1499

решил кинетическое уравнение для бесконечной среды. Результат Спенсера интересен тем, что величина максимума энергетических потерь, выраженная в единицах траекторного пробега электронов, рассчитанного по формуле Бете, не изменяет свою величину в значительном диапазоне значений энергии. Это связано с общностью процессов в различных веществах и универсальными нормированными кривыми проникновения, предложенными Зелигером и Маховым.

Рис. 1.82. Сравнение энергетических потерь проникающих электронов, определенных разными выражениями: 1 – по формуле Виддингтона – Томсона (1.51); 2 – по формуле (1.56); 3 – оценка Спенсера; 4 – результат, полученный при численном моделировании проникновения ускоренных электронов с использованием метода Монте-Карло

Самые точные – это результаты, полученные по методу Монте-Карло при моделировании процесса проникновения [48– 51]. В следующем подразделе коротко изложены алгоритм компьютерного моделирования проникновения электронов в аморфных материалах [51] и результаты численных экспериментов.

142

1.3.4. Компьютерное моделирование проникновения электронов в твердые образцы

Пусть электронный пучок падает перпендикулярно поверхности многослойного твердого образца. Отдельные слои составлены из одного или нескольких элементов. Пучок сфокусирован в бесконечно маленькое пятно (падает в одну точку r = 0, или, другими словами, пучок представляется δ-функцией). Чтобы рассчитать радиальное распределение переданной энергии ускоренных проникающих в образец электронов по глубине образца, необходимо рассчитывать тысячи траекторий, т.е. миллионы соударений между проникающими электронами и атомами образца. На первом шаге прослеживается первый удар между ускоренным электроном и рассеивающим атомом. Из-за большой массы атома лабораторная координатная система совпадает с координатной системой центра масс.

Рассеивающий атом представляется экранированным кулоновским потенциалом (1.45):

U (r) = (Z e4πε 0 r )exp−( r / R) ,

где r – расстояние от центра поля; функция exp (–r /R) представляет экранирование поля положительного ядра электронами атома; R – атомный радиус. В соответствии со статистической атомной моделью Томаса – Ферми этот радиус величины порядка a0Z–1/3 и более. Здесь a0 – размер боровской орбиты водородоподобного атома, a0 = 0,539·10–10 м; Z – заряд ядра рассеивающего атома (i-го атома, выбранного случайным образом).

Угол отклонения θ электронной траектории проникающего электрона рассчитывается из уравнения для дифференциального сечения для упругого рассеивания (1.46):

143

где dσ – дифференциальное сечение рассеивания, мм2; Ω – пространственный угол; V – скорость; E – энергия проникающего электрона, эВ. Параметр экранирования β характеризует минимальный угол рассеивания, при котором dσ /dΩ не растет далее

суменьшением θ , можно рассчитать по выражению (1.47)

β= 2,33(Z1/3 / E1/ 2 ) .

Полное сечение упругого рассеивания рассчитывают, когда dσ /dΩ из формулы (1.46) интегрируют по всем углам:

где σ – в м2, если E – в эВ.

Неупругие удары слабо меняют электронные траектории из-за их преобладания только при очень малых углах, и их можно учесть, если использовать Z (Z + 1) в формуле (1.57) вместо Z2.

Средние потери проникающего электрона получают из всей длины его траекторного пробега и рассчитывают на единице

ность рассеивающих атомов и Z иM – средний атомный номер и масса материала образца (слоя) при смеси (сплава) из нескольких атомных элементов.

Вид k рассеивающего атома конкретного многоэлементного материала определяется случайным числом R1, генерируемым компьютерной программой. При этом принимается, что Σ Pk = 1, причем вероятность событий Pk рассчитывается по формуле

Pk = nk σ k / (Σ nσk k ) .

144

Здесь концентрация этого типа атомов находится как nk = Ck (ρ / M ) NA ,

где Ck – весовая часть k-го элемента и NA – число Авогадро. Сечение рассеивания рассчитывают по формуле (1.57) в соответствии с энергией E электрона перед ударом.

Средний свободный пробег между двумя соударениями

∆ x, проходимое электроном,

∆ ξ = −λ ln R2 ,

где R2 – другое случайное число.

Конкретный угол рассеяния рассчитывают по выражению

Зная ∆ξ , θ и ϕ для каждого удара, рассчитывают потери энергии и, соответственно, энергию проникающего электрона до достижения энергии 500 эВ или когда электрон уйдет за пределы образца. Не составит труда изобразить траектории какого-либо m-го электрона. Для этой цели необходим переход в координатную систему Oxytz, связанную с цилиндрической координатной системой, в которой r = (x2+y2)1/2, ось tz совпадает с начальным направлением движения электрона, обычно перпендикулярно к поверхности образца. Этот переход выполняется с помощью уравнения

145

cos ψ i = cos ψ i −1 cos θ i+ sin ψ i−1 sin θ i cos ϕ i .

