Механика композитных материалов 3 1979

22. Johnson D. J., Crawford D., Jones B. F. Three phasstructure in highmodulus

25. Rand B., Robinson R. Surface characteristics of carbon fibers from PAN. — Carbon, 1977, vol. 15, p. 257—263.

26.Rand B., Robinson R. — Carbon, 1977, vol. 15, p. 311—315.

27.Nichioka, Murayama K-, Matsubara /. 1st Symp. on Compos. Materials, Tokyo, 1975, Sept. 19—20.

28.Ehrburger P., Herque J. J., Donnet J. B. Recent developments in carbon fiber treatments. — 4th London Intern. Conf. on Carbon and Graphite, Sept. 23—27, 1974. Soc. Chem. Ind., London, 1976, p. 201—208.

29.Moller P. J., Fort T. jr. Structure analysis of graphite fiber surfaces. 1. Mass

spectrometry and low temperature adsorption of N2 and Ar. — Coll, and Polym. Sci., 1975. vol. 253, p. 98— 103.

30.Fowkes F. M. Donor-acceptor interactions at interfaces. — J. Adhesion, 1972, vol. 4, p. 155— 159.

31.Kaelble D. H. Physical Chemistry of Adhesion. N. Y„ 1971. 507 p.

32.Kaelble D. H., Dynes P. J., Cirlin E. H. Interfacial bonding and environmental stability of polymer matrix composites. — J. Adhesion, 1974, vol. 6, p. 23—48.

34.McLean A. F.. Kalnin I. L. US Pat. N 3 864 626, 1975, Feb. 4.

35.Sharp J. V., Burnay S. G., Matthews J. R., Harper E. A. Defect limitations to the

36.Thorne D. J. Distribution of internal flaws in acrylic fibres. — .J. Appl. Polym. Sci., 1970, vol. 14. p. 103— 113.

37.Schmitz G. K-, Metcalfe A. G. Stress corrosion of E-glass fibers. — Proc. Ann. Tech. Conf. of RP/Compos. Inst. Soc. Plast. Ind., 1965, vol. 20, 3-A (N. Y.).

38.Baer E., Koenig J. L., Lando J. B., Litt M. H. New concepts on fiber-matrix

interfacial behaviour for composite materials. — Proc. Ann. Tech. Conf. of RP/Compos. Inst. Soc. Plast. Ind., 1971, vol. 26, 20-E (N. Y.).

39. Скудра A. M., Кирулис Б. А. Критерий адгезионной прочности при воздействии нормальных и касательных напряжений. — Механика полимеров, 1974, № 2, с. 246—251.

40.Berg С. A., Tirosh J., Israeli М. Analyses of short beam bending of fiber rein­ forced composites. — Composite Materials: Testing and Design. 2nd Conf. ASTM STP, 497, 1972, p. 206—218.

41.Chamis С. C., Sinclair J. H. — Exp. Mech., 1977, vol. 17, p. 339—346.

42.Broutman L. J. Mechanical requirements of the fiber-matrix interface. — Proc. Ann. Tech. Conf. of RP/Compos. Inst., Soc. Plast. Ind., 1970, vol. 25, 13-B (N. Y.).

43.Andreevskaya G. D., Gorbatkina Y. A. Adhesion of polymeric binders to glass fibers. — Proc. Ann. Tech. Conf. of RP/Compos. Inst. Soc. Plast. Ind., 1970, vol. 25, 16-F (N. Y.).

44.Hawthorne H. M., Teghtsoonian E. Graphite fiber-epoxi matrix interface inter­ actions. — J. Adhesion, 1974, vol. 6, p. 85— 105.

45.Favre J. P., Perrin J. Carbon fiber adhesion to organic matrices. — J. Mater. Sci., 1972, vol. 7, p. 1113— 1118.

46.Андреевская F Д., Горбаткина Ю. А., Иванова-Мумжиева В. Г., Епифанова С. С.

Исследование адгезионной прочности эпоксидного полимера к углеродным, стеклянным и стальным волокнам. — Механика полимеров, 1974, № 1, с. 37—42.

47.Келли А. Высокопрочные материалы. М., 1976.

48.Beaumont Р. W. R. Fracture mechanics approach to failure in fibrous com­ posites. — J. Adhesion, 1974, vol. 6, p. 107— 137.

49.Wadsworth N. J., Spilling /. Load transfer from broken fibres in composite ma­

terials. — Brit. J. Appl. Phys. (J. Phys. D), 1968, sec. 2, vol. 1, p. 1049— 1058.

