1 о

«Расстояние» между функциями x(t) uy(t) может быть также опре­ делено с помощью так называемой абсолютной ошибки

Rг= К О - И О7Н

Другим способом является «частотно-взвешенный эффективный кри­ терий» [4]. Идея этого критерия состоит в том, чтобы придавать различным частотным компонентам разности х и у разные веса. Это эквивалентно пропусканию разности x(t)- y(t) через фильтр с определенной переходной функцией h(t); выходной сигнал такого фильтра выразится как

мощность сигнала на выходе рассматриваемого гипотетического фильтра:

Введенныевыше меры различия отправляемого и принимаемого сигналов могут служить основой для характеристики помехоустой­ чивости систем. Например, система может считаться достаточно по­ мехоустойчивой, если «расстояние» между отправленным сигналом и сигналом на выходе системы не превышает заданной величины.

Вкачестве меры помехоустойчивости могут быть приняты и другие числовые характеристики, например, логарифм обратной величины среднеквадратичной ошибки в непрерывном случае, минус логарифм вероятности ошибки в дискретном случае, раз­ личным способом введенные понятия эквивалентного отношения сигнала к шуму и пр.

11.3.Способы повышения помехоустойчивости информационных систем

Внастоящее время известно большое число способов повышения помехоустойчивости систем.

Простым и часто применяемым способом повышения помехоус­ тойчивости передачи является увеличение отношения сигнал/помеха за счет увеличения мощности передатчика. Однако этот метод, не­ смотря на свою простоту может оказаться экономически невыгодным, так как связан с существенным ростом сложности и стоймости обору­ дования. Помимо того, увеличение мощности передачи сопровождает­ ся усилением мешающего действия данного канала на другие.

Важным способом повышения помехоустойчивости передачи не­ прерывных сигналов является рациональный выбор вида модуляции сигналов. Применяя виды модуляции, обеспечивающие значительное расширение полосы частот сигнала, можно добиться существенного повышения помехоустойчивости передачи.

Радикальным способом повышения помехоустойчивости переда­ чи дискретных сигналов является использование специальных поме­ хоустойчивых кодов. Такие коды позволяют обнаруживать и устранять искажения в кодовых комбинациях за счет введения в код дополни­ тельных, избыточных символов. Кодирование сопровождается увели­ чением времени передачи или частоты передачи символов кода. Это приводит к расширению спектра сигнала.

Ниже рассматриваются основные положения теории помехоус­ тойчивого кодирования.

Разновидности помехоустойчивых кодов. Высокие требования к достоверности передачи, обработки и хранения информации в сов­ ременных телекоммуникационных системах диктуют необходимость такого кодирования информации, которое обеспечивало бы возмож­ ность обнаружения и исправления ошибки.

Кодирование должно осуществляться так, чтобы сигнал, соответс­ твующий принятой последовательности символов, после воздействия на него предполагаемой в канале помехи оставался ближе к сигналу, соответствующему конкретной переданной последовательности сим­ волов, чем к сигналам, соответствующим другим возможным после­ довательностям. (Степень близости обычно определяется по числу разрядов, в которых последовательности отличаются друг от друга.)

Это достигается ценой введения при кодировании избыточности, ко­ торая позволяет так выбрать передаваемые последовательности символов, чтобы они удовлетворяли дополнительным условиям, проверка которых на приемной стороне дает возможность обнаружить и исправить ошибки.

Коды, обладающие таким свойством, называют помехоустойчи­ выми. Они используются как для исправления ошибок (корректирую­ щие коды), так и для их обнаружения.

У подавляющего большинства существующих в настоящее время помехоустойчивых кодов указанные условия являются следствием их ал­ гебраической структуры. В связи с этим их называют алгебраическими ко­ дами. (В отличие, например, от кодов Вагнера, корректирующее действие которых базируется на оценке вероятности искажения каждого символа.)

Алгебраические коды можно подразделить на два больших клас­ са: блоковые и непрерывные.

В случае блоковых кодов процедура кодирования заключается в сопоставлении каждой букве сообщения (или последовательности из к символов, соответствующей этой букве) блока из п символов. В операциях по преобразованию принимают участие только указан­ ные к символов, и выходная последовательность не зависит от других символов в передаваемом сообщении.

