1499

Эффект имеет прикладное значение только в трансмиссионной электронной микроскопии кристаллических образцов. Кроме того, он более существен при внедрении ионов.

Несущественно с энергетической точки зрения, но важно для практического применения то, что малая часть энергии проникающего электрона (до 1–2 %) трансформируется в рентгеновское излучение двух видов – тормозное рентгеновское излучение (непрерывный спектр) и характеристическое рентгеновское излучение (дискретный спектр). Тормозное излучение является результатом непосредственного торможения (удара) электрона электрическим полем ядра атома мишени, а дискретные спектры эмитируются при возбуждении с последующим возвратом в исходное состояние электронов атомов мишени, находящихся на внутренних орбитах.

Существует еще один тип взаимодействия, когда падающий электрон тормозится коллективным действием или вследствие индивидуальных соударений с электронами валентной зоны (или зоны свободных электронов, если мишень – металл). Этот процесс имеет место на всем пути движения проникающего в мишень быстрого электрона.

Таким образом, бомбардирующий электрон расходует основную часть своей энергии, что подтверждается и результатами компьютерного моделирования процессов проникновения в аморфные мишени.

Существенная характеристика процессов взаимодействия между падающим электроном и рассеивающим атомом, представляющая меру их вероятности, – это сечения атомов для соответствующего вида рассеяния. Величина дифференциального сечения рассеяния электрона dσ характеризует вероятность того, что рассеянный электрон после удара окажется в пределах пространственного угла dΩ, находящегося под углом θ к направлению движения бомбардирующего электрона (рис. 1.67). При интегрировании на дифференциальном сечении по всем углам получаем интегральное (полное) сечение рассеяния.

121

где β – параметр, учитывающий экранирующее влияние атомных электронов; V – скорость падающего электрона; e и m – заряд и масса электрона; Ua – ускоряющее напряжение. Если ускоряющее напряжение измеряется в вольтах (В), после замещения известных величин в формуле (1.46) dσ/dΩ получается в м2·Стерад–1 .

Параметр β оценивают, приравнивая отношение орбитальных скоростей атомных электронов к скорости падающего электрона (соответственно Vat и V). Физически эта величина является критерием для динамического экранирования атома (рад):

V mVa0 Ua

или если β измеряется в угловых градусах, то

β = 216 Z1/3 Ua град.

Параметр β показывает минимальный угол рассеяния θ (или, что то же самое, максимальный прицельный параметр), который появляется из-за экранирования атомными электронами поля ядра (при неэкранированном кулоновском потенциале поле рассеивает падающий электрон на всем расстоянии – до бесконечности и dσ – тоже бесконечно большая величина). При малых углах рассеяния θ из выражения (1.46) можно заключить, что рассеяние начинается в конусе с углом при вершине θ ≥ β и быстро убывает с возрастанием угла рассеяния θ. θ = 45° – самое большое значение, не зависящее от энергии рассеиваемого электрона. Сам конус, определяющий самую большую вероятность рассеяния, уменьшается с возрастанием энергии и растет медленно с увеличением атомного номера рассеивающего атома.

Полное сечение упругого рассеяния σ находится после интегрирования дифференциальных сечений рассеяния по всем углам. Чтобы оценить это сечение (м2) для быстрых электронов, когда β << 1, используют следующее выражение:

123

Иногда Z4/3 в формуле (1.48) заменяют относительной массой. Для полного сечения электронов для упругого взаимодействия, рассеиваемых атомами, при использовании атомной модели Томаса – Ферми получена кривая, данная на рис. 1.68.

Важно отметить, что полученные выше результаты с помощью классического механического подхода можно получить и квантово-механическим путем.

Можно отметить, что представление твердого тела как ансамбля невзаимодействующих атомов очень грубое. Но, даже если использовать более точные модели, в результате того, что взаимодействие между атомами проявляется изменением только волновых функций валентных электронов (структура внутренних электронных слоев сохраняется и в твердом теле), сечение упругого рассеяния изменится только при углах, сравнимых с величиной экранирующего параметра β, а полное сечение практически не изменится.

