Механика композитных материалов 3 1979

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 3, с. 515—523

УДК 539.135:611.1

В. М. Зайко, И. М. Старобин, А. В. Уткин

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (КРОВИ) В ТРУБКЕ С АКТИВНО ДЕФОРМИРУЮЩЕЙСЯ СТЕНКОЙ

В сердечно-сосудистой системе млекопитающих наряду с пассивным транспортом крови имеет место активный транспорт, возникающий за счет распространения различных видов волн, в том числе перистальтиче­ ских, вызываемых активными сокращениями гладкомышечных элементов кровеносных сосудов. Изучение механики движения крови в сосудах с активно деформирующимися стенками является одной из актуальных проблем современной биомеханики кровообращения, поскольку способ­ ствует выявлению значения активного транспорта крови в сердечно-со­ судистой системе.

В большинстве работ для изучения перистальтического движения жидкости обычно используются линейные аналитические модели, в кото­ рых система уравнений движения упрощается путем линеаризации их по одному или нескольким определяющим малым параметрам1-13. Однако сравнительно недавно опубликован ряд исследований, где для решения общей системы нелинейных дифференциальных уравнений перистальти­ ческого движения жидкости используются численные методы механики сплошных сред14-16.

При математическом моделировании движения вязкой жидкости в пассивной упругой трубе задача сводится к совместному решению системы уравнений движения жидкости и стенки трубки11. В случае же моделирования перистальтического движения жидкости, когда упругость стенки не учитывается, но известен закон ее движения, задача сводится к решению уравнений Навье—Стокса в полости, граница которой изме­ няется во времени по заданному закону бегущей волны.

Следует отметить, что на практике довольно часто встречается ситуа­ ция, когда закон движения стенки известен, например, в пальчиковом и роликовом насосах аппарата искусственного кровообращения.

Основными геометрическими параметрами перистальтической волны являются ее амплитуда а и длина X, а соответствующие им безразмерные величины определяются соотношениями е = а/г0 и a = (2 n r0)A , где г0 — средний радиус трубки. В работах1-3-7 для упрощения нелинейных урав­ нений перистальтического движения жидкости, которыми являются пол­ ные уравнения Навье— Стокса, проводилась их линеаризация по одному или сразу по двум малым определяющим геометрическим параметрам

(а и е), а в работах2-8 — по малому параметру R = а Re, где Re = —

число Рейнольдса, р, ц — плотность и вязкость крови, с — фазовая ско­ рость перистальтической волны. В отличие от большинства работ, в кото­ рых форма волны предполагалась косинусоидальной, только в немногих линеаризация по комбинациям а, е, Re проводилась для произвольного периодического закона изменения границы стенки2. В результате ли­ неаризации уравнения, описывающие перистальтическое движение жид­ кости, приводились к интегрируемым уравнениям теории смазочного слоя. Необходимо также подчеркнуть, что влияние геометрических характерис­ тик перистальтической волны изучалось, как правило, или на средний по времени расход жидкости Q (если он выбирался одним из определяющих

параметров) или на средний по времени перепад давления Др. При этом профили аксиальной скорости в рамках линейной теории оставались всегда квазипуазейлевскими, и, следовательно, мгновенные величины вязкого сдвигового напряжения в нулевом приближении не зависели от геометрии перистальтической волны. Возмущение геометрии сказывалось только на потерях на вязкое трение, т. е. на КПД перистальтического «насоса»13.

Исследования, посвященные решению задачи перистальтического транспорта жидкости, движение которой описывалось уравнениями Навье—Стокса в стоксовом приближении, показали, что уже при е = 0,5 и а ~ 1 линейная теория неприменима, поскольку величины аксиальной и радиальной составляющих скорости жидкости становятся одного по­ рядка, а их отношение не является малым параметром14. В данной работе численно интегрируются полные уравнения Навье— Стокса, которыми при больших а, е, Re описывается движение вязкой ньютоновской несжи­ маемой жидкости в осесимметричной цилиндрической трубке со стенкой, активно деформирующейся по закону бегущей волны. Для нескольких типов волн изучены зависимости перепада давления и сдвигового напря­ жения в жидкости от их геометрических характеристик и скорости. При малых а, е, Re проведено сравнение результатов численного экспери­ мента с аналитическими данными линейной теории.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу движения вязкой жидкости крови в осесимметричной трубке со стенками, активно деформирующи­

Задача II, в которой возмущающим импульсом является сегмент окруж­ ности, может служить моделью роликового насоса аппарата искусствен­ ного кровообращения. В формуле (2) | , а являются соответственно ра­ диусом кривизны ролика и амплитудой пережатия им трубки. Индекс L в (1) — (3) вводится для обозначения лабораторной системы отсчета. Вве­ дем теперь волновую систему координат, которая связана с лабораторной формулами перехода:

мени будет отсутствовать, поэтому в ней исходная нестационарная задача переходит в стационарную.

