Механика композитных материалов 3 1979

АКАДЕМИЯ НАУК ЛАТВИЙСКОЙ ССР

механика

композитных

материалов

Май—июнь

Журнал основан в 1965 г. Выходит 6 раз в год

РИГА «ЗИНАТНЕ»

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 3, с. 387—396

УДК 539.4:678.5.06:539.2

Дж. Дундурс, М. Комниноу

ОБЗОР И ПЕРСПЕКТИВА ИССЛЕДОВАНИЯ МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ*

Установлено1-4, что упругий анализ трещины на поверхности раздела фаз приводит к следующему затруднению: при постановке задачи по­ верхности трещины предполагаются свободными от нагрузки, но вслед­ ствие особенностей возникающих сингулярностей они должны перекры­ ваться согласно построенному решению2-5. Перекрывание поверхностей трещин вызвано осциллирующими сингулярностями, которые появля­ ются в упругом поле. Осциллирующие сингулярности являются, в свою очередь, результатом предположения прямого перехода от адгезии к раз­ делению материалов. То, что решение, содержащее осциллирующие син­ гулярности, предсказывает перекрывание материала, означает, что это допущение не оправдывается, так как возможен непрямой переход от ад­ гезии к сепарации и здесь должна быть введена промежуточная зона. Иначе говоря, трещина на границе раздела фаз не может быть пол­ ностью раскрытой, ее поверхности должны соединяться в вершинах. Можно отметить, что подобная ситуация встречается в контактных зада­ чах, в которых между зонами прилипания и отрыва всегда существует зона скольжения6, за исключением особых случаев сочетания материалов.

В недавних исследованиях осциллирующие сингулярности были уст­ ранены введением промежуточной зоны и путем учета при анализе тре­ щин соответствующих неравенств (расстояние между поверхностями тре­ щин не может быть отрицательным; нормальные усилия в зоне контакта должны быть сжимающими)7-9.

Настоящая работа является продолжением исследований в этом на­ правлении. В ней, во-первых, рассматривается и более детально изуча­ ется асимптотический характер напряжений вблизи закрытой вершины трещины на границе раздела фаз; далее резюмируются результаты для трещин на поверхности раздела фаз, нагруженных сдвиговыми и нор­ мальными напряжениями, в условиях бесфрикционного контакта; за­ тем формулируется проблема и получаются результаты для межфазной трещины в сдвиговом поле напряжения при трении в контактной зоне и наконец ставятся задачи, которые следует решить в будущем.

Асимптотическая природа поля напряжения вблизи закрытой вер­ шины межфазной трещины. Согласно рис. 1 ось х направлена вдоль гра­ ницы раздела фаз, и граничные условия в закрытой вершине межфазной трещины принимают вид:

о>0(1) (Г, —я) = а Г0(2) (С л) = —foee{r, ± я ) ; стО0(г, ± л ) s^0.

* Доложено на советско-американском симпозиуме «Разрушение композитных мате­ риалов» (Рига, сентябрь 1978 г.). Перевод П. Э. Пикше.

387

Здесь f обозначает коэффициент трения, и оба направления скольжения зависят от его знака. Таким образом, положительный f соответст­ вует скольжению верхнего материала в поло­ жительном направлении х относительно ниж­ него материала, а отрицательное значение f указывает на скольжение в противоположном направлении. Если тело подвергается моно­ тонно возрастающей нагрузке, начинающейся с нуля, скольжение в контактной зоне должно распространяться до самого конца межфазной трещины независимо от уровня трения6. Весьма вероятно, что при уменьшении нагрузки обрат­ ное скольжение не дойдет мгновенно до конца трещины. В настоящей статье ограничимся рассмотрением нагрузки, монотонно возрас­ тающей от нуля.

Выражения для сингулярных частей напряжений в закрытой вершине межфазной трещины принимают вид8:

где С — свободная постоянная, которая может быть рассмотрена как ко­ эффициент интенсивности напряжения;

с х = 3—4v в случае плоской деформации (р, — модуль сдвига, v — коэф­ фициент Пуассона). Константа X является корнем уравнения

и определяет степень сингулярности. Из (1) — (8) следует, что степень сингулярности слабее, чем —1/2 (Х<\/2) при f|3>0, и сильнее, чем (Х>\/2) при fp<0. Степень сингулярности —1/2 (Л,= 1/2) восстановится для бесфрикционного контакта, т. е. f = 0.