Рис. 1.68. Полное сечениеэластичного рассеяния быстрых электронов сатомами

124

Неупругое рассеивание. Различные переходы между электронными уровнями в атоме имеют различные вероятности. Эти вероятности определяют, разрешен или нет какой-либо конкретный переход между различными квантовыми состояниями. Сечение неупругого взаимодействия, подобно вероятности упругого рассеяния, быстро уменьшается при увеличении угла рассеяния [42], поэтому только взаимодействия, вызывающие отклонения на малые углы, вносят существенный вклад в рассеяние бомбардирующего электрона. И здесь имеется критический угол, физический смысл которого в полуклассическом рассмотрении связан с временем взаимодействия при прицельном параметре (расстояние от линии движения электрона до центра рассеивающего атома), равном радиусу определенного электронного слоя. При малых углах рассеяния возбуждаются атомные уровни с минимальной энергией, и падающий электрон теряет маленькие дискретные порции своей энергии на разрешенные переходы в атомах. Значительно реже происходят потери на ионизацию этих уровней. При больших углах рассеяния возможны только те случаи, при которых после удара импульсы двух электронов сравнимые, т.е. когда оба электрона соударяются эластично – как две свободные частицы. В пренебрежении объемными эффектами, возникающими из-за неразличимости рассеянного и выделяемого при ударе атомного электрона, сечение неэластичного рассеяния записывается как

где ∆ε – энергия, переданная атомному электрону при ударе. При учете различных атомных слоев дифференциальное сечение представляет функцию с различными максимумами.

При суммировании дифференциальных сечений рассеяния (для заданного угла θ), при всех разрешенных состояниях дискретного и непрерывного спектров, получается dσin в определенном пространственном угле dΩ. Аналитическое выражение для

125

него получается только в определенных угловых диапазонах. Сумма всех дифференциальных сечений для неупругого рассеивания дает полное сечение для неупругого рассеивания электрона на атоме. Для оценки можно использовать аппроксимацию [43]

гдеUа – ускоряющеенапряжение, В; I – ионизационныйпотенциал. Влияние приближения, при котором пренебрегают измененной структурой твердого тела (наступившей при объединении внешних электронных оболочек) при принятой модели образца как ансамбля невзаимодействующих атомов, незначительно

иотносится только к области рассеяния на малые углы. Это связано с измененными волновыми функциями валентных электронов. Полное сечение остается практически неизменным.

Хотя и неупругие рассеяния несущественны с точки зрения траектории проникающего электрона, на малые углы в металлах

иплазме порождают плазменные колебания в результате коллективных свойств электронов среды, эффект от которых наблюдается при изучении тонкой структуры спектров отраженных или прошедших через тонкую пленку электронов. Величина энергий пиков спектров плазменных колебаний – порядка единиц или десятков электронвольт, причем их спектры не зависят от угла падения и от энергии падающего электрона, а только от материала мишени (поэтому называются характеристическими потерями). Существуют металлы, такие как Al, Mg, Be, которые имеют спектры характеристических потерь с несколькими узкими максимумами (рис. 1.69). Другие металлы (Cu, Ni, Ag, Au) имеют спектр с одним широким максимумом. Характеристичные потери наблюдаются и при бомбардировке электронами химических соединений (оксидов, сульфидов), причем спектры соединений являются подобными спектрам чистых металлов. Д. Пайнс и Д. Бом показали, что при движении электрона со скоростью, превышающей тепловые скорости электронов мишени, возбуждаются

126

колебания, отбирающие энергию от проникающей частицы. Точнее, быстрый электрон расходует энергию при отталкивании близкорасположенных электронов среды, чем обусловливает возникновение плазменных колебаний. Поскольку плотность валентных электронов в твердых телах около 1028–10 30 м3, плазменная частота соответственно 6·1015–6·10 16 с–1 , а энергия плазмона 3,7–37,0 эВ. Радиус Дебая, оцененный при предположении для Максвелловского распределения электронов среды, получается порядка 10–10 м. Таким образом, плазменные колебания (плазмоны) возбуждаются только при движении быстрого электрона через среды с множеством свободных электронов.

Выражение для средних потерь энергии для возбуждения плазмонов совпадает с выражением для средних потерь при взаимодействии падающего электрона с атомными электронами. Это затрудняет количественное разделение этих двух видов потерь и во многом лишает такое разделение смысла.

