Механика композитных материалов 3 1979

Частичные суммы az(m) всегда можно представить в тензорной форме. От­ сылая за подробностями к статье3, изложим вкратце лишь основные факты. В3 показано, что

Q(h,m)_Q(A,m)(g-) — это комплексные базисные полевые тензоры ранга k

В частности Q(ft-°) = Q(ft-°)(^) — вещественное поле тензоров ранга k на 5. Из (1.2) видно, что К*.»») является комплексным тензором ранга k, не зависящим от g, g^ S O (3). Через * обозначена операция свертывания

двух тензоров по всем возможным индексам, т. е. i

ним k —\m\ индексам. Непосредственно видно также, что Q(h~m) = Qik<m)

425

Отсюда вытекает, что в случае т ф 0 а/(т) полностью определяется стар­ шим тензором Т(г’т ) ранга I, а щ(0) — парой тензоров Т(г-0\ Т^-1-0), так как все остальные тензоры, участвующие в а/т), определяются с помощью (1.5) и (1.6).

Вследствие (1.3) можно записать также, что

г

где H(ft) — произвольные тензоры ранга k, а круглые скобки в нижних тензорных индексах обозначают операцию симметрирования.

Полученные результаты позволяют сформулировать следующую тео­ рему.

Для любой функции f(g) (не обязательно разложимой в ряд Фурье) и любых целых чисел I и т, 1^\т\ существует такое поле тензоров H(-'-™)=H<*-m)(g) ранга I на группе 5 0 (3), что

426

Так как Q (jm) ,-ft Q m)_у'ейо2, то тензорное произведение

не зависит от угла Эйлера <р2> т. е. (Q(ft.™)Q('-™)) = (Q(Mi)Q(z-m)) (;jj;). Вы­ пишем явное выражение для компонент этого поля. Принимая во внима­

Последнее равенство позволяет написать следующее, справедливое

+ q(A-I^l)* (u (ft.M)u(f.M)-(-у(А.И1)y(MH)) ] dg.

427

Вещественные базисные полевые тензоры u(ft-l?nD(g) , v(k<m\)(g) удов­ летворяют соотношениям

{h(ty)g) = u(ft>lmD(g)cos mi|5+ v (A>H)i (g-)sin |m| -ф;

428

Из (1.23) видно, что представления (1.16) и (1.17), а также (1.18) и (1.19) переходят друг в друга при соответствующих левых сдвигах подынтегральных выражений по группе 5 0 (3 ). Свойство же (1.22) свя­ зывает между собой (1.16), (1.17) и симметричные части (1.18), (1.19).

тельно получаем следующие выражения для составляющих тензора ta

0 — если хотя бы одно из чисел а, Ь, с — нечетное > 0,

где ( —1)!! = 0!! = 1, |x£j= 6£j — hihj, а круглые скобки в нижних индексах обозначают операцию симметрирования.

2. Вариант полевой теории пластичности. Примем, как обычно, что первый инвариант тензора пластических деформаций ер равен нулю, е «р6« = 0, и положим, что е «р= 1у«, т. е.

429

где E=E(g) — полевой тензор пластических деформаций. Компоненты тензора Е в базисе {е'*}, E'ij(g) = limhnEmn(g) назовем полевыми плас­ тическими деформациями.

Если Е не зависит от угла Эйлера ф2, т. е. Е=Е(.§), то в (2.1) можно выполнить интегрирование по фг. Тогда, по (1.13), вместо (2.1) получим:

В этом случае компоненты E'ij обычно называют локальными деформа­ циями1’ 4, подчеркивая то обстоятельство, что они меняются произволь­ ным образом от точки к точке сферы S, т. е. не принадлежат какому-либо одному постоянному на 5 тензору. Если же Е= const, то соотношения (2.1), (2.2) превращаются в равенство

&ijP E(ij) mnVTnnUijbmn&i (2.3)

Обозначим через а симметричный тензор напряжений и определим полевой закон пластического деформирования следующим образом:

задающие группу симметрии свойств среды; V = L' (g) = L'[o'*,•(/)] — путь нагружения в точке g\ g e 5 0 ( 3 ) ; t — скалярный параметр. Зафиксируем еще несколько понятий: f(a, Е, РК )= 0 — полевая поверхность нагруже­ ния или упрочнения; f(a, О, РК) = 0 — полевая поверхность пластичности; ш а х /(a, Е, РК) = 0 — глобальная поверхность нагружения или упрочне-