Блоковый код называют равномерным, если п остается постоян­ ным для всех букв сообщения.

Различают разделимые и неразделимые блоковые коды. При коди­ ровании разделимыми кодами выходные последовательности состоят из символов, роль которых может быть отчетливо разграничена. Это информационные символы, совпадающие с символами последова­ тельности, поступающей на вход кодера канала, и избыточные (прове­ рочные) символы, вводимые в исходную последовательность кодером канала и служащие для обнаружения и исправления ошибок.

При кодировании неразделимыми кодами разделить символы выход­ ной последовательности на информационные и проверочные невозможно.

Непрерывными (древовидными) называют такие коды, в которых введение избыточных символов в кодируемую последовательность информационных символов осуществляется непрерывно, без разделе­ ния ее на независимые блоки. Непрерывные коды также могут быть разделимыми и неразделимыми.

Наиболее простыми в отношении технической реализации кодами этого класса являются сверточные (рекуррентные) коды.

П ринципы помехоустойчивого кодирования блоками конечной длины . Пусть некоторая последовательность элементарных символов, содержащая п разрядов, представляет кодовое слово. Если в любом из

разрядов кодового слова возможное число различных элементарных символов составляет т, можно построить код, состоящий из т слов. В том случае, когда все возможные кодовые слова используются для пере­ дачи сообщений от источника, код называется простым (примитивным) или кодом без избыточности. Такой код испол ьзовать для кодирования в канале с помехами нецелесообразно. Для придания коду корректирую­ щих свойств в него необходимо ввести избыточность, т.е. использовать

относительной скоростью кода. Число т в теории кодирования называ­ ют основанием кода. Простейшими и в то же время наиболее широко используемыми на практике являются двоичные коды, у которых т - 2.

Возможность использования в системе связи кодовых блоков, име­ ющих одинаковую длительность, существенно упрощает технику пе­ редачи дискретных сообщений. Множество всех возможных кодовых блоков длины п можно представить векторами линейного пространс­ тва размерности тп, если под операцией сложения понимать поразряд­ ное сложение по модулю т. В частности, при т = 2, когда символами кода являются 0 и 1, в линейном пространстве можно ввести широко используемое в теории кодирования понятие - расстояние Хемминга между кодовыми блоками, под которым понимается поразрядная разность (или сумма) по модулю 2 между двумя любыми векторами пространства 2". Расстояние Хемминга оказывается равным числу раз­ рядов, в которых символы этих кодовых блоков не совпадают.

Расстояние Хемминга между кодовыми блоками позволяет ввести еще один важный параметр в теории кодирования.

Определение. Наименьшее из расстояний Хемминга между лю­ быми парами используемых кодовых слов называется кодовым рас­ стоянием для кода К и обозначается через d(K).

Рассмотрим принципы помехоустойчивого кодирования на основе блочных равномерных кодов, полагая, что в системе связи принятие ре­ шения о переданном сообщении осуществляется по результатам распоз­ навания каждого кодового слова из переданной последовательности. При использовании кода без избыточности (примитивного кода, для которого d{K) —1) появление ошибки в любом из принятых слов останется неза­

меченным, поскольку трансформация символа хотя бы в одном разряде приводит к используемому кодовому слову. Возможность фиксации ошиб­ ки в кодовом слове появляется только в том случае, когда в процессе ко­ дирования вводится определенная избыточность. Как уже отмечалось, в этом случае из возможного N = т" числа кодовых блоков для передачи сообщений от источника используются лишь часть М < N кодовых слов. Будем называть используемые для кодирования блоки разрешенными, а остальные (N - M ) блоков - запрещенными. В отсутствие помех на выходе канала могут появиться только разрешенные блоки. При передаче по кана­ лу с помехами часть кодовых символов может быть принята с ошибками, при этом чаще всего принятый кодовый блок оказывается запрещенным, что свидетельствует о наличии ошибки при передаче.

