ставляют собой выборки и(/у)[£у(/) = б(/ - ry)] или разности соседних вы­ борок Au{tj) = u(tj) - u(t - = 5(/ - tj) - 5(/ - /у_,)].

Поскольку дельта-функция технически нереализуема, длительность каждой выборки конечна. Отсчеты берут не в одной точке, а в некотором интервале времени, зависящем от длительности управляющего импульса ключевого устройства Когда длительность импульса значительно меньше шага дискретизации, выборки представляют собой короткие импульсы, амплитуды которых пропорциональны мгновенным значениям сигнала.

Отрезок времени At. = t. - 1. между соседними выборками называют шагом дискретизации. Если он выдерживается постоянным во всем диа­ пазоне преобразования, дискретизация считается равномерной. Методы равномерной дискретизации получили наиболее широкое применение. Они характеризуются простым алгоритмом, исключающим необходи­ мость фиксировать время отсчетов, что существенно облегчает техничес­ кую реализацию. Правда, в этом случае несоответствие шага дискретиза­ ции характеру поведения конкретной реализации сигнала на отдельных участках часто приводит к значительной избыточности отсчетов.

Если отрезки времени между выборками меняются, например, в зависимости от скорости изменения сигнала или по заданной про­ грамме, дискретизацию называют неравномерной.

В ряде случаев наряду с выборками u(t) в качестве координат сиг­ нала используются также производные и(/) в те же моменты времени / вплоть до N-rо порядка.

Учитывая теоретическую и практическую значимость методов дискретизации с использованием выборок в качестве координат сиг­ нала, в процессе дальнейшего рассмотрения вопросов дискретизации ограничимся только ими.

4.3. Способы восстановления непрерывного сигнала

Воспроизведение сигнала по выборкам можно производить как на основе ортогональных, так и неортогональных базисных функций, кото­ рые определяют тип аппроксимирующего полинома и принцип прибли­ жения: интерполяционный, экстраполяционный, комбинированный.

При неортогональных представлениях сигнала наиболее часто ис­ пользуются степенные алгебраические полиномы вида

Если координаты сигнала представлены в виде разности выборок, то при его восстановлении, как правило, сначала проводят вычисление последовательности выборок и уже по ним строят аппроксимирую­ щий полином u\t).

Выбор системы базисных функций в составе аппроксимирующего полинома u(t) во многом определяется требованием обеспечения про­ стоты технической реализации аппаратных (программных) средств дискретизации и восстановления сигнала.

Если базисные функции выбраны так, что значения аппрокси­ мирующего полинома совпадают со значениями выборок в моменты их отсчета, то такой полином называют интерполирующим.

С точки зрения сокращения числа отсчетов интерполяционные методы восстановления сигнала предпочтительнее, однако для их ре­ ализации необходима задержка сигнала на интервал интерполяции, что в ряде случаев недопустимо. Поэтому в системах управления, работающих в реальном времени, используются экстраполяционные методы, не требующие задержки сигнала при проведении операций определения значений выборок и восстановления сигнала.

При замене функции u(t) совокупностью отсчетов основная задача заключается в том, чтобы на интервале преобразования взять их не более чем требуется для восстановления исходного сигнала с заданной точнос­ тью в соответствии с выбранным критерием качества приближения.

Ограничение на число членов аппроксимирующего полинома (4.5) обычно не позволяет обеспечить заданную точность воспроизведения на всем интервале преобразования Т. Поэтому его разбивают на отрезки т., на­ зываемые участками аппроксимации, и на каждом из них воспроизведение осуществляют аппроксимирующим полиномом (4.5), причем длительность участков аппроксимации может быть различной. В случае использования интерполяционного метода восстановления многочленом ненулевой степе­ ни на участке аппроксимации может размещаться нссколько'отсчстов.

При известной конечной совокупности координат сигнала и вы­ бранном способе воспроизведения должна обеспечиваться заданная точность восстановления сигнала. Требования к точности восстанов­ ления диктуются потребителем информации. В зависимости от целе­ вого назначения получаемой информации используются различные критерии точности приближения u \t) к u(t).

В соответствии с критерием равномерного воспроизведения, на­ зываемым также критерием наибольшего отклонения, устанавливает­ ся абсолютное значение допустимой погрешности:

(4.8)

где 5т - максимальная погрешность приближения; Д - участок аппрок­ симации; 5и(/) = u(t) - u(t) текущая погрешность приближения.

Если сигнал задан множеством возможных реализаций, то на­ ибольшая допустимая погрешность Дя| устанавливается для всей сово­ купности реализаций «(<) и u(t):

Такой критерий применяется, например, в случаях, когда необхо­ димо обеспечить возможность фиксации любых изменений исходного сигнала, включая кратковременные выбросы, в особенности если они соответствуют аварийному режиму объекта.

Широко используется также критерий среднеквадратического приближения:

(4.10)

где ад - допустимая среднеквадратическая погрешность приближе­ ния; о - среднеквадратическая погрешность приближения.

При множестве возможных реализаций сигнала величина о усред­ няется в соответствии с их вероятностями.

В технической реализации неравномерная дискретизация на ос­ нове критерия среднеквадратического приближения сложнее, чем на базе критерия равномерного приближения.

Интегральный критерий приближения определяется соотношением

(4.11)

где ед - допустимая средняя погрешность приближения; е - средняя погрешность приближения.

Применяется также вероятностный критерий, в соответствии с которым задается допустимый уровень р а величины р - вероятности того, что текущая погрешность приближения 8(7) не превысит некото­ рого определенного значения 80:

4.5. Методы дискретизации посредством выборок

При построении метода дискретизации необходимо сформулировать критерий выбора отсчетов, установить процедуру восстановления по ним исходного сигнала и иметь возможность определить возникающую при этом погрешность. Решение указанных задач возможно лишь на базе вы­ бора определенной математической модели дискретизируемого сигнала.

Ввопросе определения величины шага при равномерной дискретиза­ ции известно несколько подходов, отличающихся прежде всего тем, каким параметром характеризуются динамические свойства сигнала.

Втеоретических исследованиях наибольшее распространение получила модель сигнала в виде квазистационарного случайного про­ цесса, каждая реализация которого представляет собой функцию с ог­ раниченным спектром. Величина шага дискретизации в этом случае ставится в зависимость от наивысшей частоты спектра. Такой крите­ рий выбора отсчетов принято называть частотным.

При определении шага дискретизации можно ориентироваться непосредственно на степень некоррелированности отсчетов. Сущес­ твует подход, где за модель сигнала принят случайный процесс ко­ нечной длительности Т, спектр которого отличен от нуля на всей оси

частот. В предположении, что т0« Т, отсчеты берут через интервал корреляции т0, Определяемый по известной корреляционной функции сигнала. Такой Критерий выбора отсчетов называют корреляционным. Учитывая тесную взаимосвязь спектрального и корреляционного ме­