1371

считается, что, за исключением частных случаев, возможны только приближенные численные решения этих уравнений, например методом конечных разностей или конечных эле­ ментов. Кроме того, первая вариация обеспечивает инфор­ мацией только о равновесных конфигурациях, которые могут существовать, а могут и не существовать в лабораторном эксперименте.

Так как задача является нелинейной, а в эксперименте регистрируются кратные конфигурации и явление прощелкивания, то необходимо рассматривать проблему устойчивости равновесных конфигураций. Получение решений для уравне­ ний устойчивости в сочетании с получением решений для уравнений равновесия приводит к задаче значительной раз­ мерности. Поэтому численные расчеты и изучение опреде­ ляющих параметров связаны с вычислительными трудно­ стями. Предложенный в настоящей статье подход состоит в поиске приближенных в смысле Ритца решений, исходящих из выражения для энергии деформирования (уравнение (7)) и минимизирующих это выражение на основе предполагае­ мых полей перемещений.

Допустимая форма перемещения из плоскости

с неизвестными и подлежащими определению константами а и b описывает возможные конфигурации слоистого компо­ зита. Такая функциональная зависимость для и\ определяет

в зависимости от параметров а и b различные конфигурации:

Однако рис. 2 дает некоторое представление относительно вы­ бора функциональной зависимости для этих двух полей пере­ мещений. На рис. 2 показано поперечное сечение деформиро­ ванного слоистого композита в плоскости х\, хг. Несуществен­ но, связано ли это поперечное сечение с цилиндром или с седлообразной поверхностью. На рисунке показано первона­ чально плоское поперечное сечение слоистого композита при температуре отверждения и поперечное сечение этого ком­ позита при более низкой температуре после деформирования из плоскости. Из рисунка ясно, что точка А вследствие де­ формации из плоскости испытывает значительное смещение в сторону убывания координаты х\. В частности, точка А смещается на величину

где х\ — координата точки А при температуре отверждения выше комнатной, а р и 0 — геометрические параметры, ука­ занные на рис. 6. При малых углах раскрытия

Рис. 2. Схема деформирования плоской слоистой пластины, обусловленного изменением температуры.

Если деформации в плоскости (арочные) предполагают­ ся малыми, то длина дуги между точками О и Л равна р0 или

Однако термические эффекты оказывают влияние на дли­ ну дуги ОА (рис. 2) деформированного слоистого композита. Как и в классической теории слоистых пластин, предпола­

где с — некоторая неизвестная константа.

Подобные рассуждения относительно плоскости х2, *з при­

где d — некоторая неизвестная константа, а b определяется уравнением (8). Величины a, b, с, d будут определяться в процессе минимизации функционала энергии.

Используя (8), (14) и (15), уравнения (3) можно свести к виду

е° = с, e°2 = d, e\ = abxхх2/2. (16а, Ь, с)

При геометрически линейных деформациях ортогонально армированных слоистых композитов, вызванных изменением температуры, отсутствуют сдвиговые деформации срединной плоскости Можно доказать, что это справедливо и для

случая больших геометрически нелинейных деформаций. Со­

следует модифицировать, чтобы обеспечить выполнение усло­

Соотношения (17) совместно с (8) формируют предпола­ гаемые поля перемещений для несимметричных слоистых композитов, деформированных вследствие изменения темпе­ ратуры материала относительно температуры его отвержде­ ния. Эти уравнения можно подставить в (2) —(5), а те в свою очередь — в уравнение (7) с последующим интегрированием по координатам х\ и дсгТакая подстановка приводит к вы­ ражению следующего вида для W:

W = W (Alf} В.п D{f, N 1 Щ, M f , M l Lv Lv a, b, c, d). (18)

Затем отыскиваются стационарные значения функционала для W по вариациям величин а, b, с, d. Интегрирование урав­

Уравнения (20) составляют четыре алгебраических урав­ нения для неизвестных a, b, с, d. Эти уравнения нелинейные по а и b и линейные по с и d\ они имеют вид

сической теории слоистых пластин, т. е. геометрически линей­ ному случаю. Очевидно, что для развитого здесь метода слоистая пластина с нулевыми размерами является синони­ мом слоистых пластин классической теории.

Для получения численных результатов необходимо чис­ ленное решение уравнений (21). Это можно сделать различ­ ными способами, например используя алгоритм типа Ньюто­

уравнения для а и Ь, которые можно решать методом Ньюто­ на. И наконец, эти два уравнения можно объединить в одно относительно а или Ь, как в [3]. Объединенное уравнение относительно а имеет вид

Можно ожидать, что нелинейные алгебраические уравне­ ния (либо (21), либо (23)) имеют кратные корни, а следо­ вательно, слоистый композит при заданном Д71— кратные конфигурации. Это, как уже отмечалось в введении, обеспе­ чивает возможность предсказывать кратные цилиндрические конфигурации.

Для конкретного слоистого композита с заданным измене­ нием температуры после отверждения, т. е. при заданных Aijt Вц, Df/, Lv L2, N\, NT2, M\, M l, можно определить де­

формации из плоскости по найденным значениям а и Ь, а также деформации c u d , которые в данном случае не пред­ ставляют большого интереса. Ранее уже упоминалось, что

решения уравнений (21) являются равновесными. При задан­ ной температуре одно или более решений могут соответство­ вать неустойчивому равновесию. Поэтому для каждого реше­ ния необходимо исследовать вторую вариацию. Однако сна­ чала целесообразно представить численные результаты, отно­ сящиеся к равновесным конфигурациям конкретных слоистых композитов. Таким образом, вопросы устойчивости следует излагать в контексте с конкретными конфигурациями конк­ ретных слоистых композитов.

4. Численные результаты

Численные результаты для слоистой пластины из конкрет­ ного композита наглядно иллюстрируют важнейшие особен­ ности взаимосвязи между конфигурацией слоистой пластины и ее размерами, а также ее температурой относительно тем­ пературы отверждения. В ведении показано, что пластины оди­ наковой структуры, но разной толщины после отверждения имеют различную конфигурацию. Этот факт служит поводом для изучения влияния размера на конфигурацию слоистой пластины после отверждения. С другой стороны, поскольку легко осуществимо повышение и понижение температуры слои­ стого композита относительно температуры отверждения, раз­ личные исследователи [4, 11] фактически использовали это как метод определения температуры отверждения слоистого композита. Кроме того, подобный метод использован в рабо­ тах [2, 9] для оценки влияния влажности и температуры на поведение волокнисто-армированных композитов.

Взаимосвязь между размером слоистой пластины и ее конфигурацией при комнатной температуре (20 °С) иллю­ стрируется на рис. 3. Результаты взяты из работы [3]. Слои­ стая пластина имеет форму квадрата (LI = L2 = L); длина стороны откладывается на горизонтальной оси. Значения ве­ личин а и 6 отложены на вертикальных осях двух частей данного рисунка. Пластины собраны по схеме (О^ЭОДг и имеют следующие характеристики:

Толщина слоч=0,175 мм; температура отверждения = 121 ®С.

Для удобства дальнейшего обсуждения слоистые компо­ зиты, составленные из слоев с такими свойствами, обозначим как композиты типа А. Приведенные свойства являются ха­

рактерными для материала AS4/1908 производства фирмы Hercules при объемном содержании волокон 50 %•

Из рис. 3 становятся очевидными две особенности. Во-пер­ вых, в решениях существует симметрия, обусловленная взаи­ мосвязью между а, b и длиной стороны. Во-вторых, если

Рис. 3. Зависимость кривизны от длины стороны L квадратной слоистой пластины со структурой (04/ 904)7 из композита типа А при комнатной

температуре.

длина стороны слоистой пластины больше некоторой крити­ ческой длины, то существуют три возможных равновесных решения при комнатной температуре. Из рисунка видно, что критическая длина равна 90 мм. При L = 0 имеется только одно решение, соответствующее седлообразной конфигурации (Ь = —а). Эта конфигурация на самом деле предсказывает­ ся, если при расчете пренебречь геометрическими нелиней­ ностями. На рисунке соответствующее решение обозначено точкой А. Когда длина стороны слоистой пластины увели­ чивается от нуля до, скажем, 50 мм, решения еще оста­ ются однозначными, а предсказываемая конфигурация сед­ лообразной. Однако кривизна седловины уменьшается по

Рис. 4. Зависимость кривизны от температуры для слоистой пластины (125 X 125 мм) с укладкой ((Ц/ЭО^т из композита типа А.

X 125 мм при температуре отверждения (точка А') равны нулю и появляются с уменьшением температуры. До точки ветвления В' кривизны малы и противоположного знака, по­ этому слоистая пластина приобретает седлообразную конфи­ гурацию. При температуре примерно 77°С (точка В') реше­ ние разветвляется. Равновесные решения могут следовать по одной из трех траекторий, обозначенных через В'С', B'D' и В'Е' Если слоистая пластина соответствует траектории В'С', то кривизна в направлении х\ продолжает увеличиваться, тогда как кривизна в направлении х2 уменьшается. С другой стороны, при следовании по траектории В’Е' наблюдается противоположная картина — кривизна в направлении х\ уменьшается, а в направлении х2 увеличивается по модулю. Если в соответствии с третьей возможностью слоистая пла­ стина при охлаждении следует траектории B'D', то ее конфи- 1'урация остается седлообразной, но седловина при уменьше­ нии температуры будет становиться все глубже.

Рис. 5. Зависимость кривизны температуры для слоистой пластины (ЗООХ X 300 мм) с укладкой (O4/9O4)г из композита типа А.

Зависимость кривизны от температуры для слоистой пла­ стины 300X300 мм (рис. 5) подобна рассмотренной на рис. 4. Однако для пластины больших размеров отличия в конфигурациях, представляемых разными ветвями решения, более отчетливы. Вначале, при снижении температуры, появ­ ляются равные по величине, но противоположные по знаку кривизны пластины. Однако, когда температура становится всего на 10°С меньше температуры отверждения, решение разветвляется. Если при дальнейшем понижении темпера­ туры слоистая пластина следует траектории В'С', то кри­ визна в направлении оси х\ продолжает увеличиваться, тогда как в направлении оси х2 фактически исчезает. Это соответ­ ствует цилиндрической конфигурации, схематически пока-