50. Claus W. D. jr. Random filament misalignment and graphite composite shear behaviour. — Proc. Ann. Tech. Conf. of RP/Compos. Inst. Soc. Plast. Ind., 1972, vol. 27 9-C (N. Y.).

51.Hancox N. L. The effects of flaws and voids on the shear properties of CFRP.— J. Mater. Sci., 1977, vol. 12, p. 884—892.

52.Шами К. Механизм передачи нагрузки через поверхность раздела. — В кн.: Композиционные материалы. Т. 6. М., 1978, с. 42—87.

405

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 3, с. 407—413

УДК 539.3:678.5.06

А. Ф. Крегер, Ю. Г. Мелбардис

ОПТИМИЗАЦИЯ СХЕМЫ АРМИРОВАНИЯ КОМПОЗИТА ПО ДЕФОРМИРУЕМОСТИ ПРИ ЗАДАННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ

В ряде работ1-5, в которых вопросы выбора оптимальной формы и схемы армирования конкретных технических изделий исследованы с по­ зиций прочностных, деформативных или иных соображений, в качестве критериев оптимальности использованы принципы минимизации массы изделия, равнопрочности отдельных слоев или равнонапряженности во­ локон отдельных направлений армирования. Часто оптимальными при­ няты направления армирования, совпадающие с траекториями главных напряжений. В данной работе рассмотрены некоторые задачи определе­ ния схемы армирования, которая обладала бы наименьшей деформируе­ мостью, при поочередном воздействии на материал нескольких разных напряженных состояний.

Материальная точка реальной конструкции в условиях транспорти­ ровки, монтажа, различных режимов эксплуатации подвергается воздейст­ вию разных напряженных состояний, которые в шестимерном простран­ стве напряжений стар (а ,$ = x,y,z) образуют одну или несколько замкну­ тых областей. Оси х, у, z являются осями композита, и их удобно со­ вмещать с осями симметрии механических свойств материала. Каждая такая область в пространстве аар включает точки ожидаемых напряжен­ ных состояний материала. Замкнутую поверхность, включающую упомя­ нутую область, назовем поверхностью ожидаемых напряженных состоя­ ний (ПОНС). В работах6-8 ПОНС была задана длиной радиус-вектора

^CT = y /2CT= const(/2cr= 1), т. е. длина вектора напряжений была принята постоянной величиной (/га = сггjffji). В этом случае ПОНС включает замк­ нутую, однозначную и односвязанную область. В реальных задачах нали­ чие дополнительной информации позволяет задать Ra как функцию от ориентации луча нагружения в пространстве аар-

Критерий оптимальности схемы армирования композита построен на базе понятия поверхности деформируемости материала6. Эта поверх­ ность, дающая возможность графически наглядно изобразить деформативные свойства материала, также строится в пространстве стар. Построе­ ние поверхности деформируемости проводится следующим образом. Ма­ тематическая модель материала нагружается поочередно по всем возможным лучеобразным путям в пространстве оар до ПОНС (если вы­ бранный луч нагружения пересекает ПОНС несколько раз, то до точки, наиболее отдаленной от начала координат ПОНС). В этой точке луча на­ гружения определяются все компоненты тензора деформаций еар (см.9) и инварианты /iE= eap6ap; / 2e = eapepaТочка поверхности деформируе­ мости тогда находится на рассматриваемом луче нагружения на расстоя­ нии RE от начала координат. Радиус-вектор Re представим в виде7:

При этом рассмотрим два варианта:

( / , - 2 / 2) (3/,+4/г)

1) ф= 0; 2) ф= ф* =

где / 1= S йарор; h = S flaapp; /ц h — инварианты тензора податливости.

a. Р=х, у, г а. Р =х,у,г

407

При aj? = 0 радиус-вектор Re равняется длине вектора деформаций. Во втором случае (ф=,ф*) Re обладает замечательным свойством быть по­ стоянной величиной для любого пути нагружения в шестимерном про­ странстве напряжений при Ra = ha = const, если материал является физи­ чески линейным, упругим и изотропным. По форме построенной таким образом поверхности деформируемости можно судить о степени анизотро­ пии деформационных свойств композитных материалов7. Более жесткий материал характеризуется меньшими радиус-векторами Re, т. е. меньшей поверхностью деформируемости. Последняя зависит от таких факторов, как количество и ориентация в пространстве х, у, z отдельных направле­ ний армирования, относительных объемных коэффициентов армирования

