Остаточные напряжения.-1
.pdf5. При Г = Гк Uj~U2
с л З + А + ^ г - * |
(,-)<*■ = СЛ 3 . |
(3.32) |
{ Ч |
||
Решая совместно систему уравнений (3.28)...(3.32), опре |
||
делим С/, D), С2, D2 и р. |
|
|
Из уравнения (3.28) |
|
|
D = * + |
г2С |
(3.33) |
, |
' i 4 - |
|
1- h |
|
|
Подставим (3.33) в уравнение (3.29)
Ci(l+Vh)-(l +m)-\ci
откуда
^ _ |
1-Ц 1 |
|
(3.34) |
|
^1 |
2 |
2 |
El J |
|
|
** - Г1 |
_1-Щ 'i |
||
Подставим (3.34) в формулу (3.33)
_ ( 1+Р,)г,2 |
[ krT(r)dr |
Г' р |
\ |
(3.35) |
|
М — |
2 2 |
l - p jn Л ) |
E^ j |
|
|
|
Гк~Г\ |
|
|
|
|
Из уравнения (3.31)
п |
O + P2V2-C2- a , i i i f l f • rp (Adr |
|
и г ~ |
, |
2 1- ц 2Jr* Л ) |
|
! - Р 2 |
|
с г(1+ »г) - Щ & с 2+ M |
± b l j ' ! гГг (r)d r = - p xs £ . |
||||
Гк |
|
|
Гк |
* |
^2 |
Откуда |
|
|
|
|
|
_ |
^ |
\ |
4 r ) i r S-L.p |
(3.37) |
|
Г2 ~П |
|
-Р2 « |
- 2 |
|
|
Подставляя (3.37) и формулу (3.36), получим |
|
||||
_(1+ Ц2>* |
|
0,2 f 2rT2(r)dr+— p .(3.38) |
|||
U 2 ~ |
2 |
. 2 |
|
||
|
Г2 |
~ Гк |
|
Л > |
Ег \ |
Подставим величины постоянных интегрирования в урав нение (3.32)
г2- г 2 |
|
|
|
|
|
Гк |
г\ |
|
|
|
|
(1+ h)>i2 |
|
+ |
|
|
|
iK-r?)rk |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
.Й 1 й Ь . J'vj; , r)dr=f i l b k f _ Ь _ \ \ т |
г ( r ) d r Л |
р |
|||
( l - p ^ J n Л ) |
r2- r 2 l - p j ' * |
2V ' |
Е / |
||
+- :(1+ ^ ) |
|
|
|
|
|
Г2 ~h |
|
|
|
|
|
|
Из последнего уравнения |
|
|
|
|
|
2a, |
|
2a , |
|
|
|
\jT ,{r)dr - |
|
|
|
|
p = |
--------- ---------— |
|
|
|
|
|
Q - H i K + O + h K . Q - ^ K + O + f e K |
|
|||
Ег{г}-г2к)
равновесия на ось z
CTu dA\+ \AGiz dA2 =0 |
(3.40) |
и уравнение совместности деформаций
(3.41) В уравнении (3.40) перейдем к интегрированию по радиу
су, приняв dA = 2кгdr
2я | * ol2rdr + 2я | 2o2zrdr = 0,
или
\'(5\zrdr + \^a2irdr = Q. |
(3.42) |
Согласно обобщенному закону Гука (3.10)
С |
|
-V. |
Л |
% |
°i* = 2G, |
|
Зц, |
|
|
|
еи + 1- 2Ц] |
'\ср |
1- 2р, |
|
V |
1 |
J |
|
|
CT2z —2^2 |
s7>+ * |
'2ср |
Е, -а2Т2(г). |
|
|
|
1- 2ц2 |
|
1- 2р |
С учетом G и &ср последние уравнения можно переписать
следующим образом:
a,z = (i + h ) ( l _ 2h ) P l " h ) 8'г + * |
+ е!е) " I 1+ ) а .Г. (г)] |
|
CT2z = (1+ ц |
“ Ц2) ^ + М |
е2, + е20И 1+ ^ ) *гТ2(0 ] |
(l + m K l - 2m) I,' К 1‘ ) 8'=+ |
+ Ь |
|
- ( l + M,)o,Ii(r)]r*-+(1+ (iiJ 1_ 2 |ij)x |
|
|
xf К 1 - \h) e2z + Ш (82г+ е20) - (! - |
^ 2) а 2Т2 {r)]rdr = 0. |
(3.43) |
"гк |
|
|
Учитывая, что е]г и е2г не зависят от радиуса г, получим
2(1+щ)(1-2щ) " (1+Ц|)(1-2ц,)1Л ■'
^<*1 £ ‘ гт;(г ) * + |
|
£2Z+ |
|
|
1- 2ц, |
2(1+Цг)(1-2ц2) |
|
|
|
|
|
Е,а |
|
|
+ (1+ цОО - 2ц2) D * * + *» >Ыг |
^ |
W <»• |
||
Если использовать уравнение совместности деформаций |
||||
(3.41), то из последнего уравнения найдем |
|
|||
1 |
|
|
а . |
|
8.z = 82z = В. +Б, |
^ •2Xр |
r T M d r + ^ |
2№ц2 |
( r ) d r - |
( u ^ U |
j > |
' ^ r d r - |
|
|
' (1+ ц2) (1- 2ц ,) (е='+ Е« ) ^ ГЬ
£ i ( 1-*xi)fc2-*i2) . в |
_ E7 ^ - ^ i){ri ~rk) |
(3.45) |
|||||
2(l + h ) ( l - 2p , ) ’ |
2_ |
2(l + p 2) ( l - 2p2) |
|||||
|
|||||||
Учитывая |
(3.17) и (3.18), |
