2 (dr/dz), r (dr/dz)2 и (dr/dz)3.

Различают несколько видов аберраций электронных линз. Сферическая аберрация. Она появляется в результате электронов, которые после прохождения внешней части линз отклоняются сильнее и пересекают оси до плоскости параксиального изображения (рис. 1.10). В окрестности этой плоскости вместо

точки появляется сфера радиуса:

rsph = 12Csph α3 .

41

липсов (рис. 1.11). При этом можно найти место, где сечение пучка становится окружностью (свободное от астигматизма). Поверхность, на которой лежит это изображение, не является плоской и только соприкасается с плоскостью параксиального образа. Часто это рассматривается как независимая аберрация, называемая закручиванием поверхности изображения.

Рис. 1.11. Электронные траектории и поперечные сечения пучка, поясняющие астигматизм

Кома – недостаток оптического изображения (изображение точки имеет вид продолговатого несимметричного пятнышка), возникающий при косом прохождении лучей через оптическую систему. Кома проявляется в том, что изображение точки не лежит на оси и имеет похожую на комету форму с вершиной, совпадающей с параксиальным изображением.

Дисторсия. Поскольку увеличение линзы электроннооптической системы зависит от удаленности изображаемой точки от оси, изображение предмета закручивается. В результате изображение квадрата может выглядеть как бочка или подушка

(рис. 1.12).

Кроме этих аберраций магнитные линзы могут иметь типичные для них анизотропические аберрации из-за разности во вращении изображений различных точек, отстоящих на разных расстояниях от оси (анизотропическая кома, анизотропический астигматизм, анизотропическая дисторсия). Как правило, магнитные линзы обычно находятся вне вакуумного объема, имеют больший размер и их аберрации меньше.

43

1.1.9. Фазовый объем, траекторное пространство пучка и эмиттанс в сварочных электронных пушках

Процесс электронно-лучевой сварки в значительной мере обусловлен пространственным распределением энергии пучка, которое является характеристикой качества пучка. Для оценки качества электронных пучков предложены разнообразные методы оценки. В последнее время предложено и применяется измерение распределения тока мощных моноэнергетических электронных пучков в одном поперечном сечении (это распределение часто называют профилем пучка) [11–15]. Ясно, что для прогноза результата глубокого проплавления нужна оценка «направленности» и «ламинарности» пучка (точнее, радиальное и угловое распределение электронов пучка) в изучаемом поперечном сечении. Было упомянуто, что для описания коллективного поведения электронов пучка необходимо знать величину плотности частиц в шестимерном фазовом пространстве (x,Vx, y, Vy, z, Vz). В случае непрерывного пучка время t исключается. Здесь x, y, z являются координатами и Vx, Vy и Vz – соответственно скоростями электронов. Ось z совпадает с осью пучка. Важно отметить, что фазовый объем пучка в шестимерном фазовом пространстве (x, y, z, Vx, Vy, Vz) называют 6D-гиперэмиттансом. Эта величина и соответствующая плотность частиц и/или ее значение в 4D-траекторном пространстве (x, y, dx/dz, dy/dz), основанное на поперечных координатах и углах, являются постоянными вдоль оси пучка и по времени, при идеальных условиях – для пучка, частицы которого не взаимодействуют с близкодействующими силами.

В случае 4D-траекторного пространства практически удобно использовать проекции параметров пучка в двух 2D-субплоскос- тях: x, x' = dx/dz и соответственно y, y' = dy/dz. Вместе с упомянутыми условиями (отсутствие соударений), которые необходимы для сохранения объема нерелятивистского фазового (траекторного)

45

пространства, имеется дополнительное требование исключения сил влияния соседних электронов плотно упакованного электронами интенсивного пучка, которые зависят от скорости электронов.

Тепловое распределение эмитированных электронов по скоростям является причиной для ненулевого значения геометрического эмиттанса. Кулоновские взаимодействия ведут к эффектам пространственного заряда, обусловливающим рост фазового объема пучка и эмиттанса. Нелинейные элементы системы, формирующей пучок, приводят к искривлению и закручиванию фазового объема и «квазивозрастания» эффективного эмиттанса пучка.