8

ния; maxf(<j,0,РК) = 0 — глобальная поверхность пластичности. Полевой

в

существу является вариантом прямого обобщения определяющего соот­ ношения классической теории пластичности упрочняющейся среды с од­ ной гладкой поверхностью нагружения на случай бесконечно многих по­ верхностей нагружения. Классическая теория вытекает отсюда вслед­ ствие (2.3) как частный случай, когда f не зависит от g, g e 5 0 ( 3 ) . Ниже мы попытаемся несколько конкретизировать предложенный подход с целью развития теории локальных деформаций.

Введем поле тензоров активных напряжений q = q(l}) на 5: q'ij = = o'ij — ar\'ij, где V|=T|(._§) — некоторый симметричный полевой тензор, и

430

Примем далее, что а, Ь, с — константы и т]= Е; Ф = Ф(р2, # ); f= p 2 — R2. Тогда

висеть от фг, т. е. Е=Е(,$).

Уравнение полевой поверхности пластичности имеет вид:

Х = 4(1 —х) (а/21з + а'22з) + х [ (а'п — сг'22)2 + 4a/2i2] = с 2,

где ЛГ = р21Е=о >а для соответствующей глобальной поверхности пластич­

В процессе пластического деформирования полевая поверхность плас­ тичности переходит в полевую поверхность нагружения (упрочнения), перемещаясь трансляционно и трансформируясь подобно себе, т. е. проис­ ходит комбинированное упрочнение в каждой точке Влияние обоих механизмов регулируется параметрами а и Ь. В частности, при а>0, Ь = О мы имеем чисто кинематическое упрочнение с идеальным эффектом Баушингера, а при а= О, Ь> 0 — чисто изотропное упрочнение с отрицатель­ ным эффектом Баушингера.

В то же время глобальная поверхность пластичности не только сдви­ гается и изменяет свой объем, но и претерпевает сложные деформации. Этот вопрос более подробно рассмотрен в5. Отметим также, что впервые механизм кинематического упрочнения в теорию локальных деформаций введен в работе6.

Выясним, какую поверхность определяет уравнение (2.9), являющееся условием появления первых пластических деформаций. Для этого нахо­ дим точки возможных максимумов функции на сфере 5:

431

Вместо (2.9) теперь можем записать:

max(A'ia, Х2а) = с 2; а = 1,2,3.

Это означает, что глобальная поверхность пластичности образуется пере­ сечением семейства шести поверхностей Х\a= c 2; Х2а= с2; а = 1,2,3.

Введем новые переменные ортогональным преобразованием

Из (2.126) видно, что координатная ось х3 равнонаклонна ко всем трем старым осям oi, а2, а3. Запишем уравнения семейства поверхностей в но­ вых переменных х\.

2(1—х)

При х > 0 уравнения (2.13) определяют три пары плоскостей, которые, пересекаясь, образуют регулярный шестиугольный цилиндр с осью *3 — цилиндр Треска. В случае х = 0 уравнения (2.14) также дают цилиндр

4 Треска, причем тот же, что и (2.13) при значении х = 1. Если 0< х < " 5“>т0

(2.14) описывают три повернутых на угол -д— друг относительно друга

одинаковых эллиптических цилиндра, оси которых совпадают с х3. Пере­ секаясь, они образуют регулярный шестиугольный цилиндр с криволиней­

ным поперечным сечением. Если х = -^~ >то все три уравнения (2.14) совпа­

дают и определяют обычный круговой цилиндр Мизеса. При непрерыв­

ном изменении параметра х в пределах 0^ х^ = -^-глобальная поверхность

пластичности непрерывно меняется от цилиндра Треска до цилиндра Мизеса. Отсюда в частности вытекает новая интерпретация второго ин­ варианта / 2С:

/ 2D — m a x 2 I <T/2 I3 + G , 223 + — £ (сг/ ц — о'гг)2 + 4 CT/2I2 J J- =

= max 2 (o/2i2 + cr/223 + cr/23i). g

Точки, где этот max достигается, определяются формулами (2.11) при значении х = 1