Для случая Ro = yi2o= const поверхность деформируемости линейного анизотропного материала при ф=ф* служит для оценки как степени ани­ зотропии, так и степени деформируемости материала. Характеристикой деформируемости в этом случае было предложено7 использовать коэффи­ циент &*д= #сср/#кср, где # сср и /?кср — средние арифметические всех ра­ диус-векторов поверхности деформируемости неармированной матрицы (Rc) и композита (/?«)■ Но если Ra является сильно выраженной функ­ цией от ориентации в пространстве оар, то практически более важно определить максимальный из всех имеющихся радиус-векторов поверх­ ности деформируемости, и чем он будет меньше, тем более приспособлен­ ным для восприятия данного множества напряженных состояний можно считать данный композит. В качестве целевой функции при оптимизации структуры композита это можно написать следующим образом:

maxRE= Re и целевая функция Ф = /г*д-ит1ах работы8 совпадает с (2). Рассмотрим поверхность ожидаемых напряженных состояний в про­ странстве Охх, Оуу (рис. 1). Пусть сектор II представляет собой совокуп­ ность лучеобразных путей нагружения вблизи луча 2аХх= оиу с углом cp2 = arctg(2) (напряженное состояние в цилиндрической оболочке с про­ дольной осью х при внутреннем давлении). Величина флуктуаций вблизи луча 2охх= Оуу характеризуется углом 2|32. Принято, что в пределах этого

сектора все лучи нагружения имеют одинаковую длину RaLI = '}/ha1I=

408

= const. Пусть секторы I и III отражают ожидаемые напряженные состоя­ ния в процессе транспортировки и монтажа (изгиб, растяжение). Кроме того, ожидаются случайные силовые воздействия на материал, которые можно представить в плоскости ахх, оуу в виде круга (фон) с радиусом Ra°. С увеличением размерности пространства напряжений секторы I, II

идр. примут форму конусов, а фон — форму шара.

Впоследующих задачах будет рассмотрено несколько конкретных схем армирования, представленных в общем виде на рис. 2. Каждое из трех изображенных направлений армирования (N= 3) в плоскости х, у характеризуется своим углом армирования а* и объемным коэффициен­ том армирования р*.

Схема А. Взаимно ортогональное армирование в плоскости х, у; N = 2.

Дано: ai = 0°, a2 = 90°; рз = 0. Определяется отношение pi/p2 при заданных Цх ИkE = E&IEc.

Схема В. Косоугольное, симметричное армирование относительно осей х, у\ N = 2. Дано: а2=180° — аг, р3 = 0. Определяется угол а\ при за­ данных Цх и kE.

Схема С. N = 3. Дано: а2=180° — аь а3 = 90°; рз^О; pi = p2. Определя­ ются ai и pi/pz при заданных р2 и kE.

Размеры элементарного кубика материала принимаются значительно превышающими размеры составляющих его элементов структуры, поэтому будем пользоваться только понятиями макронапряжений и мак­ родеформаций. Свойства композита определим по механическим характе­ ристикам арматуры Е&и 'va = 0,2, связующего Ес= 1 и vc = 0,4, коэффи­ циентам армирования отдельных направлений р* и суммарному объем­ ному коэффициенту армирования рх согласно9.

В табл. 1 представлены некоторые результаты исследования схемы

лизе принято, что геометрия области II сохраняется постоянной, а геомет­ рия областей I и III меняется при помощи коэффициента k, 0^ /г< о о . Для малых значений коэффициента k оптимальная схема армирования, т. е. угол аь однозначно определяется параметрами фг и 02 области II. Каждому 02 соответствует такое значение k = k0, начиная с которого об­

даны значения при ф= ф* В табл. 1 представлены значения оптимальных углов армирования

структуры В при 202 = 15°, £ а=100, рх = 0,6 и разных значениях коэффи­ циента k. Видно, что с ростом длины областей (секторов) I и III ориен-

Табл. 1

Оптимальный угол армирования а\ в косоугольной схеме В при 20, = 15° в зависимости

409

тация арматуры постепенно приближается к оси х, т. е. ближе к направ­ лению приложения напряжения охх• ____