Как уже известно, 6D-описание пучка в дрейфовом фазовом пространстве обычно заменяют двумя 2D-проекциями (x, x′) и (y, y′) траекторного пространства. Геометрический эмиттанс определяют как площадь, занятую всеми электронами или электронами выбранной части пучка (или тока пучка) в этих двумерных плоскостях, разделенную наπ (рис. 1.13). Для x0x'плоскости

f ε x = Aπ x ,

где Ax – площадь, занятая пучком (соответственно частью пучка); индекс x означает, что параметр A и эмиттанс измерены в вспомогательной плоскости (x, x′). Например, εx и εy означают эмиттансы во вспомогательных плоскостях (x, x′) и (y, y′).

Сохранение εx и εy, если транспортировка пучка происходит в несвязанных вспомогательных плоскостях, что, как правило, имеет место в сварочных электронно-оптических системах. При описании части тока пучка вводят параметр p = I I0 , где

I – исследуемая часть общего тока пучка I0. Тогда далее при описании к εx и εy прибавляют нижний индекс p (таким образом, обозначения соответствующих эмиттансов – ε xp и ε yp ).

При описании релятивистского пучка скорость V электронов пучка сравнивается со скоростью света. При возрастании продольной компоненты V дивергенция пучка становится мень-

46

шей. Тогда геометрический эмиттанс также уменьшается. Скорость света с можно использовать для нормировки, и тогда нормированный эмиттанс является инвариантной, не зависящей от скорости электронов пучка величиной. Нормированный эмиттанс можно записать как

где σ x, σ x′ – стандартное отклонение координат x и углов x′, r – корреляция между этими случайными величинами. При r = 0 (отсутствие корреляции) вероятность плотности N может быть представлена произведением двух нормальных распределений, граница проекции фазового пространства на x0x′ становится канонически сопряженным эллипсом (главные оси совпадают с x и x′осями). В случае r = 1 эллипс вырождается в прямую

x′ = (σ x/σ x′) x.

Использование 2D-нормального распределения (1.24) с произвольным р в диапазоне 0,1 ведет к эллиптической форме границ диаграммы распределения частиц, заданной в x0x′ плоскости, совпадающей с эллиптическими траекториями частиц в фазовой плоскости.

Уравнение эллипса эмиттанса можно записать как

γ x2 + 2α xx′+ β x′2 = ε p .

47

Здесь εp – эмиттанс части p от тока пучка, содержащегося в соответствующем эллипсе; α, β и γ – это так называемые параметры Твисса (или Куранта – Шнайдера), которые удовлетворяют условию

и представлены на рис. 1.13. Отметим, что формула (1.25) полностью определяет геометрические свойства эллипса.

Рис. 1.13. Определение параметров Твисса

Коэффициент (или параметр Твисса) β характеризует изменение огибающей пучка. Его определение может быть записано в зависимости от моментов 2-го порядка функции распределения:

Здесь скобкиозначают среднее значение, выполненное по распределению координат х частиц пучка.

48

Соответственно γ – мера среднего отклонения наклона траектории электронов от оси пучка:

И коэффициент Твисса α определяется как

В ряде случаев распределение пучка становится более сложным и площадь, занятая электронами пучка в виде точек в xx′ или yy′ плоскостях, может не иметь легко определяемую форму (рис. 1.14). В этом случае возможно применение эффективного среднеквадратичного (root-mean-square, или r.m.s.) эмиттанса ε , определение которого базируется на концепции об «эквивалентном идеальном пучке».

Рис. 1.14. Эффективный, среднеквадратичный (r.m.s.) эмиттанс ε и концепция «эквивалентного идеального пучка»

49

Можно показать, что

1

ε x = 4 x2 x′2 − xx′ 2 2 .

Это и есть определение эффективного среднеквадратичного (r.m.s.) эмиттанса (здесь принято допущение, что область эмиттанса содержит около 0,9 от тока пучка).

Коэффициент корреляции r в уравнении (1.24) можно определить как

и Гауссово (нормальное) распределение (1.24) можно переписать как

1.1.10. Датчики измерения радиального распределения интенсивности пучка

Эмиттанс пучка– это напрямую не измеряемый параметр. Он может быть выведен из профиля тока пучка в поперечном сечении (радиальное распределение интенсивности) и из углового распределения траекторий электронов, проходящих через это поперечноесечение, оцененногоилинапрямуюизмеренного(см. ниже).

Известен датчик измерения радиального распределения интенсивности пучка, размещающийся на пути пучка и преобразующий плотность тока электронов пучка в измеряемый сигнал, который является функцией позиции по отношению к оси пучка. Схема измерения радиального распределения интенсивности пучка показана на рис. 1.15.

50