Углы ψ i–1 , ψ i и θ i показаны на рис. 1.83. Угол ϕ i – азимутальный угол рассеяния при i-м ударе. Глубину tz для i-го удара можно оценить как

Рис. 1.83. Геометрические параметры вслучае проникновения электрона втвердом образце

Расстояние до координатной оси Оtz рассчитывается аналогично после введения угла χ I, который определяет проекцию траекторного пути на ось Оr, и угла φ i, аналогичного азимуту ϕ i. Следующие уравнения представляют связь между этими углами:

sin ψ i = cos χ 0 ; cos ψ i = sin χ 0 ;

146

cos χ i = cos χ i −1 cos θ I + sin χ i−1 sin θ I cos ϕ i ; sin χ i = 1 − cos2 χ i .

Тогда

i

ri = ∑∆ ξ i cosχ i = r + ∆ ξ i cosχ i .

1

Можно принять, что энергетические потери каждого прямолинейного участка пробега ∆ξ i, рассчитанные как dE dξ ∆ ξ i , происходят в точке i-го удара, и отнести их к под-

ходящей клетке вычислительной сетки в объеме образца (слоя). После суммирования всех потерь от всех электронов, траектории которых участвуют в моделировании, матрица рассчитанных значений энергии представляет пространственное распределение переданной образцу энергии.

Одна из особенностей этого распределения – это недостаток данных об отданной энергии при отдалении от первоначального направления движения падающих электронов. Здесь трудно достичь хороших показателей даже при значительном увеличении числа моделируемых траекторий. Может быть интересен подход, предложенный в работах [42, 43], когда вместо численной матрицы, полученной после суммирования переданной энергии в конкретных клетках тысячами проникающих электронов, находится аппроксимирующая математическая функция радиального распределения поглощенной образцом энергии f (r) (обычно это нормальное распределение или сумма из нескольких таких экспоненциальных распределений).

При реальном облучении электроны попадают во множество точек на поверхности образца. В результате необходим большой объем расчетов (множество тысяч траекторий, распре-

147

деленных в соответствии с распределением электронов в облученном пятне).

Упрощающей процедурой в этом случае может быть разделение облученной площади на микропятна с простой конфигурацией [44]. Тогда соответствующее распределение поглощенной энергии (т.е. переданной от электронов образцу) может рассчитыватьсяиспользованием функции ошибок, как это показано ниже.

Пусть переданная образцу энергия облучением одной точки его поверхности дается соотношением

где k – константа; δ f и δ b – характеристичные значения ширины рассеяния при движении вперед проникающих электронов и при движении в обратном направлении отраженных электронов соответственно; η E – отношение амплитуд энергетических распределений этих двух групп электронов.

Пусть электронный пучок имеет Гауссово распределение с характеристической шириной δ *, т.е.

вточке, отстоящей на расстоянии r, и в точке в центре пучка соответственно. Тогда функцию для реального электронного пучка можно рассчитать по уравнениям (1.58) и (1.59). Результат– функция f* (r), которая имеет аналитическое представление, совпадающее суравнением(1.58), носизмененнойхарактеристическойшириной:

148

Следовательно, если электронное облучение равномерно распределено по площади А, энергетическая плотность может быть выражена как

Если площадь A – простой рисунок, например линия или прямоугольник, и поглощенная энергия при облучении произвольной точки аппроксимируется модифицированной функцией (1.58), интеграл в уравнении (1.60) может быть вычислен с использованием табулированной функции ошибок erf:

1.3.5. Результаты численных экспериментов проникновения быстрых электронов

в твердые образцы

На рис. 1.84 представлено 100 электронных траекторий

вкремнии, покрытом пленкой толщиной 0,4 мкм из полиметилметакрилата (ПММА). Отметим, что пример выбран из другой области, для которой и был сделан расчет, но он не отличается качественно от примеров облучения сварочных материалов как

втвердом, так и в жидком состоянии. Энергия бомбардирующих электронов 20 кэВ.

На рис. 1.85 показано радиальное распределение плотности переданной энергии f (r) по глубине образца, представляющего пластину из кремния, покрытую сверху пленкой из ПММА толщиной 0,8 мкм. Непрерывная линия представляет результаты, полученные для фокусированного в точке пучка, с началь-

ной энергией электронов 10 кэВ, а пунктирная – для энергии 30 кэВ. Кривые построены соединением средних точек полученных гистограмм для плотности энергии в соответствующих ячейках

149