Будем считать кровь вязкой гомогенной ньютоновской несжимаемой жидкостью, тогда в волновой системе отсчета течение описывается ста­ ционарными осесимметрическими уравнениями Навье— Стокса в цилинд­ рических координатах. Область течения (рис. 1) ограничена твердыми

516

Все величины с тильдой, входящие в систему (5), (6), безразмерные:

аксиальная; -ф, со — функция тока и завихренности. Граничными усло­ виями для системы уравнений (5), (6) являются условия симметрии на оси трубки

Здесь индекс w принят для обозначения скалярных величин на стенке трубки, а индекс т — для обозначения векторов, касательных к ней. Да­ лее в тексте для удобства чтения тильда будет опускаться. Граничные условия (7), (8), так же как и сами уравнения, рассматриваются в вол­ новой системе координат. В этой системе компоненты вектора скорости

vt равны vr= — vz= — l (последнее является следствием того, что

Ri(z,t), Ru(z,t), Rm (z,t) — бегущая волна, движущаяся влево).

Для определения константы фшвоспользуемся выражением для рас­ хода крови q, которое в волновой системе имеет вид:

(9)

Для связи расхода крови Q и функции тока ф в лабораторной системе ко­ ординат легко получить формулу

Соотношения (7) — (9) не определяют еще задачу полностью. Для замы­ кания задачи необходимы также входное и выходное граничные условия, которые выбирались периодическими. Задача (5) — (9) решалась

численно.

Разностные уравнения. Выбор расчетных вариантов. Для решения системы уравнений Навье— Стокса с граничными условиями прилипания известен метод, основанный на использовании в продольно-поперечной схеме монотонной аппроксимации конвективных членов дивергентного типа направленными разностями1718. Метод используется для областей прямоугольной формы. В случае, когда расчетная область, как в данной работе, не является прямоугольной, для сохранения экономичности про­ дольно-поперечной схемы предлагается использовать снос граничных условий из точки пересечения границы с линией разностной сетки в бли­ жайший узел сетки.

517

(14)

итераций по со и по ф; a>7z = v-g (o)i+i,j — 2coi,j + сог—i,j); т, т1, т2 — итераци­

онные параметры. Числа и\, 112, V\, V2 определяют скорости в полуцелых точках. Разностные аналоги граничных условий (7), (8) получаются с помощью сноса граничных значений ф и со из точек 1\ в ближайшие к ним точки из йл°. Определяя разностные граничные условия таким образом, удается сохранить трехдиагональный вид матриц сеточных уравнений

После приведения уравнений (11) — (14) к виду (15), они могут быть раз­ решены с помощью прогонок. Прогонки ведутся во всем окаймляющем прямоугольнике, при этом для точек (i, j) е й л 2 коэффициенты Ait Bi и Fi равны нулю, а с* — единице. В точках (t,/)eQ /i°, ближайших к границе

Описанный метод решения разностных уравнений (11) — (14) в некотором смысле аналогичен методу фиктивных областей — сквозные прогонки во всей области, хотя применение метода фиктивных областей, в отличие от данного, возможно только для областей, составленных из прямоугольни­ ков19. Дифференциальная задача (5) — (9) и соответствующая ей раз­ ностная определяются семью размерными параметрами: тремя геометри­ ческими — амплитудой а, длиной волны X и средним радиусом трубки г0, двумя динамическими — фазовой скоростью волны с и расходом крови q и двумя параметрами, характеризующими свойства крови, — плотностью р и вязкостью ц. Три из этих семи параметров имеют независимые раз­ мерности, следовательно, по П-теореме безразмерное решение задачи яв­ ляется функцией четырех безразмерных комбинаций величин а, X, г0, с, р и ц20. В частности: r/pc2 = F] (е, a, Re, q) ; Ap/pc2 = F2(e, а, Re, q). Здесь т и Ар — соответственно сдвиговое вязкое напряжение и перепад давления.

Изучение зависимостей Fi и F2 для волн вида (2), (3) имеет важное практическое значение для анализа конструктивных особенностей роли­ кового насоса аппарата искусственного кровообращения, поскольку создаваемые при движении ролика перепад давления Др/рс2 и сдвиговое напряжение т/рс2, вызывающее гемолиз крови, являются одними из основ­ ных характеристик работы насоса21.

Исходя из изложенных соображений, численный эксперимент строили таким образом, чтобы изучить возможные пути повышения Др при наи­ меньших т. Во всех расчетах для волн (2) и (3) расход Q полагали рав­ ным нулю, что соответствовало случаю волны, распространяющейся по трубке с пережатыми концами. Для волн вида (1) расчеты проводились

519

при малых а, е, Re и для сравнения результатов численного эксперимента с данными линейной теории использовались формулы10

(16a,6)

Для волн вида (2), (3) параметры а, е, Re варьировались в нелинейном диапазоне. Длина расчетной области во всех случаях равнялась длине

бегущей волны (для волн (2), (3) параметр а = — , см. рис. 1).