127

Энергетические потери и пробег электрона в твердом теле.

Средняя потеря энергии на единице траекторного пробега (отсчитанного по ломаной действительно пройденного расстояния) [42]:

Это выражение известно как формула Бора (Бете – Блоха). Она определяет математическое ожидание (или момент первого порядка) потери энергии при проникновении быстрого электрона в твердом теле. Если рассмотреть большое количество электронов, падающих с одинаковой начальной энергией, после прохождения одинакового траекторного пробега, потерянная энергия для каждого из них будет различной. Следовательно, существенным становится вопрос определения вида распределения потерь. Самым распространенным является нормальное распределение. В нашем случае особенностью будет то, что не все удары являются незначительными, и это особенно важно при прохождении через тонкие образцы. Тогда распределение энергии отличается от Гауссова, и кроме средней потери энергии появляется наиболее вероятная потерянная энергия (рис. 1.70). При этом средняя величина энергетических потерь Е′ср при прохождении расстояния х является больше, чем величина наиболее вероятных потерь энергии Е′вер. Соответственно, можно получить распределение энергий электронов, прошедших через слои с толщиной, отвечающей траекторному пробегу х, или аналогичную кривую, показывающую уменьшение первоначальной энергии Е0 с потерями Е′ (х).

Со своей стороны длина пути моноэнергетических электронов (с энергией Е0), проникающих в материал, будет разной из-за статистического характера энергетических потерь. Сред-

няя длина этого пути R(E0 ) будет удовлетворять дифференциальному уравнению

128

Отсюда средний траекторный пробег электронов можно определять из выражения

Распределение траекторных пробегов обусловливается случайными величинами потерь энергии при ударах падающего электрона с атомами образца и флуктуацией числа ударов. Эти события являются независимыми, и можно ожидать, что распределение пробегов около средних значений в значительной мере совпадает сГауссовым и лишь при тонких образцах имеет некоторые особенности, аналогичные распределению энергетических потерь.

Кроме траекторного пробега употребляют термин «поперечный (проецированный) пробег». Это средняя толщина поглощающей тонкой пленки, которую могут проходить электроны, падающие нормально к ее поверхности. Численно она равняется проекции траекторного пробега на первоначальное направление движения падающих электронов. Вследствие упругих ударов траекторный и проецированный (поперечный) пробеги различаются. Разница больше для тяжелых веществ, так как вероятность упругих рассеяний пропорциональна Z2, а вероятность неупругих, которые в первую очередь определяют средние энергетические потери, пропорциональна Z. Падающие на тяжелые элементы электроны заметно рассеиваются до потери большей части первоначальной энергии.

Не следует забывать, что формулы для (dE/dx) cp в области низких значений энергии электронов (вблизи остановки, т.е. Е = 0) дают только грубое приближение, так как они предназначены для расчетов в Борновском приближении для значений энергии порядка нескольких килоэлектронвольт.

129

1.3.2. Экспериментальные данные о пробегах электронов, проникающих в твердые образцы

На рис. 1.66 показана траектория электрона с энергией Е0, падающего первоначально в направлении х, при движении в однородной среде с плотностью ρ. Более часто, как численная характеристика его проникновения в массивный образец, используется глубина его внедрения до полной остановки. Мы отмечали, что эта величина является проецированным (или поперечным) пробегом. Траекторный пробег, который регистрируется экспериментально для электронов высокой энергии в фотоэмульсии или пузырьковых камерах, можно оценить из уравнения (1.50) на базе теоретической формулы Бете (1.49).

Эмпирическая оценка поперечного (проецированного) пробега делается на основе экспериментального закона Вид-

дингтона – Томсона:

где Е0 – начальная энергия; Е(х) – наиболее вероятная энергия электрона, прошедшего через пленку с толщиной х; b – коэффициент, зависящий от материала бомбардируемой пленки и от начальной энергии электронов.

Ниже даны величины b для энергий электронов в диапа-

Часто как следствие закона Виддингтона – Томсона принимается, что поперечный пробег связан с начальной энергией электронов квадратичной зависимостью. Соответствующая приближенная формула носит имя Шонланда и имеет вид

130