Существует ненулевая вероятность того, что комбинация ошибочно принятых символов преобразует переданное слово в другое разрешенное и наличие ошибки останется незамеченным. Разумеется, при разработ­ ке помехоустойчивого кода стремятся к тому, чтобы вероятность такого события оказалась весьма малой. При декодировании с исправлением ошибок принятые запрещенные кодовые блоки преобразуются декодером в разрешенные по определенным правилам, установленным для данной системы. Эти правила зависят от свойств канала связи и определяются в соответствии с выбранным статистическим критерием. В частности, та­ ковым может быть правило исправления ошибочно принятого блока в на­ иболее вероятный разрешенный. Конечно, может оказаться, что наиболее вероятный кодовый блок не соответствует переданному слову. Тем не ме­ нее, при удачно разработанном коде достаточно большой избыточности может быть обеспечена высокая вероятность исправления ошибки.

При декодировании с исправлением ошибок можно воспользоваться

-»

определением кода как множества М пар, состоящих из кодовых слов Ь,

и соответствующих им групп Bi, запрещенных блоков. Таким образом, все множество N последовательностей конечной длины п разбивается на Мнепересекающихся подмножеств. Если принятый кодовый блок прина­ длежит подмножеству Bj, принимается решение, что передавалось кодо-

вое слово 6,. Очевидно, что при декодировании по критерию максимума правильной вероятности в подмножество Bj, помимо слова bj, необходимо включить все те запрещенные кодовые блоки, при приеме которых наибо­ лее вероятным является разрешенное кодовое слово bj.

Выбор наилучшего правила, по которому осуществляется декоди­ рование с исправлением ошибки, зависит от специфических свойств

канала передачи. Действительно, границы между подмножествами Я ,, при которых обеспечивается максимум правильной вероятности ис­ правления искаженного блока, могут существенным образом зависеть от статистических характеристик канала передачи. Рассмотрим проце­ дуру выбора правила исправления ошибок на примере симметричного канала без памяти. Допустим, что в результате прохождения по такому

каналу кодового слова Ъ, из-за воздействия помех в q разрядах про­ изошла ошибка, в результате чего на выходе канала был принят блок

bj• Пусть d(i,j) есть расстояние Хемминга между блоками bi и bj\ так что q = d(i,j). Тогда вероятность перехода на выходе канала слова Ы в

блок bj

( 11.8)

Отсюда следует, что в двоичном симметричном канале без памяти при заданных п и т вероятность p (b j |й(.^ зависит только от рассто­ яния d(i,j)- Отметим, что при вероятности ошибочного приема одно­ го разряда р < 0,5 значение вероятности (11.8) монотонно убывает с увеличением расстояния d(i,j). Следовательно, вероятность приема блока тем меньше, чем больше его расстояние от переданного слова

. Если в качестве правила принятия решения о переданном слове при декодировании с исправлением ошибки в симметричном канале без памяти выбрать правило декодирования по максимуму вероятности

р ^Ь. |5.^, то в таком канале ошибочный блок bj следует декодировать как разрешенное кодовое слово bt , которое находится на наименьшем расстоянии от />у. . Декодирование по наименьшему расстоянию (на­ зываемое также алгоритмом Хемминга) при равновероятной передаче всех кодовых слов является оптимальным для симметричного канала без памяти.

При таком алгоритме декодирования исправляющая способность кода характеризуется следующей теоремой.

Код К при декодировании по наименьшему расстоянию исправля­ ет любые q и менее ошибок в каждом кодовом слове тогда и только тогда, когда кодовое расстояние d(K) >2q + 1.

Покажем, что действительно переданное слово Л, при d(K) > 2q+l по расстоянию оказывается ближе к принятому блоку b j, чем любое другое кодовое слово. Допустим обратное, т.е. существует кодовое

слово Ьк , для которого d(k,j) < d(i,j). Тогда в соответствии с теоре­ мой треугольника справедливо следующее неравенство: d(k, i) < d(k,j) + d(i,j), или d(k,i) < 2d(i,j). Однако по условиям теоремы d(i,j) < q < d(K)/2 и, следовательно, d(k,i) < d(K), что противоречит определению кодового расстояния.

Обратно, пусть кодовое расстояние d(K) = d <2q и b, , b} - такие

кодовые слова, что d(i,j) = d. Тогда, заменив в Ы q разрядов на соот­ ветствующие разряды из bj, получим вектор Ьк , для которого d(i,k) = q, d(k,j) = d - q < q . Отсюда следует, что d{i, к) = q, d(k,j) < q. Следо­

вательно, при декодировании слово bk может быть отождествлено со

словом bj и ошибка не будет исправлена.

