Механика композитных материалов 3 1979

где Cijhi(t) — ~ g j R i j h i ( i ) 0) —Cijkr, Jijki{t) — ^ П^м(^); П^^/(0) —

о

= Jijkl•

Если материал является изотропным, то тензор ядер релаксации мо­

где Г(х, t,x) — ядро сдвиговой релаксации; ГДх, t,x) — ядро объемной релаксации. В случае, если рассматривается двухкомпонентный компо­ зиционный материал, у которого армировка, т. е. часть А объема мате­ риала V, является изотропно упругой, а связующее, т. е. часть С объема V, — изотропно вязкоупругой, причем в компоненте связующего объем нс релаксирует, то можно записать:

Будем называть такой материал простым вязкоупругим композитом. Для нестареющих материалов можно аналогично (1.4) записать:

Rijhl(x, t)= [ /?1 (X, t) - у #(Х, 0 j Sifihl + R (Х, t) (6ifc6jt+ 6«6jfc)-

Для нестареющих простых вязкоупругих композитов можно дать другую запись соотношений между напряжениями и деформациями. Девиаторные составляющие тензоров напряжений Sij и деформаций связаны

законом

t

;ц= ЗК{х) | ш(хД —т)с1ец(%) = 3/(сое^;

ЗКо

со(х, t) =

1 — 2va

если хеЛ .

1+Va

415

2. Пусть требуется решить некоторую краевую задачу для неоднород­ ной вязкоупругой среды. Уравнения движения имеют вид:

где X — вектор объемных сил; и — вектор перемещения; р(х) — плот­ ность материала. Пусть заданы некоторые граничные условия3

в уравнения (2.1) и (2.2), получим систему трех уравнений относительно компонент вектора перемещения

Таким образом, соотношениями (2.3) — (2.5) дается постановка динами­ ческой неоднородной задачи линейной теории вязкоупругости в переме­ щениях (задача «Д »). Аналогично можно дать постановку квазистатической задачи. Будем обозначать уравнения (2.4) с правой частью, равной тождественно нулю, через (2.4)0. Тогда квазистатическая задача заклю­ чается в решении уравнений равновесия (2.4)0 при удовлетворении гра­ ничным условиям (2.5) (задача «До»).

Рассмотрим материал, имеющий периодическую структуру, т. е. со­ ставленный из элементарных ячеек, например, параллелепипедов с харак­ терной длиной стороны I. Пусть все тело имеет характерную длину L. Наряду с безразмерными координатами х всего тела (отнесенным к L) введем в каждой элементарной ячейке так называемые «быстрые» пере­ менные §=х/а, где а — параметр, равный 1/L. Тогда тензоры ядер релак­ сации и ползучести, которые в рассматриваемом случае являются перио­ дическими функциями координат, можно считать зависящими от коор­ динат Ковариантную производную2 от некоторой функции f по «быстрым» переменным £* будем обозначать через /|*, тогда как за ковариантной производной по переменной х* оставим прежнее обозначение f,*. Будем обозначать через </>_ взятое каким-либо образом усреднение от функции /(х, £) попеременным!* (см.4).

Заметим, что так как в композиционной среде тензоры ядер релакса­ ции и ползучести могут быть разрывными функциями координат, то ре­

где ядра N(%,t,т) являются периодическими функциями быстрых коор­ динат !*, причем NijM^bij.

416

Подставляя (2.6) в уравнения (2.4), получим:

где ядра Q(ij, t, т) имеют вид:

Q?U« <&^)-[а».«)^,„|. ],+

p + 7^ 0, и потребуем, чтобы средние значения тензоров Рр были равны величинам h*p, а средние значения ЛДр) равнялись нулю:

Отсюда видно, что средние значения перемещений и и напряжений о имеют вид:

Таким образом, исходную задачу «Д» локальной неоднородной теории вязкоупругости мы свели к задаче нелокальной однородной теории вязко­ упругости (2.9) — (2.11).

Для определения величин /г*(р) необходимо рассмотреть две вспомо­ гательные задачи. Первая из них (задача I) заключается в решении

неоднородной задачи теории вязкоупругости для элементарной ячейки и состоит в рекуррентном определении периодических ядер Nip), как сле­ дует из (2.7):

Задача II состоит в определении величин h*iP) и hip):

Уравнение (2.7) можно переписать в виде:

dpv

где введено обозначение p06^ = —1ц*№.