Га

Результаты численного эксперимента. Анализ результатов показал, что для косинусоидальной волны (1) в диапазоне параметров е = 0,1—0,2; Re = 0,5— 1; а = 0,3 имеется удовлетворительное совпадение с линейной теорией, хотя шаг пространственной сетки и параметр а из-за ограниче­ ний на машинную память не удалось сделать меньшими, чем 0,1 и 0,3. Итерационный параметр т был по порядку величины равен 0(/i2), что было вызвано необходимостью обеспечить устойчивость прогонок (11), (12). Теоретический и экспериментальный профили аксиальной скорости,

превышает у/i, что позволяет сделать вывод о сходимости в норме |•|с

разностного решения к точному со скоростью ~ y/i. Как и в линейной теории, экспериментальные отношения A = vr/vz (радиальной составляю­

щей скорости к аксиальной) и В = (радиального градиента давле­

ния к аксиальному) оказались малыми параметрами. Вблизи входного и выходного сечений А ~0,01, В ~ 0,1, а на расстояниях от них в поло­ вину длины волны — 0,001, ^ — 0,01. Совпадение аксиальных градиен­ тов давления с рассчитанными по формуле (166) также оказалось удов­ летворительным (табл. 1).

Однако с ростом а, е и Re отмечается все более существенное отклоне­ ние результатов численного эксперимента от линейной теории. Расчеты для волн вида (2) в диапазоне а ^ 0 ,7 , е^0,5, R e^ 20 показали, что для течения характерно появление ряда нелинейных эффектов, обусловлен­ ных нелинейностью исходных уравнений (5), (6). Для е^0,65, т. е. при проходных сечениях трубки, составляющих более 12% ее поперечного се­ чения, перепад давления и сдвиговое напряжение с ростом е изменяются примерно в одних и тех же пределах, что и при возрастании а от 0,7 до 1,4.

Дальнейшее увеличение е приводит к резкому увеличению Ар — от

520

почтительнее увеличивать не е, а кру­ тизну волны (т. е. а), так как сдвиговое напряжение при этом увеличива­

ется гораздо медленнее (табл. 2). Подобное значительное влияние формы волны на гемолиз крови отмечается, вообще говоря, не только для роли­ ковых насосов21.

При изменении а от 0,7 до 1,5 и е<0,6 перепад давления не превышает величины 10 мм рт. ст., возрастая все с меньшей скоростью. Поэтому для достижения более высоких перепадов необходимым условием является либо дальнейшее увеличение е при постоянной скорости волны, либо уве­ личение скорости при постоянном е. Последнее оказывается более пред­ почтительным, поскольку рост скорости волны сопровождается менее вы­ раженным по сравнению с изменением е ростом сдвигового напряжения (таблицы 3, 4).

Одним из наиболее эффективных и наиболее удобных с практической точки зрения способов повышения Ар является увеличение скорости волны. Примером тому может служить увеличение оборотов роликового насоса АПК в случае как полной, так и частичной окклюзии трубки. В этом случае скорость волны равна скорости ролика, а длина — эффек­ тивной длине рабочего участка трубки насоса. Однако с ростом с, хотя и не так резко, как при е^0,7, возрастает и сдвиговое напряжение (см. табл. 4). В связи с этим допустимый диапазон варьирования скорости волны ограничен. При с=11 см/с т увеличивается до 300 дин/см2, что может привести к гемолизу крови.

Как показали расчеты для волн вида (3), одно и то же значение Ар достигается при различных скоростях, тем меньших, чем большее коли­ чество максимумов укладывается на длине волны. Таким способом до­ пустимая верхняя граница скорости, при которой еще не происходит гемо­ лиза крови, может быть существенно увеличена. Для двух максимумов на длине волны (волна (3) при а = 1 , е= 0,6 и Re = 100 средний перепад давления Ар = 3 мм рт. ст. достигается при скоростях 10 см/с, почти в два раза меньших, чем для волны (2) с одним максимумом. При этом величина сдвигового напряжения меньше в три раза и составляет 178 дин/см2. В промежутках между импульсами, когда стенки трубки деформированы

521

- р мм рт.ст.

Рис. 4. Изменение давления в крови вдоль оси трубки в зависимости от расстояния между максимумами в волне вида (3) при Re=8,0, а= 1, е=0,6; 1 — A2i/r0=0,45; Да/г0=0; 2 — Az2/r0= 0,35; Да/г0=0; 3 — Дг3/го = 0,35; Да/г0 = 0,55.

