1371

получения приближенных оценок. В других случаях из-за сложности аналитического аппарата придется воспользо­ ваться графической формой представления характеристик устойчивости с указанием работ, где рассмотрено применение аналитических методов.

1.1. Начальная потеря устойчивости

Прежде чем перейти к обсуждению влияния комбиниро­ ванного нагружения, граничных условии, кривизны, подкреп­ ления кромок и других важных факторов, в первую очередь будет полезно проанализировать простейшее из доступных теоретических решений, относящееся к свободно опертой плоской пластине под действием однородного сжатия в пло­ скости. Решение этой задачи, которое можно найти в ряде книг [5, 20, 50], обычно имеет вид

Критическая нагрузка Ncr зависит от изгибной жесткости, длины и ширины плоской панели и параметров волнообразо­ вания m и п, которые представляют собой число полуволн выпучивания в направлениях х и у соответственно. Этот вид уравнения иногда называют классическим потому, что он выведен в предположении об отсутствии трансверсального сдвига. Изменение критической нагрузки потери устойчи­ вости как функции отношения размеров пластины L/b по­

ской нагрузки становится более пологой. Также видно, что при некоторых значениях L/b меняется мода потери устойчи­ вости. Параметр р = mb/L представляет отношение шири­ ны выпученного элемента к длине одной волны выпучива­ ния; у плоских неподкрепленных изотропных панелей на­ чальная потеря устойчивости наступает при значении р, рав­ ном единице, когда параметр волнообразования п в направле­ нии у также равен единице. Как будет показано далее, у панелей более сложной конструкции значение р больше еди­ ницы и во многих случаях влияние кривизны и подкрепления кромок на число полуволн начальной потери устойчивости можно оценить с достаточной точностью, зная всего лишь радиус кривизны, ширину и длину панели.

Существует много простых формул для расчета критиче­ ской нагрузки начальной потери устойчивости тонких пластин при различных условиях нагружения [5, 20, 22, 50]. В неко­ торых из упомянутых монографий содержатся теоретические

результаты, которые могут оказаться полезными при анализе поведения более сложных конструкций подкрепленных па­ нелей, обсуждаемых в следующих разделах работы. Далее, там где это возможно, полученные численные результаты бу­ дут представлены в безразмерном виде путем нормирования

If

Рис. 2. Коэффициенты выпучивания плоских прямоугольных пластин 1Щ

к критической нагрузке эквивалентной плоской неподкрепленной пластины (уравнение (1.1)).

В следующих разделах более подробно обсудим характе­ ристики реальных конструкций подкрепленных панелей, ока­ зывающие большое влияние на прогнозирование критической нагрузки. Последовательность изложения не играет суще­ ственной роли, поскольку все рассматриваемые темы имеют прямое отношение к устойчивости подкрепленных панелей. Кроме того, почти все области практического применения композитных конструкций будут описаны с учетом одной или более рассматриваемых тем.

1.1.1. ТРАНСВЕРСАЛЬНЫЙ СДВИГ

Для конструкций из металлов влиянием трансверсального сдвига в общем можно пренебречь, за исключением случаев, когда относительная толщина поперечных сечений очень ве­ лика. Однако сравнительно низкие модуль и прочность мат­ рицы композитов делает влияние трансверсального сдвига

рины b/t, рассчитанные без учета N% и с учетом Ncr трансвер­ сального сдвига. Если произвольно принять, что толстой считается панель, критическая нагрузка которой составляет менее 95 % от рассчитанной по уравнению тонкой пластины,

Рис. 3. Влияние трансверсального сдвига на критическую нагрузку на­

для случая изгиба и выпучивания плоских квадратных пла­ стин большой относительной толщины с различными симмет­ ричными укладками.

Результаты, показанные на рис. 3, получены с помощью теоретической модели, разработанной на основе работы [31], являющейся обобщением работы [41], где рассматривались трехслойные пластины. На рис. 4 [31] показано, как ме­ няется критическая нагрузка в зависимости от отношения радиуса кривизны к толщине R/h и отношения модуля сдви­ га матрицы композита к модулю упругости при растяжении.

