4.7. Адаптивная дискретизация

способы адаптивной дискретизации. Интерполяционные способы не на­ шли широкого применения, поскольку их реализация связана с запоми­ нанием сигнала на интервале аппроксимации и выполнением большого числа вычислительных операций. Поэтому ограничимся рассмотрением примеров адаптивной дискретизации на основе экстраполяции.

4.8. Квантование сигналов по уровню

Поскольку математической моделью непрерывного сигнала является случайный процесс U {t), мгновенное значение сигнала U = £/(/.) пред­ ставляет собой случайную величину. Диапазон ее изменения, называ­ емый непрерывной шкалой мгновенных значений сигнала, ограничен значениями «mjn и и ^ , что отражает условие физической реализуемос­ ти сигнала. Непрерывную шкалу мгновенных значений ип = итзх - итт, сигнала разбивают на п интервалов, называемых ш агам и квантования. Границами шагов квантования являются значения и0 = ы ., и,,..., м , ип = и ^ . Из множества мгновенных значений, принадлежащих /-му шагу квантования (и.,< и < и ) только одно значение И,- является разрешенным (/-й уровень квантования). Любое другое из указанного множества значе­ ний округляется до и\. Совокупность величин и,'(/ = 1,2,..., л) образует дискретную шкалу уровней квантования. Если эта шкала равномерна, т. е. разность значений Аи1 = и, - постоянна на всем протяжении непре­ рывной шкалы мгновенных значений сигнала и, квантование называют равномерны м . Если постоянство значений не выдерживается, - кванто­ вание неравномерное. Благодаря простоте технической реализации рав­ номерное квантование получило наиболее широкое распространение.

В результате замены мгновенного значения сигнала U соответствую­ щим уровнем квантования и] возникает погрешность Ь. = и - и ], которую называют ош ибкой квантования. Эта погрешность является случайной ве­ личиной. Нас чаще всего интересует ее максимальное значение 5М = max | 8( | и среднеквадратическое отклонение для всего диапазона изменения мгновенных значений сигнала. Используются также приведенные значе­ ния этих величин

8 М О = 8* / ( Wranx — M m in ) > ^0 = & / ( U max — Wm in ) •

С позиций минимизации наибольшей возможной ошибки квантова­ ния непрерывную шкалу мгновенных значений сигнала целесообразно

гдер{и) - функция плотности вероятности мгновенных значений сигнала U. Считая шаги квантования малыми по сравнению с диапазоном изме­ нения сигнала, плотностьр(и) в пределах каждого /-го шага можно принять постоянной и равной некоторому среднему значению, например />(и(')Л (.. При таких предположениях минимальная среднеквадратическая ошибка

а. достигается при расположении уровня квантования в середине шага:

ст,

(4.37)

Преобразовав подкоренное выражение к виду

отмечаем, что дисперсия ошибки квантования на /-м шаге равна д 2 /12 равномерно распределенного на этом шаге сигнала, умноженной на ве­ роятность р{и\)Aj попадания мгновенного значения сигнала в пределы данного шага. Дисперсия полной ошибки квантования о2 для всей непре­ рывной шкалы мгновенных значений сигнала определяется как математи­ ческое ожидание дисперсий А2 /1 2 на отдельных шагах квантования:

(4.39)

При одинаковых шагах квантования ( Д . = Д)

(4.40)

п

Так как принимаем £/>(«,')д = 1» то

Таким образом, при квантовании с постоянным шагом и разме­ щении уровней квантования в середине шага (равномерное кван­ тование) среднеквадратическая ошибка квантования как для рав­ номерного, так и для произвольного распределения мгновенных значений сигнала одинакова:

(4.42)

Шум квантования. При квантовании сигнала по уровню случай­ ный процесс заменяется ступенчатой зависимостью Изменяю­ щуюся во времени ошибку квантования 5(0, также представляющую собой случайный процесс, называют ш ум ом кв ан т о в ан и я :

Сохраняя ранее введенные предположения (о малости шага кван­ тования и равномерности распределения в нем мгновенных значений сигнала) и считая случайные процессы U (t) и 8(0 эргодическими, сред­ неквадратическую ошибку равномерного квантования о можно опреде­ лить по реализации 5,(0 (рис. 4.7). В пределах каждого шага квантова­ ния Д зависимость 5,(0 заменяется прямой t • tgP,, где р - переменный угол наклона прямой. При размещении уровней квантования в середи­ не каждого шага математическое ожидание ошибки квантования равно нулю, а ее среднеквадратическое значение определяется выражением

квантования и отсутствии помех число уровней квантования на­ ходим из соотношения

Я = («max - “min) /(2>/3a). (4.45)

Однако при неравномерном законе распределения мгновенных значений сигнала квантование с постоянным шагом не является оп­

тимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки а. Кван­ туя участки с менее вероятными значениями сигнала с большим шагом, ука­ занное значение среднеквадратической ошибки можно уменьшить.

Контрольные вопросы

1.В чем сущность процессов дискретизации и квантования?

2.Охарактеризуйте преимущества дискретной и цифровой пере­ дач информации.

3.Сформулируйте общую постановку задачи дискретизации.

4.Каковы основные методы получения координат сигнала?

5.Сравните интерполяционные и экстраполяционные способы востановления сигнала.

6.Что поднимает под среднеквадратическим критерием восста­ новления сигнала?

7.Сформулируйте теорему Котельникова.

8.Перечислите основные свойства функции отсчетов.

9.В чем трудности технической реализации способа передачи не­ прерывных сигналов, основанного на теореме Котельникова?

10.Укажите преимущества и недостатки адаптивной дискретизации.

11.Поясните принцип дискретизации по Железнову.

12.Как определяется шаг квантования по уровню?

13.Как определяется шаг квантования по уровню?

14.Что такое шум квантования?

15.Как рассчитать шаг квантования сигнала при наличии помехи?