Уравнения (1) — (6) показывают, что сингулярное поле напряжений в закрытой вершине в какой-то мере антисимметрично по отношению к границе раздела и содержит только одну свободную константу (коэффи­ циент интенсивности напряжения). Это не вызывает удивления: поверх­

388

ности открытой трещины могут иметь относительные перемещения в двух направлениях. Поэтому для трещин в однородных материалах найдены два коэффициента интенсивности напряжения. Если же вершина тре­ щины закрыта, обе поверхности могут испытывать только относитель­ ные сдвиговые перемещения, и число свободных констант в асимптоти­ ческом решении уменьшается от двух до одной.

Далее природа сингулярности может быть оценена из рассмотрения усилия при у = 0. Из (3) — (6) следует:

Сдвиговые усилия сингулярны по обе стороны вершины трещины. Нор­ мальные усилия стремятся к нулю перед кончиком трещины и сингу­ лярны в контактной зоне вершины. Из распределения усилий, показан­ ных схематически на рис. 1, ясно, что распространение межфазной тре­ щины более тесно связано с межфазным сдвигом, чем с разрывом.

Из (9), (11) и (12) следует, что усилия в контактных зонах вершины трещины связаны со сдвиговыми усилиями впереди вершины трещины соотношениями

Отв(г, ± я) = cos Алаге (г, 0); ог0 (г, ± я) = — р sin Яяо>0 (г, 0).

(13а, б)

В зависимости от направления скольжения cos Ля может быть поло­ жительным или отрицательным. Знак сгг0 (Л ± я ) не может быть опреде­ лен сразу. Поскольку sinAjt положителен, из (136) следует, что мате­ риалы всегда могут быть расположены так, чтобы р>0. Из сг00 (г, ± л ) ^

результат привел к утверждению, что в случае растяжения степень син­ гулярности должна быть слабее —1/2 (см.8). Более неожиданный вывод вытекает в случае сдвига, так как С имеет один и тот же знак независимо от направления сдвига. Как ни парадоксально, вывод подтверждается решением краевой задачи с граничными условиями для трещины конеч­ ной длины без трения9. Однако можно отметить, что независимо от знака величина С определяется направлением приложенной сдвиговой на­ грузки, если трещина имеет конечную длину.

Ответить на вопрос, будет ли трещина распространяться вдоль по­ верхности раздела фаз или она изменит направление внутри одной из фаз, — непросто, так как проблема распространения трещины весьма сложна даже для однородного тела10. Очевидно, результат будет зави­ сеть от свойств и относительных прочностей материалов и от связи между ними.

Приближенный анализ можно сделать нанесением на график угловых

0 < Р ^ 1 /2 и O ^ f ^ l различие кривых невелико. На рис. 2 показаны ре­ зультаты только при р = 0,5 и f = 0 и 1 (отрицательные значения /р и соот­ ветствующие сильные сингулярности с Х>\/2 отсутствовали как при рас­ тяжений, так и при сдвиге). В случае бесфрикционного контакта напря­ жения а00(1) и сг00(2) достигают экстремальных значений у кончика тре­ щины при углах 0*i и 0*2 (индексы 1 и 2 соответствуют двум материа­ лам), определяемых из соотношений

389

Угол 0*i меняется от —70,5° при (3 = 0 до —64,6° при (3 = 0,5, а 0*2 — от 70,5° при (3 = 0 до 78,5° при (3 = 0,5.

Из распределения напряжений, показанных на рис. 2, вытекает, что сгее является растягивающей силой только в одном материале, т. е. напря­ жения расщепления при растяжении существуют только в материале с меньшим значением р /(х —1) или jut/(1 — 2v) при плоской деформации. Асимптотический анализ показал малую вероятность распространения межфазных трещин в материале с большим значением |ы/(х— 1).

Межфазная трещина с бесфрикционным контактом. Рассмотрение трещины на поверхности раздела как цепочки рассредоточенных краевых дислокаций облегчает постановку и решение задачи. Это позволяет вы­ писать основные интегральные уравнения и указывает путь к их реше­ нию с учетом соответствующих ограничений в виде неравенств. Обра­ тимся к некоторым результатам в теории дискретных краевых дислока­ ций11. Допустим, что дискретная краевая дислокация расположена в точке (|,0) на границе раздела фаз. Краевая дислокация с вектором

Если вектор Бюргерса расположен в направлении у (межфазная дисло­ кация переползания), то компоненты усилий будут:

где б — дельта-функция Дирака; Ьх, Ьу — компоненты вектора Бюргерса. Кроме того,

(3 определяется из (7).