Решение задачи (2.10), (2.11), (2.13) может быть получено методом

оо

малого параметра: Vi= 2 akWiihK Подставив это разложение в СООТНО-

с с ^

шения (2.10), (2.11), (2.13) и приравнивая величины при одинаковых сте­ пенях а, получим рекуррентную последовательность задач линейной тео­ рии вязкоупругости для анизотропной однородной среды:

d2wAh1

где {k} = 0, 1, 2, . . . , а hnhi{t,x)=hijhii0){t,x) — так называемые эффек­ тивные ядра релаксации. Все входные данные задачи (2.14) — (2.16) из­ меняются при каждой итерации:

418

Vu если { /г } = 0 ;

Utw =

dPw 3,hr h

Очевидно, что квазистатическую задачу «До» можно свести к рекур­ рентной последовательности задач (2.14)0, (2.15), причем в формулах

тическом разложении решения по параметру а, то решение, полученное этим методом, будет тем ближе к точному решению задачи, чем меньше параметр а, т. е. чем больше ячеек периодичности содержит рассматри­ ваемое тело.

Заметим, что решив поставленную задачу в «нулевом» приближении, мы получим не только среднее — «размазанное» — значение вектора

Значит, в отличие от теории «эффективного модуля»6, в которой реше­ ние неоднородной задачи заменяется решением однородной задачи с «размазанными» механическими свойствами, мы уже в нулевом прибли­ жении в данном случае можем получить микронапряжения, обусловлен­ ные композиционной структурой материала.

Для нахождения перемещений Vi(x,t) нужно решить динамическую задачу линейной анизотропной теории вязкоупругости «Д 1»:

fiijh№h,l~\~Xi==0

при выполнении граничных условий (3.16). Прежде чем применять раз­ личные методы для решения задач «Д 1» и «До1», необходимо определить эффективную плотность р0, эффективные ядра релаксации hijia{t,x) и ядра Nm (t,t,x). Это сделать просто для слоистой композиционной среды, т. е. для случая, когда Сща(5 Л,х) и /гдД 5Д,х) зависят от одной координаты, например £з- В этом случае имеем:

Aijh ( §> *>х) = J {Cft313- 4^/3m3-1)^7n3n3_1^n3ij> —Cfc313_l C/3ij} ^£з,

0

где под Ci3j3-1 (■§, t, т) понимаются ядра, являющиеся резольвентными по отношению к ядрам Ci3j3 (^Д, т ). В частности, если эти ядра являются ядрами разностного типа, то в формулах (3.26) надлежит поменять вели­ чины типа С на величины С, и функции Ci3j3_1 (jg, t) найдутся из решения системы интегральных уравнений Вольтерры

t

J Ci3h3{t — x)dCk3j3~l(т) =8ij —Сг-злз(0 Ch3j3~l(0).

о

В случае, если материалы армировки и связующего являются изотроп­ ными, а ядра Cijhi{t) — разностного типа, соотношения (3.26) прини­

мают вид:

!з

Остальные компоненты Aijh равны нулю. Для случая простого вязкоупру­ гого слоистого композита, т. е. когда ядра релаксации имеют вид (1.5а), величины Nijk определяются по формулам

Nu3 = N\3\ = N223 = ^232——_г. ; _~f (Ы ; N3n — N322 — w + а2

у — отношение объема, занимаемого связующим, к объему всей ячейки периодичности.

Эффективные ядра релаксации hijia(t) и ползучести Hijki{t) для прос­ того вязкоупругого композита могут быть представлены в виде:

тп п

420

где Rijhi(a) и Пijhim — тензоры-константы, зависящие от va, £ а, Ко кон­ центрации связующего у, геометрии армировки и т. д.; фа(/) — функция,

шениях (3.5) выписаны только отличные от нуля компоненты тензоров структурных постоянных.

4. Для решения задачи «Д 1» можно воспользоваться, например, мето­ дом усреднения1. Для решения квазистатической задачи «До1» в случае простых вязкоупругих композитов можно применить обобщение метода аппроксимаций Ильюшина.

