но квантовать с различными приращениями уровней, т. е. с переменным шагом квантования qi, q2* ..., qn- Так, на рис. 2.2,г показана нелинейная зависимость тока / от напряжения U. Если при измерении желательно получить равномерную шкалу напряжений, то отсчет по току надо вести с переменным шагом q, уменьшая его с ростом амплитуды. Могут бить и другие варианты изменения шага квантования. Так, например, если необходимо получить более точные значения в какой-либо части квантуемой функции, то в этом диапазоне шаг квантования следует уменьшить.

Восстановление функции, квантованной но уровню. Квантование по уровню осуществляется для последующей передачи с помощью дискретных сигналов.

На приемной стороне принятая квантованная функция в своем первоначальном («непрерывном») виде обычно не восстанавливается, хотя в принципе это возможно путем ступенчатой, линейной или более сложной интерполяции. О различных способах интерполяции будет сказано позже.

§2.3. Квантование по времени (дискретизация)

Если замена непрерывной функции ее отдельными значениями производится в определенные моменты времени, то этот процесс называется квантованием по времени, или дискретизацией. На рис. 2.3,а показано, что ось времени делится на интервалы, отстоящие друг от друга на один и тот же шаг квантования At. Далее проводят вертикальные линии до пересечения с квантуемой функцией. В точках 1,2, 3, ..., 9 и определяются значения функции начиная с Хо Это значит, что в интервале Т непрерывная функция Х(т) будет передаваться не бесконечным рядом значений, а всего лишь десятью значениями. Нахождением точек, определяющих значение непрерывной функции в дискретные моменты времени, собственно процесс квантования по времени и заканчивается. В том случае, если необходимо получить квантованную функцию, осуществляют один из видов интерполяции, нанример ступенчатую, при которой из точек О 1, 2,..., 9 проводят горизонтальные линии до пересечения с вертикальными линиями, т. е. липни 0—Г, 1—2 'и т. д. Далее точки Г —1 2'—2, 3'—3, ... соединяют и получают ломаную квантованную функцию /.'(!). О функции 2"О) (пунктир на рисунке) будет сказано в § 13.8.

Очевидно, чем больше дискретных значении передается за время Т, т. е. чем меньше шаг квантования Ар тем с большей точностью будет восстановлена на приемной стороне функция Х'(т). Однако это потребует расширения полосы пропускания канала связи. В то же время при чрезмерно большом шаге квантования воспроизводимая функция будет сильно искажена.

Шаг квантования можно определить из теоремы Котельникова, смысл которой заключается в следующем: любая непрерывная функция, спектр которой ограничен частотой Fma4, может быть полностью восстановлена по ее дискретным значениям, взятым через интервалы времени

Однако имеется ряд затруднений для практического применения этой теоремы, связанных с тем, что все сообщения, передаваемые в телеме­

ности Лз на одном участке нарастания функции X(t) достигается за период \р на другом — за период АЕ, а на некоторых участках она оказывается меньше заданной (например, на участке 2'—3'). Это зависит от скорости нарастания функции X' = dX/dt. Очевидно, следует выбрать такой шаг квантования, который соответствует максимальной скорости нарастания функции Из рис. 2.3, а следует, что если бы на участке 5—б имелся всплеск функции (нунктир), то выбранный шаг квантования At оказался бы излишне большим и этот всплеск не был бы восстановлен, т. е. следовало бы взять шагAt'.

Из рис. 2.3, б следует, что

(2.9)

Если считать, что максимальная скорость нарастания сохраняется во всем диапазоне изменения сообщения от нуля до максимального значения, то минимальное время изменения сообщения во всем диапазоне

(2.10)

Величина абсолютной погрешности А показана на рис. 2.3,6. Здесь, как и при квантовании по уровню, в расчетах следует учитывать или + Аз, или —Аз, т. е. в среднем А/2. Это значит,

Формула выведена с учетом восстановления функции ступенчатой интерполяцией. Она аналогична формуле (2.5) с той лишь разницей, что Дпах заменена Т, так как функция квантуется по времени.

