Остаточные напряжения.-1
.pdfЗапишем условие равновесия выделенного элемента.
Спроектируем все силы на нормаль:
dQ
(cr + dar}(r + dr')dQdz-orrdQ dz -2aQdrdz— = 0 .
После преобразований, пренебрегая малыми величинами второго порядка, получим
rdar + (а г - а е) dr = О
или
г ^ + ( а г - а е) = 0. |
(3.8) |
dr
Физическая сторона задачи запишется обобщенным законом Гука с добавлением температурных деформаций [12]
е, = ^ г [Ч - и(°в +<*,)]'+ <*Т (г) |
|
ев = ^ [ ° в _ ^ ( ст*+ а г)] + а Г (г) ’’ |
(3’9) |
ег = ^ [ <yz - l l K + CT0)] + a 7,(O |
|
где Е — модуль упругости; /л— коэффициент Пуассона; а —
коэффициент линейного расширения материала цилиндра.
|
а |
=2 G |
|
Зр |
|
------- аТ (г) |
|
|
|
|
|
8' + 1- 2р £ср |
1- 2р V ' |
||
|
CT„ = 2G |
е0+ Зр |
\ |
|
(3.10) |
||
|
- с. |
------- аТ(г) |
|||||
|
|
0 |
I |
0 1- 2р ру |
1—2р |
v ' |
|
|
|
|
/ |
3р |
Л |
------- аТ (г) |
|
|
а . =2 G |
|
|||||
|
|
|
|
8z + l - 2p 8cp |
1- 2р |
V ' |
|
где G = |
|
— модуль сдвига; |
|
|
|||
|
2(1+ р) |
|
|
|
|
|
|
гср |
8 + Б |
+ £ |
|
|
|
|
|
= —— ^— - — средняя величина деформации. |
|||||||
Если считать справедливой гипотезу плоских сечений, то е, = const, т.е. она не зависит от радиуса г.
Определим производную:
dor |
( der | |
Зр |
dscp |
Е |
dT(r) |
— = 2G |
dr |
1—2р |
dr |
-------- а — — . |
|
dr |
1- 2р |
dr |
|||
Учитывая, что
|
decp ^ |
1fder | deQ} |
|
|
||
|
dr |
|
3l dr |
dr |
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
da |
|
И |
Г dzr | deB |
-a |
J T ( r ) |
|
- = 2G |
dr |
l - 2pv dr |
dr |
dr |
||
dr |
1- 2p |
|||||
d°r |
1- p |
der |
+- |
ц |
de{ |
|
E |
dT(r) |
(3.11) |
|||
= 2G |
2(i |
dr |
|
2p |
dr |
-------- a ---- — . |
||||||
d г |
l - |
l - |
1—2|j. |
dr |
|
|||||||
Подставим (ЗЛО) и (3.11) в уравнение (3.8) |
|
|
||||||||||
2Gr it |
\ dz, |
dZn |
|
Er |
|
dT(r) |
|
|
|
(3.12) |
||
(1 -L l)----—+ U.----Я. |
|
|
a — ^ + 2 G ( e r - e e) = 0. |
|||||||||
l - 2p|_ |
’ dr ^ dr J l - 2p |
|
dr |
|
|
|
|
|||||
Из уравнения (3.7) найдем производную |
|
|
||||||||||
|
|
|
d^ _ 1 du |
|
ил |
|
|
|
(3.13) |
|||
|
|
|
dr |
г |
|
dr |
|
г / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим (3.6) и (3.13) в уравнение (3.12) |
|
|
||||||||||
|
2G (l-|i) |
d2u |
du |
|
|
|
|
dT(r) _ |
0. |
|
||
|
dr2 |
dr |
|
J |
-E ar |
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
||||
Подставляя значение G, получим |
|
|
|
|
||||||||
|
d2u 1f du и> |
l + p |
|
*йН(г) |
= 0, |
|
|
|||||
|
dr2 |
r\^dr |
r ) |
|
1—(j. |
|
dr |
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d_ 1d{u-r) |
1+ p |
|
|
= 0. |
|
(3.14) |
|||||
|
dr |
r |
dr |
|
1- p |
схГ (г) |
|
|||||
Проинтегрировав уравнение (3.14) дважды, получаем |
|
|||||||||||
|
|
_ |
D |
1 + р |
a |
с |
^i |
\ , |
|
(3.15) |
||
|
и = Сг+ — + — - |
— |
\rT(r)dr, |
|
||||||||
|
|
|
2 |
1- р |
г |
;М |
V Г |
|
|
|||
где С и D — постоянные интегрирования.
