тодов анализа сигналов, его иногда рассматривают как разновидность частотного критерия. Поскольку использование корреляционного кри­ терия по сравнению с частотным не упрощает теоретических исследо­ ваний, он не нашел применения в инженерной практике.

Практическую реализацию равномерной дискретизации чаще всего проводят с использованием аппроксимирующих многочленов в общем случае п-й степени. За математическую модель сигнала принимают стаци­ онарный случайный процесс, каждая реализация которого представляет собой непрерывную функцию u(t), имеющую п + 1 ограниченных произ­ водных. При этом динамические свойства сигнала задаются максималь­ ным во всем интервале преобразования модулем (п + 1)-й его производ­ ной. Отсчеты выбирают по критерию наибольшего отклонения.

Так как при равномерной дискретизации шаг выбирают исходя из максимальных значений динамических характеристик сигнала, то на многих участках интервала дискретизации, где мгновенные значения сигнала резко нс меняются, он оказывается заниженным, что приводит к избыточности отсчетов.

Эффективное устранение избыточности в отсчетах обеспечива­ ют методы адаптивной неравномерной дискретизации. Длительности шагов дискретизации в этом случае тесно связаны с текущими значе­ ниями параметров реализации сигнала. Отсчеты проводятся при до­ стижении выбранной погрешностью восстановления определенного значения, выполняющего здесь роль критерия.

Основные методы дискретизации по выборкам рассмотрим подробнее.

4.6. Равномерная дискретизация. Теорема Котельникова

Правило выбора предельного шага при равномерной дискретизации с использованием модели сигнала с ограниченным спектром в наиболее четкой форме сформулировано и доказано акад. В.А. Котельниковым в виде теоремы, получившей в отечественной литературе его имя.

При дискретизации по времени непрерывная по аргументу функ­ ция, описывающая сигнал, преобразуется в другую, решетчатую функ­ цию, образованную путем прерывания исходной функции (см. рис. 4.1 б). Дискретизация допустима при условии, что новообразованная решетча­ тая функция дает возможность восстановить исходную функцию. Ес­

тественно, что такая замена допустима лишь в тех случаях, когда диск­ ретизированная функция полностью представляет исходную.

Итак, в результате дискретизации исходная функция x(t) заменя­ ется совокупностью отдельных значений (отсчетов), т.е. решетчатой функцией x(kAt), где к - номер отсчета, к = 1, 2, 3, Каким должен быть интервал Дt между отдельными отсчетами? При малом интервале между отсчетами их количество будет большим и точность последую­ щего восстановления функции также будет высокой. Если же интервал между отсчетами взять большим, то количество отсчетов уменьшится, однако погрешность восстановления непрерывного сообщения может оказаться больше допустимой. Оптимальным следует считать такой интервал между отсчетами, при котором исходная функция с заданной точностью представляется минимальным числом отсчетных значений. В этом случае все отсчеты будут существенными для восстановления исходной функции. При большем числе отсчетов будет иметь мес­ то избыточность информации.

Способ дискретизации, согласно которому выбираются отсчеты или коэффициенты разложения, целесообразно оценивать по величи­ не ошибки восстановления исходной функции. Различают три вида критериев отсчетов:

1.Частотный критерий Котельникова, согласно которому интерва­ лы между отсчетами выбираются исходя из ширины спектра дискре­ тизируемого сообщения.

2.Корреляционный критерий отсчетов Железнова, согласно кото­ рому интервал дискретизации выбирается равным времени корреля­ ции передаваемого сообщения.

3.Квантовый критерий отсчетов Темникова, предложенный для детерминированных функций, устанавливающий зависимость

интервалов между отсчетами от величины ступени квантования по уровню и крутизны функции. Оценку точности восстановления не­ прерывного сообщения можно производить по величине наибольше­ го, среднеквадратичного или интегрального отклонения.

Теорема К отельникова. Все реальные непрерывные сообще­ ния отражают процессы, основная часть спектра которых сосре­ доточена в конечном интервале частот. Это объясняется частотны­ ми свойствами источников сообщений и абонентов (получателей сообщений), являющихся реальными физическими системами.

Начиная с некоторой частоты, высокочастотные составляющие спектра сообщения оказываются значительно ниже уровня помех и не воспринимаются получателем. В таком случае все реальные непрерывные сообщения можно рассматривать как функции с ог­ раниченным спектром, т. е. таким, в котором не содержится частот выше некоторой граничной частоты F.

Винженерной практике рассмотрение сигналов как функций

сограниченным спектром позволяет при проектировании аппара­ туры связи ограничивать ее полосу пропускания. Так на практике часто сталкиваются со следующими примерными значениями ши­ рины спектра сигналов в каналах связи: телеграфного - несколько сотен герц (в зависимости от скорости телеграфирования), теле­

фонного - 3-5 кГц, вещания - 8-10 кГц, телевизионного - порядка 6 МГц.

Для таких функций В.А. Котельников сформулировал следую­ щую теорему:

Любая непрерывная функция со спектром, находящемся в интер­ вале (0, F), полностью определяется последовательностью ее значе­ ний в точках, отстоящих на 1/2F секунд друг от друга.

Доказательство теоремы Котельникова основано на разложении функции х(() с ограниченным спектром в ряд. Спектр S(jcо) рассматри­ ваемой функции ограничен полосой COB= 2HFB, т.е.

