Остаточные напряжения.-1
.pdfВ таком случае перемещение W] для однородного тела оп ределяется по формуле (4.5), a W2 для двухслойного тела — по формуле (4.4).
Подставив эти величины в формулу (4.9), получим
5к- ( ^ х2+ 5 / ) = Л— a b K --D x 2- - ( K - D ) y 2 ,
а а Ь
1-Щ где ц = —7Г~
Если приравнять соответственно свободные члены и коэф фициенты при х2и у2 в левой и правой частях предыдущего ра венства, получим
Ьк=У]р0ЬК; A = T]P 0\ |
D -, B = m k K - D ) . |
(4.10) |
а |
о |
|
Величины А и В могут быть определены через величины главных кривизн поверхностей контактирующих тел [17]:
А = £ --J(k |
- k у+ (к -к |
У+2 (к -к |
) (к -к |
) cos 2 © |
|
|||
4 |
4 |
V v 11 |
1 2 7 v 21 |
12' |
4 м |
i г ' v 21 |
и ' |
(4.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В= \ |
+ \ |
1J(ki- k 2)2+ (^ -^ r+ 2 |
(ки-к„) (кг-кгг) cos 2 со |
|
||||
где ку — главные кривизны соприкасающихся тел в точке перво начального контакта (для однородного кц и кц, для двухслойно го к21 и к22)\ X = кц + к/2 + к2\ + к22\ со— угол между плоскостя
ми кривизн кц и к2/.
Сумма Л и В согласно (4.11) будет равна
А + В = *
2
Учитывая, что давление в центре эллипса Р0= 3 F ■, мож- 2 nab
но полуоси эллипса а и b и сближение & представить в следую
щем виде: |
|
|
|
|
|
3t|F |
па = з - |
ВЛ |
D |
а = па1 |
где |
1+ - |
||
2 X |
|
А |
|
1 |
Л Л |
|
|
(4.12) |
F, |
где |
пр = |
|
|
|
|
|||
Ро~ Пр« Н |
я |
|
папь |
|
1 -19 |
2 *2 |
|
4 1 |
1 |
5 t = "82 V 4 nX/r |
ГДС |
Щ=К * i + |
* D |
|
В работе [17] представлена таблица, в которой в зависимо
сти от отношения A/В вычислены па, т, пр и п&.
Рассмотрим случаи, наиболее часто встречающиеся в прак
тике.
А. Обкатка двухслойной цилиндрической детали произво
дится шариковым накатником.
Шарик будем считать первым телом с радиусом R/, а ци
линдрическую деталь — вторым телом с внешним радиусом &•
При некоторой силе давления на шарик F возникает площадка контакта, имеющая форму эллипса с большой полуосью, распо ложенной по образующей цилиндра.
Главные кривизны в этом случае будут равны
к |
= к |
- — |
Кг = О, |
Л11 |
Л12 |
D ’ |
К\
аугол о будет иметь произвольную величину. Тогда по формулам (4.11) получим
1_ |
J _ + _ 0 |
R-, |
А = - |
в Л |
В R\ + R-, |
2R, |
2 V*i К. j |
Таким образом, при конкретных величинах радиусов шари ка и детали можно определить А, В и A/В, а размеры контактной
площадки а, Ъи максимальное давление в ее центре ро.
Если известны полуоси эллипса, то ро можно определить по
формуле |
|
|
|
Ро = |
3 F |
(4.13) |
|
2 тшЬ |
|||
|
В. Обкатка двухслойной цилиндрической детали произво
дитсяроликовым накатником.
В этом случае
к\\ |
? ^12 |
^21 |
п ) |
^22 |
R |
К |
R |_ R
угол o)=0, cos2й)=1, суммарная кривизна %=—------
R\'R2
Тогда по формулам (4.11) получим |
|
||
А = О * = 1 |
1 |
1 |
х |
— + — |
2 |
||
2 |
|
*2 |
|
При А=0 относительный эксцентриситет контурного эл липса е=1, что соответствует переходу эллипса в бесконечную полоску (а=оо) шириной 2Ъ. При этом K-D=l.
Таким образом, рассматриваемый случай теоретически предполагает, что в соприкосновении находятся цилиндры не ограниченной длины. Но длина ролика ограничена и равна /. По этому введем понятие о линейной интенсивности q распределе ния нагрузки по длине ролика, т.е.
я = т
Тогда
РОЛ 1L ‘ |
(4.14) |
71О |
|
Представляя ро согласно (4.14) в формулу (4.10) и учиты вая, что В=х/2, е=1 и K-D=l, получим
Ь= 1 3 £ . |
(4.15) |
V* X |
|
Таким образом, в данном случае давление распределено по
полуэллиптическому цилиндру с площадкой контакта в виде по
лосы шириной 2Ь.