Существо этого обобщения заключается в следующем7. Пусть полу­ чено решение соответствующей упругой задачи для анизотропной среды и пусть в этом решении встречается выражение типа f( •)5, где S — из­ вестная величина, f ( - ) означает функцию от упругих модулей анизотро­ пии. Подставляя вместо этих модулей их выражения через величины va, Еа, Ко о), у, получим функцию всех этих параметров. Однако мае будет интересовать лишь то, каким образом эта функция зависит от со, ибо в

421

дальнейшем мы заменим со на оператор со и попытаемся расшифровать функцию от этого оператора. Итак, мы получим функцию / = f ( со). Эта функция может быть довольно сложной и в отличие от задач изотропной теории упругости даже в самых простейших случаях не является рацио­ нальной функцией от со6. Поэтому мы аппроксимируем эту функцию с помощью величин фа и %р, соответствующих ядрам фа(0 и хр(0 в пред­ ставлении (3.13). Таким образом,

где фа — величины, соответствующие операторам <ра, которые могут быть или единичным оператором, или операторами ш, л, или операторами

функция, а 0 ^ a /< G )"^ 1. Тогда для определения величин С(а) получаем алгебраическую систему уравнений

После решения этой системы получаем расшифровку выражения f(')S в виде:

мt

Один из примеров приложения этого метода дан в7.

Если аналитическое решение соответствующей упругой задачи не из­ вестно, а его можно найти численно или экспериментально, полезным оказывается метод численных реализаций упругого решения8. Прежде

Предположим, что входные данные задачи могут быть представлены или

Рассмотрим одну из этих задач, например, (4.1). Положим, что все величины ZaW{t) равны нулю, кроме одной ,Za{q>) {t) = \ (далее мы пере­

берем все случаи q1= 1 ,2 ,..., mi). Операторы Нцм в задаче (4.1) предста­ вим в виде (3.3). Тогда для соответствующей упругой задачи будет иметь

Предположим, что мы можем решить численно или экспериментально упругую задачу, соответствующую (4.1) при указанных выше условиях:

422

При этом для каждого значения (o= o)W, х = 1 ,2 ,... будем получать соот­ ветствующее численное или экспериментальное решение у(ш(х)) ==vM. Бу­ дем аналитически аппроксимировать решение задачи (4.3) в виде явной зависимости от параметра со. Например, предположим, что одна из компонент вектора перемещений v, которую обозначим через v, имеет вид:

со = оо(1), ю<2), ..., со(п+1), получим в каждой точке среды систему уравнений

Если мы зафиксируем все значения Рг, кроме одного р*, то для определе­ ния значений Л* (£ = 1 ,2 ,...,/г), р* получим из (4.5) систему п+ 1 алгеб­ раических уравнений. При этом, если выражение (4.4) будет точным, то величина р* окажется одинаковой во всех точках рассматриваемого тела9. Этот факт позволяет судить о точности выбранной аппроксимации (4.5). В результате находим решение задачи линейной анизотропной теории вязкоупругости (4.3) в виде:

v (х, t) = Л1{x)Za[q') (0 + J{ Л2(х)со ( / —т) + Л3(х)я(£ — т) +

о

П

+ X J Л»(х)|Гр (t - x ) } dZa{q']{T). i= 4

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязко­ упругости. М., 1970. 276 с.

2.Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. М., 1974. 206 с.

3.Победря Б. Е. О разрешимости задач теории упругости контактного типа. — Прикл. математика и механика, 1969, т. 33, вып. 4, с. 760—763.

4.Бахвалов Н. С. Осреднения дифференциальных уравнений с частными производ­ ными с быстро осциллирующими коэффициентами. — Докл. АН СССР, 1975, т. 221,

№3, с. 516—519.

5.Победря Б. Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости. — В кн.:

Упругость и неупругость, 1973, вып. 3, с. 95— 173 (М.).

6.Механика композиционных материалов. М., 1978. 556 с.

7.Аллам М. Н. М., Победря Б. Е. К решению квазистатических задач анизотропной

вязкоупругости. — Изв. АН АрмССР. Механика, 1978, № 2, с. 19—27.

8. Победря Б. Е. О методе численных реализаций упругого решения. — В кн.: Чис­ ленные методы решения задач теории упругости и пластичности. Ч. 1. Новосибирск, 1976, с. 110— 117.

9. Победря Б. Е. О решении задач линейной теории вязкоупругости контактного типа. — Докл. АН СССР, 1970, т. 190, № 2, с. 297—300.