найдем сумму деформаций |
|||||
ег + е0для основного цилиндра и для наплавляемого слоя. |
|
||||||
|
е1г + е1в — |
+ 1- щ |
1ctjZJ (г) |
(3.46) |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
Б2г + Б2в = ^ 2 |
■*"■] |
|
|
“ а 2^2 ( Г ) |
|
|
|
|
1-Ц , |
|
||||
Подставим (3.46) в (3.44) |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
£lz - £ 2Z |
|
|
|
|
|
|
|
в х+ в 2 |
|
|
|
|
|
||
|
Е2^2 (Г2 ~ Гк) |
|
|
(3.47) |
|||
(l + h ) ( l - 2h ) |
с , -(1+ ц2)( 1- 2р2) |
|
С.]- |
||||
|
|
||||||
Когда по формулам (3.34) и (3.37) определены постоянные |
|||||||
интегрирования С/ и С^, по формуле (3.47) можно определить £iz и е2г.
Подставим (3.46) в формулы (3.43)
^ = (1+ ц,к 1- 2ц1) [(1_Ц' )£'' + 2Ц|С|] “ 1£- ц, Т'{Г)
= (i+ n 2) t i - 2^ ) K ' ' |
+ 2 ^ Сг ] |
7-2'W |
После того, как определены С/, С?, еи и е2г, формулы (3.48) позволяют вычислить напряжения, возникающие в ос новном цилиндре и в наплавляемом слое в сечениях, перпенди кулярных оси стержня, т.е. напряжения a z.
Таким образом, при известном распределении температур в основном цилиндре Т{(V) и в наплавляемом слое Т2(г) по
формуле (3.39) можно определить давление р, а зная р, по фор
мулам (3.34...3.38)— постоянные интегрирования Си £>/, и
Д?. Затем по формуле (3.47) можно определить б1г и е2г и, на конец, по формулам (3.26), (3.27) и (3.48)— напряжения в ос новном цилиндре и наплавляемом слое.
Если основной цилиндр сплошной, то в формулах следует положить Г/ =0.
Тогда получим
. t f ( l - h )
Р =
1-Щ |
О - И а К + Р + ИаЬ2 |
V? |
Г ( Л ~2\ |
2(1 + ц,)(1-2ц,)’ 2 2(1 + ц2)(1-2цг) ’
|
|
. _ |
1-Ц 2 ( |
062 |
|
|
|
2 |
Л |
|
|||
|
|
2 ~ л |
л |
|
|
[ 2гГ2 (г) dr + — /?* |
|
||||||
|
|
|
1 -ц , |
|
2W |
2 |
J |
|
|||||
|
|
|
|
h - h |
|
|
|
||||||
|
|
|
( i + |
^ h |
2 |
|
|
|
|
2 |
Л |
||
|
|
и г ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
2 |
|
T |
^ |
£ |
rT^ d r + T |
/ ; |
|
||
|
|
|
|
>2 |
“ 'i |
|
|
||||||
Б1г —е2г —' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B ; + B ; L^ 7 Г ^ ( r ) d r + ^ r \ l r I i W 4 - |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
^ 2^2(Г2 |
) |
, |
|
||
|
|
(l + h |
) ( l - 2 h |
)< |
" |
(1 + ц2)(1 -2 ц2) |
|
|
|||||
Определяем напряжения для случая, когда основной ци |
|||||||||||||
линдр сплошной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для основного цилиндра |
|
|
|
|
|
|
|||||||
° lr |
= |
1—Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (3.49) |
СТ10 = ----L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
o;z = --------- ^ ------- -Г (i - |
ix,) e;z+2ц ,с; 1 - ^ - т |
х(г) |
|||||||||||
,г (l + h ) ( l - 2 h ) LV |
|
} |
|
J 1-Щ а ' |
|||||||||
для наплавляемого слоя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
£ 2а 2 |
|
|
СТ2г = |
1 - ц 2 |
Са (1 + Ра)—Z2"(1 —Рг) |
|
|
|
||||||||
_ |
2 |
с ; ( |
|
|
|
д* |
|
ц2) |
^2а 2 |
|
|
|
|
а 20 ~ |
|
1+ ц2) + ^ ( 1- |
1-И 2- |
Г> ('')“ Р |
' 1 / 2! (Г) ‘4’ |
||||||||
1-^2 L |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
[(1- ц 2) 4 + 2цгс ; ] - ^ . г г(--).