Нрнмер 2.2. Найти At при квантовании синусоидального напряжения частотой F = 50 Гц. Погрешность при восстановлении функции 6=1 %. Согласно (2.7), At = 1/(2-50-10"3) = 10 мс, т. е. в идеальном случае каждую полуволну синусоиды можно передавать лишь одним значением [период Т= 1/(50-10'3) = 20 мс]. Если согласно (2.8) для линейной интерполяции тщ = 0,75/л/0,01 =7,5, то для ступенчатой интерполяции Т|ст = 25 и AtCT= 1/(25-2-50-10"3) = 0,4 мс. Тот же результат получается и из (2.11). Действительно, At = (2-Т20)/(100-0,4) = 0,4 мс.

Таким образом, при заданной точности восстановления каждый полупериод синусоиды следует передавать не одним значением, а примерно 25 при ступенчатой интерполяции и 7,5 при линейной. Заметим: расчет выполнен из условия, что синусоидальное напряжение передается в течение определенного промежутка времени с конечным числом периодов.

Восстановление функции, квантованной но времени. Восстановить квантованную по времени функцию на приемной стороне можно с помощью ступенчатой или линейной интерполяции либо методом Котельникова. Чаше всего применяют ступенчатую интерполяцию и наиболее редко — фильтрацию по Котельникову. Ступенчатая интерполяция на рис. 2.3,а выполнена запоминающими устройствами, сохраняющими значения функции 7,(t;) до появления следующего значения /.Д ])

Погрешность ступенчатой интерполяции изображена на рис. 2.3,6. Под погрешностью интерполяции понимают разность 5г между мгновенными значениями восстановленного и исходного сигналов, взятых в одни и те

При восстановлении квантованной функции по Котельникову нужно знать все дискретные точки как предыдущие, так и последующие, или во всяком случае для практической реализации должно быть известно несколько точек до и после интервала, в котором происходит интерполяция. Знание последующих точек возможно лишь в системах, допускающих запаздывание в передаче информации. Большинство телемеха­ нических систем работает в реальном масштабе времени и не допускает запаздывания. В таких системах приходится использовать ступенчатую интерполяцию, так как для линейной интерполяции нужно знать наперед хотя бы одну точку, что требует запаздывания. Действительно, если, например, известно значение функции в момент времени А (точка 5 на рис. 2.3,а), то при ступенчатой интерполяции заранее известно, что через1шаг Аt значение функции будет тем же (точка 6 ). Каким оно будет при линейной интерполяции через шаг At, неизвестно: значение то ли возрастет (точка б), то ли уменьшится (точка 62).

Иногда восстановление функции, квантованной по времени, с шагом, подсчитанным по теореме Котельникова, производят с помощью фильтра нижних частот, который выделяет постоянную и низкочастотные составляющие, соответствующие спектру передаваемой функции. Однако при этом возникают погрешности из-за того, что амплитудно-частотная характеристика реального фильтра отличается от характеристики идеального фильтра. Восстановление с помощью фильтра целесообразно, если спектр передаваемой функции сосредоточен в области нуля по оси частот.

§ 2.4. Квантование по уровню и по времени

При квантовании по уровню переход с одного дискретного уровня на другой происходит в различные моменты времени. Это значит, что передаваемые значения могут следовать друг за другом с переменным шагом At. При квантовании по времени найденные значения непрерывной функции в дискретные моменты времени чередуются через строго определенный интервал времени At (шаг квантования), но имеют различную амплитуду (уровень).

В некоторых случаях квантование осуществляется с заданными шагами как по времени, так и по уровню. На рис. 2.4,а показано, как производится квантование по уровню и по времени функции X(t). Сначала проводят линии, параллельные оси X, с шагом At, затем уровни с шагом q, параллельные оси времени. Квантование осуществляют заменой через шаг At значений функции Xt ближайшим дискретным уровнем. Этот уровень и является тем дискретным значением, которое заменяет значение функции в данный дискретный момент времени. Таким образом, как и в предыдущих случаях, квантование сводится к нахождению точек функции