4.3. Напряжения при поверхностном деформировании
А. Поверхностное деформирование шариковым накат
ником. Первоначально шарик и цилиндрическая поверхность детали имеют точечный контакт. После приложения к накатнику усилия деталь и шарик деформируются, и точечное касание пе реходит в соприкосновение по площадке, имеющей эллиптиче ский контур. Пространственная эпюра давлений, передаваемых от одного тела к другому, ограничена поверхностью полуэллипсоида (рис. 4.5):
аг + Ьг с1 ' где а = ОА, b = ОВ, с = ОС.
Величина давления р в произвольной точке площадки кон
такта
5
С
3 F
где
Рис. 4.5. Пространственная эпюра давления при контакте шарика с ци линдрической поверхностью: р0— давление в центре эллипсоида; г и / радиус и расстояние до элементарной площадки; dF— нагрузка на
элементарную площадку
Перейдем от декартовых координат к полярным с заменой
х = rsintp и у = rcoscp, тогда
P = Po'h~r2 А2,
Уравнение контурного эллипса в полярной системе коор динат имеет вид г 2А2= 1,
где го— величина полярного радиуса г на контуре площади кон такта.
Усилие деформирования, действующее по элементарной площадке,
Учитывая, что размеры площадки контакта малы по срав нению с размерами шарика и цилиндрической детали, напряже ния можно определять по зависимостям действия сосредоточен ной силы на упругое полупространство [11]:
3Fz3 |
_ F ( 1 - 2 р |
Ъгг2Л |
2:л/5 ’ |
2n{l(l + z) |
Is |
, (4-17)
7>Fz2 г
2л/5
Касательные напряжения т0(, = |
= О, |
т0г = = О. |
||
Перейдем от oz, ста т2Г к напряжениям, действующим по |
||||
площадкам, перпендикулярным осям X, Y, |
|
|||
•2 |
|
2 |
ф |
1 |
ах = c rsm ф + а е cos |
|
|
||
ау = а , cos2 ф + ст0 sin2 ф
^ху = ^ух = ^(стг — CTe)sin2(P ’•
V =T* =T« C0s(p
T» = ' c» = T« sin<p
Очевидно, наиболее опасными будут точки, расположен ные на оси Z. Определим напряжение az от эллипсоидной на
грузки.
Элементарное значение daz от нагрузки dF, согласно (4.16)
и (4.17), будет равно
z |
2 п I5 |
2% |
rdrd(p. |
(r2+z2f 2 |
Чтобы получить величину az , проинтегрируем зависимость
(4.16) по углу <рот 0 до 2я и по радиусу г от 0 до го
> £ , / U F ^ n r d r -_
2 Я 0 о(г +* )
После вычисления интегралов и преобразований получим для точек, лежащих на оси Z,
а = - Ро- |
ab |
(4.18) |
Аналогично определяются величины других напряжений для точек, лежащих на оси Z:
ах |
Ро |
аЪ |
|
|
Z>2+ z 2 |
+ 2 - ( V - K ' ) ~ |
|
2 *2 |
|
1 - |
|
z2 |
|||
|
|
а —о |
|
к' a2и +-t |
а |
||
|
-2р |
а2 |
|
|
z |
а |
ЛЛ |
|
1— ^ |
|
, ,2 |
+ — |
т г - г |
||
|
|
L2 V |
а |
|
|
|
|
|
|
о \ |
-гz а |
|
|
||
|
|
ab |
1+ a2b2 + z2 (2а2 - b2) |
||||
°у=-Ро а2-Ъ2 |
|
b2yja2 + г 2^Ь2 + z 2 |
|||||
|
|
/ ' г |
|
Л |
|
|
|
|
а б 2 |
|
+ 2р 1-, 4 ^ 4 + % ' - ^ ' ) |
||||
|
|
|
|
|
а" + z а |
||
т„,ху |
= т,ух |
= тZX = О |
|
|
|
|
|
К-=К(е, у ) = |- п — 2
e_sin ф
где
L* = Д е, \|/) = j -y/l - е2sin2 ф dq>
(4.19)
(4.20)
К , L — эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно, в которых
\(/ - arcctg z
а
Таким образом, напряжения ог, ох и ау, действующие в точ ках на оси Z по площадкам, перпендикулярным к осям Z, X и Y, являются главными напряжениями.
Для удобства вычислений az, ох и ау запишем в следующем
виде:
1
(4.21)
а |
5 ' |
- |
) |
а |
|
о |
|
После подсчета величин главных напряжений для конкрет ных условий их обозначим о/ > а2> аз-