( l - m X l - 21*,)
Остаточные напряжения. В процессе наплавки на основной цилиндр подается расплавленный металл при некоторой темпера туре Т. Частицы расплавленного материала при соприкосновении с поверхностью основного цилиндра очень быстро остывают и, как показано в работах [8, 9], к моменту адгезии наплавляемого металла с основным цилиндром температура его равна 72(Т2=150...250°С). Следовательно, на внешней поверхности ос новного цилиндра при r-Гк необходимо принять расчетную тем пературу Т2-С уменьшением радиуса г она будет резко падать, так как продолжительность наплавки небольшая и температура не ус певает достигнуть больших величин на достаточной глубине. Ес ли записать уравнение теплопроводности для цилиндра, то, решив его, можно найти распределение температуры по радиусу.
Проведенные нами эксперименты показали, что с доста точной точностью распределение температуры по радиусу можно записать зависимостью [13]
„ \" |
|
т(г)=т,+т; - |
(3.50) |
I П |
|
\'k j |
|
где То— температура в центре цилиндра (г=0) в предположении, что цилиндр сплошной; п— положительное число, Т2 =Т2—Т0.
Чем больше п, тем больше перепад температуры.
Так как толщина наплавляемого слоя небольшая, то темпе ратуру слоя можно считать постоянной по толщине и равной Гг.
В основном цилиндре при наплавке будут возникать на пряжения от неравномерного распределения температуры. Эти напряжения будем называть напряжениями наплавки и обозна чать с индексом "н". Ввиду того, что температура Гг небольшая, упругие константы основного цилиндра можно считать посто янными, не зависящими от температуры.
Напряжения наплавки в основном цилиндре определяют по формулам (3.24)
|
|
Т * г 2 |
у + 2 |
( |
г, |
У+2 |
|
|
||
|
|
г |
|
|
||||||
|
|
12 Гк |
|
' |
|
|
|
|||
|
|
п+ 2 |
\ rkJ |
KrkJ |
|
|
|
|||
стш(«) = |
Ei<h |
|
|
|
т +т* Г г \ п |
dr + |
||||
|
О "Mi У 2 |
|
|
|
|
|
\ r kj |
|
||
' |
( |
Г |
\ я" |
|
|
|
( |
Г |
\ п |
|
тй+т; |
|
dr- г 2 Г0+Г2‘ |
> |
|
||||||
i |
I г2-г? |
r i - r ' |
|
Г г}< |
1 - |
|
|
||
а - ш > 2 W -r ? |
* |
- ' - т ,+ ^ |
|
|
|||||
|
|
|
п + 2 |
|
|
|
|||
|
|
Т’г2 |
( |
г \ п+2 |
у |
>п+2 ~ |
|
г г \ п |
|
|
|
1 2 Гк |
|
|
- |
а |
- г 2 |
|
> |
4 ( ^ !)+-П +2 J k ) |
|
т 0 + т ; |
|||||||
S k ; |
|
K rk J |
|||||||
* ( \ |
^l^'i |
I ^ |
|
гг* |
|
( „ |
\ п |
|
|
|
|
Г |
|
<ir- |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
т 0 + т ; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 г |
к ) |
|
|
|
r r |
v |
_ |
Еха, |
I |
2 |
|
|
|
Г0+Г2* |
|
|
1- ш U 2->i2 |
|
|
|
|||
|
\ r k J |
|
|
|
|
||||
r v 2 |
г \ п+2 |
4 { r l - r 2). 1 2 Гк |
1 - |
п + 2 |
К Гк ; |
|
|
п |
( |
Л |
(3.51) |
— т п + т : \ |
- |
|
1 |
|
|
1— |
|
|
В дальнейшем цилиндрическая основа вместе с наплавлен ным слоем остывает. Ввиду различия коэффициентов линейного расширения материала основного цилиндра и наплавляемого слоя и неравномерного распределения температуры по радиусу при остывании появляются напряжения как в основном цилинд ре, так и в наплавленном слое. Эти напряжения будем называть
напряжениями остывания и обозначать с индексом "О" |
|
||||
|
Для определения напряжений остывания в основном цилинд |
||||
ре |
необходимо |
в |
зависимости |
(3.26) |
подставить |
|
т 0 + т ; |
г \ п |
, а для определения напряжений остывания |
||
|
|
||||
'кУ
в наплавленном слое подставить в зависимости (3.27) Т2(г) = -Т2.
юо