Рассмотрим трещину длиной 2L, расположенную на границе раздела двух материалов с модулями сдвига pi и цг и коэффициентами Пуассона

390

vi и V2 (см. рис. 3). Под влиянием приложенной нагрузки трещина рас­ крывается в интервале ( — а, Ь), где а,Ь — неизвестные, которые должны быть определены в процессе решения. Так как прямой переход от адгезии к разделению материала невозможен, концы трещины закрыты и оба конца находятся в бесфрикционном контакте в интервалах ( — L, —а) и (b,L). Граничные условия требуют, чтобы сдвиговые усилия обращались в нуль в интервале ( —L, L), а нормальные усилия обращались в нуль в интервале ( — а,Ь). Кроме того, раскрытие краев трещины должно быть положительным в зоне сепарации ( — а,Ь) и нормальные усилия должны быть сжимающими в зонах контакта ( — L, а) и (6, L).

Допустим, что при отсутствии трещины граница раздела передает об­ щие сдвиговые усилия 5 и нормальные растягивающие усилия Т. Тогда распределение дислокации должно изменять поля напряжения так, чтобы удовлетворить граничным и дополнительным условиям вдоль кон­

где Вх(х) — плотность скользящих дислокаций в интервале ( —L, L); Ву(х) — плотность переползающих дислокаций в интервале ( — а, Ь). Кроме того, Н(х) — единичная ступенчатая функция Хевисайда. Обозна­ чая раскрытие между материалами через £ (*), а относительное сдвиго­ вое перемещение через h(x), т. е. g(x) = иуЩх, 0) — иуМ(х, 0); —а<х<.Ь\ h(x) =их(2')(х, 0) —ихМ(х, 0); —L<x<iL, найдем:

Для обеспечения единственности перемещения или при отсутствии дис­ локационной решетки налагаются условия

L Ь

зоне.

Случаи 5 = 0 и Т =0 рассмотрены отдельно7-9. Для растягивающей на­ грузки на разделе двух фаз (5 = 0) получаем, что а = Ь вследствие сим­ метрии. Из (206) видно, что Ву(х) должно быть непрерывным в ( — а, а), и так как переход от контакта к раскрытию должен быть непрерывным при —а и а, Ву(х) в этих точках должно обращаться в нуль. Тогда (18) рассматривают как интегральное уравнение Коши для неизвестных функ­

l=Lr и сохраняя те же обозначения для функции в новых переменных, имеем:

391

Здесь у = a/L\ w(s) — характеристические функции сингулярного инте­ грального уравнения. Характеристические функции зависят от поведения Bx(s) в вершине интервала ( —1,1)- Найдено, что парные решения для Bx(s) не удовлетворяют дополнительному условию (21). Следовательно, Bx(s) должно быть сингулярным при —1 и 1 и oy(s) = ( 1 - s 2) - 1/’. Кроме того, сингулярное решение для Вх(х) удовлетворяет соотношению (21)

автоматически.

Подставляя Bx(s) из (23) в (19), нормируя интервал интегрирования путем подстановки

ция Ву(х) ограничена при —а и а, она должна удовлетворять следую­ щему условию12:

которое дает дополнительную связь для нахождения неизвестной длины а. Можно отметить, что Ву(х) — нечетная функция от х вследствие сим­ метрии задачи, и условие (22) удовлетворяется автоматически.

Межфазные усилия получаем из (14) — (17):

Используя безразмерные переменные s и г, определенные из (24), и Bx(s) из (23), межфазное сдвиговое усилие получаем в виде:

мы можем сделать вывод из (27), что нормальные усилия сингулярны со степенью 1/2 при \x\-L— в зоне контакта, но ограничены при \х] = L + в зоне адгезии. Из (9) — (12) видно, что это соответствует асимптотиче­ ским решениям при f = 0.

Коэффициент интенсивности напряжения Кг для сдвиговых напряже­

Х-уЬ

392

Из (23) и (28) следует:

K2=CL'Mim { [ 2(1 — s)]v»Bx(s)}. 8—►!