При наличии только сектора II на рис. 1 (/?0п = УЛго11= 1, q)2 = arctg (2); 0 °^ 2 р 2^45°; RoI=Rom = Ro° = 0) исследована деформируемость несколь­ ких схем. Результаты приведены на рис. 3. Кривая 1 представляет рост maxRB в зависимости от угла 2|32 для схемы армирования А при ф= 0. Видим, что с увеличением количества арматуры в направлении при­ ложения Gxx (отношение p,i/p,2> кривая 6 при ф= 0 и кривая 7 при ф= ф*) удается удержать т а xRe в пределах от 0,0343 до 0,0370. Отношение |ii/p2 при этом растет от 0,374 до 0,5. Косоугольная схема армирования В в данных условиях лучше схемы А только при малых значениях 2(32 (2р2 = 0, ф= 0, max Re= 0,0328, ои = 55,22°). С ростом угла 2р2 изменение угла а\ в схеме В уже не может препятствовать росту значения шах/?е (кри­ вая 5), которое при 2(32 = 45° становится равным 0,133. Угол а\ при этом уменьшается незначительно: от 55,22 до 54,98°. Изменение т а xRe в зави­ симости от угла 2(32 для хаотической схемы армирования в плоскости х, у изображено кривой 2 (ф = 0), а для пространственно-хаотического арми­ рования — кривой 3 (ф = 0; при ф= ф* — кривой 4, которая представляет собой прямую с постоянным значением max RE= 0,097 для любого 2|32).

Видно, что с ростом 2р2 обе схемы хаотического армирования стано­ вятся жестче косоугольной схемы В. С переходом на ф= ф* эти выводы остаются в силе. Можно составить ряд рассмотренных схем армирования по жесткости в убывающей последовательности: при 2fJ2 = 0° — схема В, схема А, хаотическое армирование в плоскости х, у, пространственно­ хаотическое армирование; при 2(52 = 45° — схема А, хаотическое армиро­ вание в плоскости х, у, пространственно-хаотическое армирование, схема В.

Влияние отношения модулей kE и суммарного коэффициента армиро­ вания р2 на параметры схем А, В и С рассмотрим при р2-Я )°, Ral=Roll= = Ro° = 0, т. е. для луча 2охх= оуу. Численные результаты минимизации

(2) при некоторых значениях kE и ц2 представлены в табл. 2. Кроме того, на рис. 4 построены графики изменения варьируемых параметров армиро­ вания pi/ps и ai в зависимости от численных значений kE и Анализ показывает, что для данного луча нагружения схема А, в которой арма­ тура расположена по направлениям главных напряжений, является худ­ шей по сравнению со схемами армирования В и С. Наибольшей жесткости материала при ф=ф* удается достичь по схеме С. При ф= 0 оптимизация схемы С приводит к схеме В (р,3-Я )). Из сопоставления результатов вари­ антов ф= 0 и ф= ф* следует, что при kE>20 и (.I2> 0,2 они расходятся не­ значительно (меньше 5% ), при этом вариант с ф= 0 требует относительно больше арматуры в направлении наибольшего напряжения ауу. Интерес­ ным является тот факт, что для всех трех схем армирования (как при ф= 0, так и при ф=ф*) при малых коэффициентах kE и ц2 практически

Табл. 2

Параметры |Х|/р,2 и <х\ для схем армирования А, В, С при двухосном растяжении 2о Хх= (Ууу, найденные из минимизации max R<>

Примечания. I — лр = 0; II —

410

всю арматуру следует расположить в направлении наибольшего нормаль­ ного напряжения.

Если коэффициент kE стремится к бесконечности, то в схеме А вели­ чина p,i/p,2 стремится к величине 0,4, а в схеме В угол а\ — к значению ~54°. В обоих случаях результат становится мало чувствительным от изменения Такой же угол си получен в работах1011 из оптимизации схемы В на прочность. Была сделана попытка ввести в расчет дополни­ тельное армирование по направлению нормали к плоскости нагружения (при р2= const), но не удалось найти сочетания параметров kE и р2, кото­ рое имело бы преимущество по сравнению с рассмотренными плоскими схемами армирования. Более подробный анализ схемы С при ф= ф* пока­

для схемы В ( ± oci) было найдено, что при ф= ф* и kE>25 для разных

kE и ре-

Любое плоское напряженное состояние в плоскости х, у можно преоб­ разовать к главным осям тензора напряжений, в которых сдвиговые на­ пряжения будут равны нулю. Главные компоненты тензора напряжений обозначим через ai и ог (оз = 0). Та­

ким образом, вопрос об определении оптимальных значений параметров армирования для схем типов А и В в случае произвольного плоского на­ пряженного состояния сводится к

Рис. 3. Зависимости наибольшего радиус-вектора Rc поверхности деформируемости (У—5) и отношения pi/ps (6,7) от угла 2$2- У — схема армирования А, ф = 0; 2 — хаотическое армирование в плоскости х, у, ф=0; 3 — пространственно-хаотическое армирование, ф = 0; 4 — то же, ф=ф*; 5 — схема армирования В, ф = 0; 6 ,7 — схема

армирования А при ф=0,7 и ф* соответственно. Rall=Yh<ju = 1, Ral — RaUI = Ra°= 0, <pi = arctg (2) (см. рис. 1).