Резюмируя все изложенное выше, можно сделать следующие выводы: как и в14, при е^0,5, а ^ 0 ,7 результаты численного эксперимента сущест­ венно отличаются от данных, полученных из линейной теории; перепад давления Ар и сдвиговое напряжение т в жидкости нелинейно зависят от а, е и Re, причем достижение тех или иных перепадов при наименьших т осуществляется варьированием лишь одного из этих трех параметров, характерного для каждого определенного диапазона величин Ар; исполь­ зование волны вида (3) позволяет достичь больших по сравнению с вол­

нами вида (2) средних по периоду волны перепадов давления Ар при меньших сдвиговых напряжениях, кроме того, изменение расстояния между максимумами в волне (3) может служить простым и эффективным способом получения импульсов давления с заданным законом изменения во времени.

В заключение следует отметить, что, возможно, по аналогии с симмет­ ричным и несимметричным стенозами использование осесиметричного де­ формирования трубки (волны (1) — (3) позволило бы по сравнению с несимметричным деформированием значительно уменьшить создаваемые сдвиговые напряжения, поскольку для стенозов в этом отношении фак­ тор симметрии существен22.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Burns J. С., Parkes Т Peristaltic motion. — J. Fluid Mech., 1967, vol. 29,

p.731—743.

2.Регирер С. А. О движении вязкой жидкости в трубке с деформирующейся стен­ кой. — Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1968, № 4, с. 202—204.

p.669—675.

6.Shapiro A. H„ Jaffrin Л4. Y., Weinberg S. L. Peristaltic pumping with long wavelengths at low Reynolds numbers. — J. Fluid Mech., 1969, vol. 37, part 4,

p.799—825.

7.Fung Y. C., Yih C. S. Peristaltic waves in circular cylindrical tubes. — J. Appl. Mech., 1969, vol. 36, p. 579—587.

8. Zien T. F., Ostrach S. A long wave approximation to peristaltic motion. —

J.Biomech., 1970, vol. 3, p. 63—75.

9.Li С. H. Peristaltic transport in circular cylindrical tubes. — J. Biomech., 1970, vol. 3, p. 513—523.

522

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 3, с. 524—527

УДК 539.135:611.1

А. В. Агафонов, М. М. Литвинов

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРОТЕЗОВ АОРТАЛЬНЫХ КЛАПАНОВ*

Гидродинамические процессы, протекающие при работе искусствен­ ных клапанов сердца, определяются значительным числом факторов. Эти процессы подчиняются общим физическим закономерностям, выражен­ ным уравнением Навье—Стокса и уравнением неразрывности.

В настоящей работе предлагается метод оценки гидродинамических потерь на протезах аортальных клапанов сердца.

Принятые в настоящее время методы оценки гидродинамических по­ терь позволяют производить сравнение клапанов по их усредненным параметрам. В работе1был предложен следующий набор параметров для оценки аортальных клапанов: 1) сопротивление открытию клапана, мм рт. ст. 2) максимальный систолический градиент, мм рт. ст.; 3) средний эжекторный градиент, мм рт. ст.; 4) индекс стеноза, корень квадратный из эжекторного градиента; 5) площадь аортального отверстия, см2 —

6) сопротивление закрытию — запаздывание закрытия аортального кла­ пана от момента падения аортального подкамерного давления вплоть до закрытия, мс; 7) средний градиент диастолического давления.

Подобными параметрами пользовались и другие исследователи2’ 3. Наряду с целым рядом положительных качеств параметры такого рода имеют определенные недостатки. Так, параметры, связанные с из­ мерением давления (например максимального систолического гра­ диента), сильно зависят от типа датчиков и местоположения катетера: в ходе одной пробы они могут изменяться на 15—20%. Кроме того, такие исследования плохо стандартизуются, что затрудняет сравнение коли­ чественных результатов. Параметры типа среднего эжекторного гра­ диента сильно зависят от нагрузки и характеризуют скорее не один кла­

пан, а клапан и сосудистую часть сердечно-сосудистой системы. Сопротивление открытию клапана — безусловно, важнейший пара­

метр, но он характеризует только вязкое сопротивление, а инерционное сопротивление, потери на кинематический фактор, турбулентность (если она есть в данном режиме) не учитываются. По этим параметрам трудно сравнивать разные клапаны, если условия проведения эксперимента не были тождественны. Поэтому необходим набор параметров, характери­ зующих и клапан, и режим работы.

Для оценки гидродинамического сопротивления клапана предполо­ жим, что кровь — несжимаемая ньютоновская жидкость, а стенка аорты обладает вязкоупругими свойствами. При этих предположениях можно записать уравнения Навье—Стокса в цилиндрических координатах:

Доклад, представленный на II Всесоюзную конференцию по проблемам биомеха­ ники (Рига, апрель 1979 г.).

524