Отметим большую значимость кодового расстояния d(K) как ос­ новного показателя исправляющих возможностей кода. Поскольку вероятность появления каких-либо ошибок кратности q определяется биномиальным законом

оказываются справедливыми следующие оценки вероятности оши­

бочного декодирования podпри исправлении ошибок: /;

Задача помехоустойчивого кодирования состоит в поиске кода, обладающего максимально достижимым кодовым расстоянием d(K), или, точнее, максимизации кодового расстояния при задан­ ных п - числе символов в кодовом слове, и М —числе кодовых слов. Несмотря на то, что для многих значений п и М величина макси­ мально достижимого d[K) получена, в общем виде задача помехо­ устойчивого кодирования решения не имеет. Реализация процеду­ ры помехоустойчивого кодирования на первый взгляд не вызывает труда. В память кодера записываются кодовые слова и правило, по которому каждое из состояний источника отождествляется с соответствующим словом, посылаемым в канал. Это правило из­

вестно и на декодере. Декодер, приняв блок, искаженный поме­ хой сравнивает его со всеми М кодовыми словами и отыскивает то из них, которое по хемминговому расстоянию ближе остальных к принятому блоку. Можно показать, однако, что даже при уме­ ренных и этот алгоритм декодирования на практике не реализуем из-за гигантского объема необходимой памяти и соответствующей системы логической обработки. Поэтому применение достаточно эффективных кодов при табличном методе кодирования и декоди­ рования технически невозможно. Это приводит к тому, что одним из основных направлений современной теории кодирования явля­ ется поиск таких кодов, для которых кодирование и декодирование осуществляются не перебором таблицы, а в результате определен­ ных регулярных правил, основанных на алгебраической теории. К числу таких кодов относятся линейные блочные, в частности,

циклические коды.

Наиболее характерной ситуацией использования кодирования является передача дискретных сообщений в реальном времени при огра­ ниченной мощности передатчика. Это означает, что «-символьное ко­ довое слово должно быть передано за время, равное времени выдачи к символов источником сообщения. Если это условие не выполняется, то кодирование не имеет смысла, поскольку последовательность пере­ даваемых символов сообщения может быть считана с меньшей скоро­ стью и в результате характеристики помехоустойчивости могут быть

за счет увеличения энергии передаваемых символов. Пусть мощность передатчика равна Р, а длительность сообщения,

содержащего к символов, равна Tw. Тогда энергия сигнала, приходяща­ яся на слово сообщения, равна PTw.

В случае блокового избыточного кодирования имеющаяся энергия распределяется на п символов, поэтому энергия, приходящаяся на кодо­ вый символ, равна РГ / п. Так как п > к, то при использовании кодирова­ ния энергия, приходящаяся на символ, уменьшается. Это приводит к тому, что в системе с избыточным кодированием вероятность ошибки на символ оказывается "Выше, чем в системе без кодирования. Если код обладает вы­ сокой корректирующей способностью, то благодаря наличию избыточных символов эти потери «отыгрываются» и обеспечивается дополнительный выигрыш, который принято называть энергетическим выигрышем коди­ рования (ЭВК). ЭВКявляется количественной мерой эффективности ко-

дирования. Его значения оценивают, сопоставляя энергетические затраты на передачу одного бита при фиксированных вероятностях ошибочного приема либо символа, либо бита сообщения в системах с кодированием и без кодирования.

Контрольные вопросы

1.Какие критерии применяются для оценки помехоустойчивости систем передачи информации с непрерывными сигналами?

2.Какие критерии применяются для оценки помехоустойчивости систем передачи информации с дискретными сигналами?

3.Перечислите известные способы повышения помехоустойчи­ вости передачи.

4.Какие коды называют помехоустойчивыми?

5.За счет чего помехоустойчивый код получает способность обна­ руживать и исправлять ошибки?

6.Что подразумевают под кратностью ошибки?

7.Как определяется минимальное кодовое расстояние?

8.Запишите соотношения, связывающие минимальное кодовое расстояние с числом обнаруживаемых и исправляемых ошибок.

9.Назовите основные показатели качества корректирующего кода.