Рис. 4. Зависимости относительного коэффициента армирования p,i/p,s (а) и угла арми­

рования ai (б) от общего коэффициента армирования цц и EJEC при двухосном растя­ жении 2аХх = о уу для схем А (а) и В (б); ф=ф*. EJE0 = 6 (У); 12 (2); 25 (3); 50 (4);

100 (5); 200 (6); оо (7).

411

Табл. 3

Параметры Ц|/|Л2 и cci схем армирования А и В и величина max Re для отдельных лучей нагружения в плоскости главных напряжений сч, cr2 (cTj = 1 - cos ф; а2=1 "Sirup; сг3 = 0; ф = 0; p,v=0,60)

рассмотрению произвольных путей нагружения в плоскости о\, сггДля определения ориентации арматуры относительно направлений приложе­ ния напряжений щ и ог используем рис. 2 со следующими изменениями: стзезе= CTI; ОуУ= 02\я->-1; у-*-2; оху= 0. Длину луча нагружения в плоскости

CTI, 02 принимаем равной Ra = l/l2a= const, а компоненты напряжения о\ и 02 определим как o\ = Racos <p; a2 = i?asin(p; 0^ с р < 2я. Путем измене­ ния ф можем задать любое направление луча нагружения в плоскости х, у. Численные значения щ/цг и а\ и соответствующие им т а xRBв зави­ симости от ф приведены в табл. 3.

Данные показывают, что при главных напряжениях сп и 02 одинако­ вого знака наиболее жесткой согласно критерию (2) является косоуголь­ ная схема армирования В. За ней следует ортогональная схема армиро­ вания А с расположением арматуры по направлениям главных напряже­ ний. Распределение арматуры по направлениям ai и <т2 пропорционально их абсолютным значениям дает жесткость композита, несколько меньшую

*N — количество дискретных направлений армирования.

**Получено из минимизации max Rt.

***Принято (ii/|.i2= |(Ti/cr2|.

412

ции maxi?e). Отношения pii/ji2 при этом различаются более сильно, чем величины т а xRe. Если главные напряжения разных знаков, то косо­ угольная схема армирования, симметричная относительно cii и 02, стано­ вится менее выгодной по сравнению с ортогональной.

В табл. 4 приведены результаты исследования оптимального армиро­

тельно осей х, у (см. рис. 2). Видно, что наименьшую деформируемость композита дает применение косоугольной схемы армирования, симмет­ ричной относительно направлениям главных напряжений (шах ^ е= 0,024). Накопление знаний в области оптимального армирования материала при заданных напряжениях позволит более рационально выбрать тип схемы армирования в задачах оптимизации конструкций с изменяющимся по координатам напряженным состоянием.

Выводы. 1. На базе понятия поверхности деформируемости материала предложен способ определения оптимальной схемы армирования для слу­ чая, когда задана область ожидаемых напряженных состояний.

2. Из рассмотренных примеров деформируемости композита при про­ извольном плоском напряженном состоянии (нагружение по отдельному лучу) можно сделать вывод, что для достижения наибольшей жесткости согласно критерию (2), необходимо при малых численных значениях от­ ношения модулей kE = EJEc (&E<10) и коэффициента армирования (ц2< 0,1) практически всю арматуру ориентировать в направлении наи­ большего по абсолютному значению главного напряжения; при больших значениях kE и р,2 и главных напряжений одинакового знака проводить армирование не по направлениям главных напряжений, а применять косоугольные схемы армирования, симметричные относительно осей главных напряжений.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Оптимальное проектирование конструкций. Библиограф, указ. Ч. 1, 2. Новоси­ бирск, 1975. 472 с.

2.Рикарде Р. Б., Тетере Г. А. Устойчивость оболочек из композитных материалов.

Рига, 1974. 310 с.

3.Лукошевичюс Р. С., Рикарде Р. Б., Тетере Г А. Вероятностный анализ устойчи­ вости н минимизации массы цилиндрических оболочек из композитного материала со случайными начальными несовершенствами. — