1371

занной на рис. 1(c). Напротив, если изменение конфигурации пластины при охлаждении следует траектории В'Е', кривизна в направлении оси х2 увеличивается по модулю, а кривизна в направлении х\ практически уменьшается до нуля. Это со­ ответствует цилиндрической конфигурации на рис. 1(d). Тра­ ектория B'D' соответствует слоистой пластине с седлообраз­ ной конфигурацией, имеющей кривизны, равные по величине, и противоположного знака. Если для слоистой пластины 125X 125 мм конфигурации, представляемые ветвями В'С' и В'Е', не вполне цилиндрические, то для пластины 300 X X 300 мм, начиная с некоторой температуры, конфигурации, соответствующие этим ветвям, уже практически цилиндриче­ ские.

Зависимость между кривизной и температурой у слоистой пластины малых размеров (рис. 6) совершенно иная. Для этой пластины имеется только одна конфигурация (седлооб­ разная), образующаяся при охлаждении пластины от темпе­ ратуры отверждения до комнатной. Решение не разветвляет­ ся. Фактически зависимость между кривизной и температурой почти линейная. Напомним, что в процессе охлаждения пла­ стина слоистого композита помещается между ограничиваю­ щими опорными плитами. Поэтому деформационное поведе­ ние, показанное на рис. 4—6, на практике не встречается. Однако если слоистую пластину удалить из опорных плит, снова нагреть до температуры отверждения и затем охлаж­ дать, то изменение ее конфигурации произойдет в соответ­ ствии с описанием, данным к рис. 4—6.

Используя численные результаты, имеющиеся для слои­ стых пластин из композитов с укладкой (04/904)г, интересно исследовать предельные значения величин а и b для пластин больших и малых размеров. Для слоистого композита с

текает, что U2= U1 и V2 = —V\. Информацию об искомых предельных значениях дает уравнение (23). Для слоистых пластин малых размеров (Li->-0, L2-*- 0, а 5 = 0, см. урав­ нение (24)) из уравнения (23) следует42

6 П р и к л а д н а я м е х а н и к а

Рис. 6. Зависимость кривизны от температуры для слоистой пластины (50X 50 мм) с укладкой (OJJKU)? из композита типа А.

Для слоистых пластин больших размеров (Li->oo, Lz-^oo) в уравнении (23) доминируют первые два члена и поэтому

Первый член, заключенный в фигурные скобки в уравнении (26а), представляет линейное решение, описываемое форму­ лой (25а), а второй член в фигурных скобках для любого композитного материала немного больше единицы. Поэтому предельное значение ненулевой кривизны для слоистых пла­ стин больших размеров — это асимптотическое значение, не­ сколько превышающее линейный прогноз. Другая кривизна для слоистых пластин больших размеров равна нулю.

Прежде чем исследовать влияние на предсказываемую конфигурацию или конфигурации слоистой пластины таких

параметров, как свойства композита, толщина пластины или последовательность укладки слоев, следует изучить устойчи­ вость предсказываемых конфигураций. Лишь после этого информация, представленная на рис. 4—6, будет действитель­ но полной.

5. Вопросы устойчивости

Чтобы какое-нибудь частное решение системы уравнений (21) определяло состояние устойчивого равновесия, общая потенциальная энергия, соответствующая этому решению, должна быть минимальной. Если общая потенциальная энер­ гия не минимальна, то состояние равновесия является не­ устойчивым и конкретная равновесная конфигурация физи­ чески нереализуема. Устойчивость равновесных конфигура­

следованием определителя из частных производных от функ­ ций fr.

Этот вопрос обсуждался в работе [12]. Конкретная рав­ новесная конфигурация слоистой пластины с определенными свойствами материала, последовательностью укладки, разме­ рами и при определенной температуре устойчива тогда и только тогда, когда эта матрица является положительно оп­ ределенной. (Для изученных здесь случаев определитель мат­ рицы не равен нулю.) Если матрица не является положи­ тельно определенной, то равновесная конфигурация неустой­ чива. Таким образом, следует проверять каждую точку любой ветви на вышеприведенных рисунках.

С помощью указанной методики было установлено, что для слоистых пластин с укладкой (04/904)г (рис. 3—6) лю­ бая равновесная конфигурация седлообразного типа неустой­ чива, если при тех же условиях могут существовать цилинд­ рические конфигурации. Если седлообразная конфигурация единственно возможная, то она устойчива. Все цилиндриче­

6*

(СЦ/ЭО^г. Второе различие состоит в местоположении точки ветвления. Ветвление решений, относящихся к слоистым пла­ стинам из композита с укладкой (Ог/ЭОг) т, имеет место, когда длина стороны пластины достигает 36 мм. Более толстая слоистая пластина должна иметь вдвое большие линейные размеры для того, чтобы седлообразная конфигурация сме­ нилась цилиндрической. Если основные уравнения записать в безразмерной форме, то можно показать, что для слоистых пластин из композитов с укладками (0„/90л)7-, п — 1,2, ..., переход от седлообразной конфигурации к цилиндрической происходит при величине L/h = 72.

Экспериментальные результаты, имеющиеся по некоторым слоистым пластинам, также нанесены на рис. 8. Одна экспе­ риментальная точка соответствует конфигурации пластины размерами 100 X Ю0 мм, а другая является средней по из­ мерениям 11 пластин размерами 150X 150 мм. Разброс дан­ ных по 11 образцам показан вертикальной полосой. Все ис­ пытанные образцы имели цилиндрическую конфигурацию, ко­ торая и предсказывалась 1).

6.3. ВЛИЯНИЕ ОТНОШЕНИЯ ДЛИН СТОРОН СЛОИСТОЙ ПЛАСТИНЫ

До сих пор рассматривались только квадратные пластины, т. е. имеющие равные длины сторон в направлениях осей х\ и х2. Влияние отношения длин сторон пластины на ее конфи­ гурацию иллюстрируется на рис. 9—12 [5]. Отношение L2/L\ определено как отношение длин сторон в направлении осей х2 и Х \. Благодаря наличию симметрии в изменении величин а к b с длиной стороны покажем только изменение величины а. Кроме того, используем длину стороны L\ в направлении оси Х\ в качестве основной переменной.

На рис. 9 показана зависимость кривизны в направле­ нии оси х\ от величины L\ для прямоугольных слоистых пла­ стин из композита типа В с укладкой (02/902)г при L2/L\ = = 0,25. Качественно характеристики этих пластин подобны представленным в предыдущих случаях. Имеется диапазон длин сторон, в котором решение является однозначным, и диапазон, которому соответствуют три решения. Кратные ре­ шения появляются, когда L\ становится больше приблизи­ тельно 36 мм. Все ветви решения, за исключением седлооб­ разной ветви BD, представляют устойчивые равновесные кон­ фигурации. Зависимость кривизны от линейного размера L\1

11 К сожалению, на рисунке отсутствуют экспериментальные точки.—

Прим, перев.

для этой пластины очень похожа на зависимость для квад­ ратной слоистой пластины из композита с укладкой (0 2/ 9 0 2 )т (рис. 8).

Как видно из рис. 10, поведение слоистой пластины значи­ тельно отличается, если отношение сторон изменяется так,

Т

Рис. 10. Зависимость кривизны от длины стороны L, (при L^IL\ = 4) для слоистых пластин с укладкой (Ог/ЭОгК из композита типа В при комнатной температуре.

что длина пластины в направлении оси хг в четыре раза больше, чем в направлении х\. Из рисунка следует, что диа-