Силу распространения трещины определяем из изменения свободной (об­ щей потенциальной) энергии, соответственно модифицируя формулу13

GяК22

4С

Более точные результаты получаются численным решением интеграль­ ного уравнения. Использование существующего метода для дискретиза­ ции сингулярных интегральных уравнений типа Коши14 приводит к сле­ дующим выводам7:

1) контактные зоны межфазной трещины при растяжении чрезвы­ чайно невелики по сравнению с размерами трещины; таким образом найдено, что при (3, меняющемся от 0,4854 до 0,4239, отношение ajL изме­ няется от 1— 10-4 до 1 — 10-7; небольшой размер контактной зоны услож­ няет численное решение интегрального уравнения (25), и даже двойная точность вычисления не позволяет рассмотреть a/L меньшие, чем 1 — 10-7;

2) коэффициент интенсивности напряжения, определяемый в (29), — /С2=1,05077> при р= 0,4854 и К2 = 1,00877> при (3 = 0,4239. В диапазоне, в котором интегральное уравнение не решается с достаточной точностью, принимается, что K2ITVl2 практически равняется единице при (3=т^0; при Р = 0 прямой переход от адгезии к разделению материала становится возможным, и для таких материалов задача сводится к задаче для одно­ родного материала;

3) несмотря на то, что нормальные усилия сг^т/(а:, 0) на границе фаз ограничены в адгезионной зоне перед вершиной трещины, они принимают большие положительные значения. Таким образом, ауу(L + , 0)/7=23,36 при (3 = 0,4854; далее oyy(L + , 0) возрастает при убывании |3.

Постановка задачи межфазной трещины при сдвиге получена из (18) и (19), если положить Т—0. Решение данной задачи усложняется отсут­ ствием симметрии и тем, что одна из контактных зон меньше, чем при растяжении9. Получено численное решение интегрального уравнения: a/L= l-f-10-7; b/L= 0,345 при [3 = 0,5 и 5 > 0 , т. е. одна контактная зона мала, другая — весьма значительна. Коэффициент интенсивности напря­ жения определяется как

K2(±L ) = lim {[2{x-{-L)yi2oxy(xt 0)},

и при (3 = 0,5 получаем: /C2( + L)/SLl/2= 1,03 и К2( —L )/5L ,/a = 0,45. Неожи­ данный результат — K2( — L) < 0 — согласуется с выводом, полученным при асимптотическом анализе: С ^ 0 при (3>0.

Эффект трения в контактных зонах. Нормальные усилия, передавае­ мые в зонах контакта, очень значительны и фактически сингулярны в устье трещины. Это означает, что трение может иметь ярко выраженное влияние на деформацию. Так как напряженное состояние зависит не только от мгновенных значений приложенных сил, но и от всей истории нагружения, то решение упругих задач с учетом трения представляет зна­ чительные трудности. Обычно контактные задачи с трением требуют ин­ крементальной постановки15. Проблема трещины на границе раздела фаз при учете в зонах контакта принадлежит к задачам, которые не требуют инкрементальной формулировки, если нагрузка начинается с нуля и мо­ нотонно возрастает. Причина этого заключается в том, что скольжение имеет место вдоль всей длины контактной зоны и размеры контактной зоны не зависят от уровня, достигаемого при монотонно возрастающем нагружении.

393

Случай сдвигового нагружения на границе раздела фаз требует более пристального внимания, чем растяжение из-за отсутствия симметрии. Определяющие интегральные уравнения следуют непосредственно из (14) — (17) при учете, что плотность переползающих дислокаций Ву(х) обращается в нуль в контактных зонах:

ь

Уравнения (30), (31) отражают требование, чтобы сдвиговые и нормаль­ ные усилия обращались в нуль в раскрытой части трещины. Уравнение (32) требует некоторых пояснений. Если мы принимаем кулоновский за­ кон для сухого трения, то связь между сдвиговыми и нормальными уси­ лиями следующая:

в контактной зоне скольжения. Более того, знак оХу(х, 0) должен соответ­ ствовать направлению скольжения в любой данный момент. Если сдвиго­ вые усилия монотонно возрастают от нуля, то направления скольжения должны быть те же.

Как из асимптотического анализа, так и из решения для межфазной трещины в сдвиговом поле9 следует, что при S > 0 и р > 0 скольжение про­ исходит в направлении, совпадающем по знаку с направлением сдвиго­ вого напряжения (оху(х, 0) < 0 в левой зоне контакта — L<C.x<i— а и аху(х, 0) > 0 в правой зоне контакта b<Cx>L). Отмечая, что оуу{х, 0) < 0 в обеих зонах контакта, мы можем заменить (33) на

Оху (X, 0) = ~fsgnX Оуу{х, 0),

и (32) следует из (14) — (17). Отметим также, что решение интегральных уравнений (30) — (32) должно удовлетворять (21) и (22).

Уравнения (30) и (32) можно объединить в одно интегральное урав­ нение, справедливое в интервале — L<Cx<L:

ь

394