Спроектируем все силы на ось стержня z
J c zdA = 0.
А
Подставим значение <xz согласно (ЗЛО) и учтем, что
dA-2ndr. Тогда
гкГ
N 2 6 |
£z + —- — (е_.+8г +ее) |
--------- а Г (г) |
}2я/гЯг = 0.Пройз- |
||||||||
|
|
|
^ |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
ведя |
преобразования |
и |
учитывая, |
что |
|
ez = const, а |
|||||
G = Е /2(1 + р), получим : |
|
|
|
|
|
|
|
||||
-—— |
— —8 + —— Г* (е |
+ e0) r r f r - a f r* rT(r)dr = 0. |
(3.16) |
||||||||
1 + ц |
2 2 1+ ц >, w |
в/ |
\ |
|
w |
|
|
|
|||
Выразим sr и е, через перемещение и с учетом (ЗЛ5) |
|||||||||||
|
|
du _ D 1 + u |
ч 1 + и а |
|
|
ч |
|||||
|
« |
= - г = с ~— + т ~ а Т (г) |
- |
т |
г |
I |
г |
<317> |
|||
|
r |
ar |
r |
1—(I |
|
1- ц |
|
|
|||
|
|
|
и „ и |
l + |i а гг , v , |
(ЗЛ8) |
||||||
|
|
|
б6= —= С+— +— — |
|
rT(r)dr |
||||||
|
|
|
9 г |
г2 |
1-Ц |
r 2j1 |
V ^ |
|
|
||
Подставим (ЗЛ7) и (3.18) в уравнение (ЗЛ6) |
|
||||||||||
I z H . i L z i e |
_ £> 1+ п _ / ч 1+ п |
|
|||||||||
+ _М_г* С— т+ — - а Т ( г ) ---- - х |
|
||||||||||
1+ ц |
2 г 1+ ц ^ |
г2 1- ц |
|
v ' |
|
1- ц |
|
||||
х - у Г |
rT(r)dr+C—^ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
rL Л |
|
|
rz |
|
|
|
|
|
|
|
|
+l ± £ . £ . j V r ( r ) r f r ] r ^ - a J '‘ r r ( r ) r f r = 0
ИЛИ
h i i . 1+ц
+--^— a jr* 1-Ц rt
с { г£ ~ г? )+
i +ц
rT (r)d r -af* rT(r)dr = 0.
J ч
Откуда |
|
|
e,=2 |
„ |
_ ц _ |
|
(3.19) |
|
|
( M ('i - 'i ) J" l ; |
l - f |
Подставляя er, e, и e, согласно (3.17), (3.19) в формулы
(3.10), получим
Е
1 + ц г2 г А
4-
(> -
Е
a e =
1 - ц
2p a |
f V M r f r |
|
J |
|
(3.20) |
C + I z i t . £ + 4 f ' - ? ' ( r ) < i r + |
|
1 + p |
r2 r2 j 'i |
4- |
^1ла |
2 |
f r* rT (г) r7r—" Т’ (г) |
|
|
ч/ 2 |
\ Jr Г У ' |
У ' |
|
О - W |
- К |
) ' |
|
|
Еа - г^ т Р г Г ( г ) * - 7 ' ( г ) |
|
|||
3 |
3 |
Jf' |
|
J |
Учитывая, что в зависимостях для а 2и а т слагаемое
j^2|ia /( 1- ц ) (г* - г,2 | *rT(г) dr |
является |
постоянной |
величиной, присоединим его к постоянной С. Тогда будем
иметь
сг = г 1-Ц
Е
°9 = 1- ц
£ а
°2= 1
- р
Постоянные
c - b t 4 - |
|
4 f ' r r(r)<fr |
|
|||
1+ ц |
г2 |
|
r 2 jn |
v |
' |
|
С + ^ |
~ |
+ 4 ГrT (г) dr - аТ (г) |
(3.21) |
|||
1+ ц |
г2 |
r2j'> |
w |
v ' |
|
|
Ц 1/ Г ( г ) Л - Г ( г ) h - п
интегрирования определим из граничных
условий. Если к стержню не приложены внешние силы, то при
г = г, стг = 0 и при |
г = гк о г = 0. Подставляя эти |
величины в |
|||||
уравнение (3.21) для стг, получим при г = гх |
|
|
|||||
|
|
с |
1-Ц |
D |
= 0, |
|
(3.22) |
|
1- р |
1+ ц |
г,2 |
|
|
|
|
при г = гк |
|
|
|
|
|
|
|
а . =- |
С - |
1-U D |
а « т / . , |
= 0. |
(3.23) |
||
|
- |
— - - Т — 7 |
1 |
v •’ |
|||
1-ц 1 |
1+ц г 2 г к2 К |
|
|
||||
Из уравнений (3.22) и (3.23) находим С и £>
c = 'P C 7 'C 'i ’W <' r>
гк
_ |
(1+ ц) |
/ ' 2 а Г*rT(r)dr. |
||
D = |
; |
7 |
||
|
( i - ц ) |
(ijf-n 2) |
J,i |
|
Подставляя величины С и £> в формулы (3.20) и (3.15), оп |
||||
ределим напряжения и перемещения |
|
|||
Еа |
2 |
2 |
|
|
—— |
|
"rT(r)dr- f rT(r)dr |
||
г а - ц У |
|
|||
rk - r x ir> |
Jri |
|||
Еа |
|
|
|
|
<*0= (1- й У |
— |
|
* r^’(r)^r+Ji rT{r}dr-r2T{r) |
|
|
|
|||
а . =• Еа |
|
|
|
.(3.24) |
1-Ц rk - rx -"i |
|
|
|
|
а( l - p ) r 2+ (l + p)r,:
и =- |
2 2 |
- \lrTir)d] |
( l - p ) r |
h ~ rx |
|
+ (l + p )J |
rT{r)dr |
|
Если цилиндрический стержень сплошной, то в формулах (3.24) следует положить п=0. Тогда получим
а. = Еа
' 1 - Ц
Еа
сте = 1-Ц
а . =■Еа 1—ц
- J \ l r T {r ) d r ~ \ \ [ r T {r ) dr
/ к '
(3.25)
r T (r ) d r + 7 ? \o rT (r ) d r ' T (r )
■ \ \T { r ) d r ~ T{r)
гк
u = i r \ l r T ^ ) d |
r |
'r T( r ) dl |
Возникающие после интегрирования неопределенности при г 0 можно раскрыть по правилу Лопиталя.
Рис. 3.6. Схема для расчета остаточных напряжений в наплавленном цилиндрическом стержне
Двухслойный цилиндрический стержень. Рассмотрим ци линдрический стержень, на который наплавляется слой иного материала (рис. 3.6, а). Внутренний радиус цилиндрического стержня обозначим г/, внешний г*. Внутренний радиус наплав ленного слоя тоже будет равен гк, а внешний обозначим г2.
При изменении температуры в основном цилиндре и в на плавляемом слое будут возникать напряжения, которые опреде ляются по формулам (3.21). Все, что относится к основному ци линдру, будем обозначать с индексом "1", а к наплавляемому слою — с индексом "2"
Для основного цилиндра, согласно формулам (3.15) и (3.21), можно записать
«,- q r + ii+ illb . |
(,),/, |
Г 1-Ц, Г Jri
Ех
°lr=T^.2 c i( 1+ ^ ) - f ( i - R , ) 1-nTL
E>\ |
a i |
(3.26) |
Hi |
|
|
|
|
|
°1в = |
С ,(1 + ц ,)+ ^ .( 1 - ц ,) |
|
i - w |
|
|
i-Mi |
L |
|
Для наплавляемого слоя соответственно |
||
|
А . 1+ Н2 а2Г |
|
и, = С ,г + — + |
jV r 2( r ) ^ |
|
г1-ц2 г
<*2г = 1-ЦаЧ |
С2(1 + ц2) - % |
1 - ц2) |
|
|
|
— —— - f - j rT2{r)d) |
(3.27) |
|
1- д , |
г2J* 2V ' |
|
„ _ _ А |
D. |
|
а20“ 1 .2 |
C2(l + H2) + - f ( l - ^ 2) |
|
1-Ц 2 |
Г |
|
А <*2 1—Ц2
В связи с тем, что коэффициенты линейного расширения материала основного цилиндра и наплавляемого материала различны, а также в связи с неравномерным распределением