Используя преобразование Фурье непрерывной функции

и (4.13), получим

Рассмотрим комплексный спектр функции x(t). Он задан на интер­ вале (—<ов, сов) и может быть представлен рядом Фурье

и подставив его в (4.21), окончательно получим выражение, называе­ мое рядом Котельникова:

Полученное выражение представляет собой разложение в ряд не­ прерывной функции x(t). Величины x(kAt) - значения непрерывной функции в точках отсчета. Множитель вида

sin to„(/ - к At) _ sin 2KFBX

®B(t - к At) 2KFBX (4-23)

является функцией времени и называется функцией отсчетов (рис. 4.2). Функция отсчетов принимает максимальное значение, равное

единице, в моменты времени t = kAt и обращается в нуль в моменты времени t = (k± m)At, где т = 1,2,3,... Следует отметить, что функции отсчетов ортогональны на бесконечно большом интервале времени. Функция отсчетов представляет собой реакцию идеального фильтра нижних частот на единичную импульсную функцию.

Таким образом, чтобы передать сообщение, являющееся непре­ рывной функцией времени и имеющее ограниченный спектр, необхо­ димо произвести следующие операции:

1.Найти огсчетные значения передаваемого сообщения в моменты времени, разделенные интервалами At = 1/2F.

2.Передать величины отсчетов по каналу связи любым из возмож­ ных методов.

3.Восстановить на приемном конце переданные отсчеты и сфор­

При конечном числе отсчетов сумма (4.26) будет совпадать с мгновенными значениями x(t) не на всем интервале существования сообщения Т , а только в отсчетных точках. В промежутках между этими значениями x(t) отличается от суммы конечного числа членов ряда, в результате чего возникает погрешность. Эта погрешность ми­ нимальна в середине интервала Г и будет возрастать к его краям.

Определить среднеквадратичную ошибку восстановления сооб­ щения конечной длительности рядом Котельникова с конечным чис­ лом членов затруднительно. Однако, если убывание модуля спектраль­ ной плотности происходит достаточно быстро, можно указать границы среднеквадратической ошибки 5, возникающей при восстановлении реального сообщения с неограниченным спектром рядом Котельнико­ ва (4.22) в следующем виде:

(4.27)

где Е - полная энергия сообщения,

со

С помощью оценки (4.29) можно определить Fn таким образом, чтобы погрешность восстановления непрерывного сообщения не пре­ вышала заданной величины.

В практических расчетах для определения относительной пог­ решности воспроизведения сообщений может быть использовано сле­ дующее выражение:

ос.

позволяющее по заданной величине 8 при известных спектральных характеристиках сообщения найти верхнюю граничную частоту спек­ тра сов и интервал дискретизации

Как видно на рис. 4.3, для воспроизведения исходной функции x(t) по ее дискретным значениям x(kAt) необходимо устройство с им­ пульсной реакцией вида (4.23). На выходе такого устройства и будет воспроизводиться исходная непрерывная функция х(/).

Подобную импульсную реакцию имеет идеальный фильтр нижних частот с частотой среза F. Таким образом, непрерывная функция может быть восстановлена при пропускании последовательности импульсов вида x(Mt)8(t - kAt) (решетчатой функции) через идеальный фильтр ниж­ них частот с указанной частотой среза. Здесь 8(/ - kAt) - дельта-функция. Практически эти импульсы аппроксимируются, например, прямоугольны­ ми импульсами длительностью А, где А « At, и высотой x(kAt)/A.

Ясно, что отклонение свойств ФНЧ от идеального ведет к не­ которым искажениям в воспроизведении непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам.

В заключение заметим, что, хотя не существует реальных сигна­ лов со строго ограниченным спектром, это не умаляет практического значения выводов, сделанных из теоремы Котельникова. Принимая сигнал с практически ограниченным спектром (что всегда имеет мес­ то на практике) за идеальный сигнал со строго (в смысле условий те­ оремы) ограниченным спектром, мы после восстановления по диск­ ретным отсчетам получим сигнал, несколько отличный от исходного, но это отличие незначительно, если правильно выбрана ограничиваю­ щая спектр частота F. В процессе передачи сигнал дополнительно ис­ кажается различными помехами, и на их фоне можно пренебречь ис­ кажениями, вызванными отличием реальных сигналов от идеальных.

П ринцип дискретизации Железнова. В предложенной Н.А Железновым модели сообщения характеризуются: конечной дли­ тельностью Тс; сплошным спектром, отличным от нуля на всей часто­

т0) и малости интервала корреляции по сравнению с длительностью сообщения (Т » т0). Рассматриваются сообщения, являющиеся стационарными и нестаци­ онарными функциями времени. Введен­ ные допущения не вступают в противо­ речие с природой реальных сообщений, так как вследствие конечной длительнос­ ти их значение в любой момент зависит только от некоторого отрезка прошлого

ограниченной длительности. Поэтому интервал корреляции реальных сообщений является ограниченной величиной. Это ограничение, запи­ сываемое в виде

представлено на рис. 4.4.

Н.А. Железновым доказано, что такие сообщения могут быть предсказаны системой линейного прогнозирования со среднеквад­ ратичной ошибкой, сколь угодно мало отличающейся от нуля, толь­ ко в промежутке времени, равном интервалу корреляции т0. Таким образом, дискретизацию следует производить с интервалом, не превышающим т0, поскольку лишь в этом случае возможно безо­ шибочное восстановление исходного сообщения. Число некорре­ лированных отсчетов:

(4.33)

Определение интервала корреляции т0 производится с использова­ нием понятия эффективной полосы частот сообщения

где Дсоэ(М) определяется как основание прямоугольника с высотой, рав­ ной максимальному значению спектральной плотности Sx(iо), и пло­ щадью, равной площади под кривой спектральной плотности сообще­ ния (рис. 4.5):