432

Обозначив пределы пластичности На растяжение—сжатие и сдвиг со-

±±

ответственно через сг и .|т|, можем написать:

действительный корень х ~ 1,8, который лежит вне интервала допустимых значений | ^ 0 , п а р а м е т р а %. Поэтому даже при пропорциональном

(простом) нагружении пластические деформации, вообще говоря, будут зависеть также от инварианта / Зг>. Влияние / 3D в известных пределах ре­

гулируется параметром х, величина которого, в свою очередь, однозначно

± ±

определяется отношением пределов пластичности а и |т|, согласно (2.15). В заключение отметим, что в случае х = 0 из рассмотренного варианта полевой теории пластичности вытекает основной вариант теории локаль­

ных деформаций, но с новым критерием нагружения.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Кнетс И. В. Основные современные направления в математической теории плас­ тичности. Рига, 1971. 148 с.

2.Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М., 1965. 588 с.

3.Лагздинь А. Ж. К построению частичных сумм ряда Фурье на группе вращений 50(3) из компонент тензоров. — Латв. мат. ежегодник, 1978, № 23, с. 13—22.

4.Малмейстер А. К-, Тамуж В. П., Тетере Г А. Сопротивление жестких полимер­ ных материалов. Изд. 2-е. Рига, 1972. 498 с.

5.Крегерс А. Ф. Исследование поверхностей нагружения в теории локальности де­ формаций. — Механика полимеров, 1971, № 5, с. 796—800.

6.Зилауцс А. Ф. Упрочнение упруго-пластического тела при простом и сложном нагружении. Дне. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук. Рига, 1967. 178 с.

28 — 617

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 3, с. 4 3 4 ^ 4 6

УДК 539.4:678.5.06

Дж. Си

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ*

В настоящее время механика разрушения является общепризнанным аппаратом описания вязкости разрушения макроскопически однородных и изотропных материалов. К этой категории относятся сплавы металлов. Классическая концепция механики разрушения** основана на представ­ лении о том, что нестабильность структуры или структурного элемента определяется зародышевой трещиной. Данная статья посвящена вопросу приложения механики разрушения к композитным материалам, обладаю­ щим неоднородностью и анизотропией.

Виды разрушения композитных материалов весьма разнообразны, так как они обусловлены самыми разными причинами — разрывом во­ локон, растрескиванием матрицы, разрушением поверхностей раздела или комбинацией этих факторов. Возникновение трещин в композите, так же, как и в металлах, неизменно начинается с незначительных внутрен­ них дефектов в компонентах. Учет всех возможных механизмов разруше­ ния в аналитической модели представляется трудной задачей и не отве­ чает вследствие этого основной цели механики разрушения — созданию простых подходов для описания реакции композитов на внешнее воздействие. В настоящем исследовании рассматриваются следующие вопросы: 1) можно ли использовать для описания вязкости разрушения композитов разработанные для металлов методики испытаний, такие, как измерение податливости, критический коэффициент концентрации напряжений? 2) можно ли преобразовать основные уравнения механики разрушения к виду, учитывающему неоднородность и (или) анизотропию материала? 3) в какой мере процесс распространения трещины опреде­ ляется ее начальной геометрией, характером нагружения и расположе­ нием материала относительно приложенной нагрузки? 4) какие теорети­ ческие и экспериментальные исследования необходимы для развития методики предсказания поведения композита?

Виды разрушения. Успешное применение механики разрушения к композитам в значительной степени зависит от правильной интерпрета­ ции теории. Строго говоря, приложение классической концепции вязкости разрушения ограничено однофазными материалами1, содержащими до­ минирующую трещину. Сила, необходимая для развития этой трещины, определяется скоростью высвобождения энергии G\c и может быть свя­ зана с критическим коэффициентом концентрации напряжений К\с- Для однородного и изотропного материала это соотношение имеет вид2:

* Доложено на советско-американском симпозиуме «Разрушение композитных мате­ риалов» (Рига, сентябрь 1978 г.). Перевод А. Е. Богдановича.

** Термин «механика разрушения» в настоящей статье обозначает лишь неустойчи­ вое распространение трещин и не распространяется на их возникновение и докрнтический рост.

434