Рис. 4. Влияние межслойного сдвига на выпучивание при осевом сжатии длинных толстых цилиндрических оболочек. Свойства оболочки:

Еп/Еп == 0,75, Gu/Ец = 0,2, Vu/En = 0,125.

Критическая нагрузка, рассчитанная с учетом трансверсаль­

ного сдвига, обозначена через Ncr, а классическая — через Na* Таким образом, учет трансверсального сдвига необходим при прогнозировании начальной потери устойчивости конструкций из композитов с низким модулем сдвига матрицы и относи­ тельно толстым поперечным сечением.

Хороший обзор литературы, учитывающей сравнительно новые работы, касающиеся влияния трансверсального сдвига на устойчивость плоских неподкрепленных пластин из ком­ позитов с разными граничными условиями, содержится в книге [75], частично основанной на диссертации [60]. Осо­ бый интерес представляет описание вариационной теоремы Рейсснера [56] и ее применение к решению проблемы устойчивости пластины с разными граничными условиями при осевом сжатии.

Что касается экспериментальных исследований, интересно отметить, что в работе [65] сказано «...в некоторых экспери­ ментах предельные нагрузки были меньше, чем соответствую­ щие расчетные нагрузки упругой потери устойчивости. Это

программы PASCO 16], созданной в NASA ]45]. Рассчитан­ ные величины приблизительно соответствуют условию, когда ненагруженные кромки пластины по существу защемлены. Из рис. 9 следует, что влияние изменения граничных условий

Рис. 9. Изменение аналитических оценок критической нагрузки в зависи­ мости от параметра крутильной жесткости подкрепляющего элемента [16]; 1 — расчет с помощью вычислительной программы PANCLP; 2 — экспе­ римент [7]; 3 — типичный ожидаемый диапазон отклонения эксперимен­ тальных результатов (±10% ).

на ненагруженных кромках превышает характерный разброс экспериментальных данных, показанных на рис. 8. Как вид^ но, даже малые изменения крутильной жесткости элементов, подкрепляющих кромки, значительно влияют на критическую' нагрузку.

1.1.3.КРИВИЗНА

Суменьшением радиуса панели от бесконечности до ко­ нечной величины критическая нагрузка возрастает от значе­ ния, соответствующего плоской пластине. Результаты для изо­ тропных неподкрепленных искривленных панелей со свободно опертыми или защемленными кромками в условиях осевой,

ской нагрузки искривленной панели при осевом сжатии, нор­ мированной к критической нагрузке плоской пластины, от

параметра кривизны пластины Z = (b2/Rh) <\J\ — v2 и пара­ метра подкрепления кромок GJ/Db. У защемленной панели величина GJ/Db очень велика, больше 10, тогда как для па­ нели со свободными кромками она близка к нулю.

В соответствии с рис. 9 приведенная гибкость р на рис. 11 построена в зависимости от параметра кривизны Z. Подоб­ ные же результаты можно ожидать и для композитных па-

70 Р. Арнольд, К. Кедвард, Е. Спайер

нелей при сжатии, хотя точные значения будут зависеть от отношений изгибных жесткостей. Таким образом, грубую оценку критической нагрузки начальной потери устойчивости и длины волны можно получить, зная критическую нагрузку потери устойчивости плоской подкрепленной панели и ис­ пользуя уравнение (1.1) и кривые на рис. 10 и 11.

Для случая сдвигового нагружения панели результаты, аналогичные полученным для осевого сжатия, приведены на

действие избыточного внутреннего давления. Таким обра­ зом в процессе проектирования часто необходимо оценить устойчивость панели при одновременном действии несколь­ ких нагрузок. Классические решения для прстейших гра­ ничных условий можно найти в работах [20, 50]. Обычно комбинированное действие двух нагрузок, таких, как осевое сжатие и сдвиг, оценивают с помощью следующего крите­ рия [50]:

= 1, ( 1. 2)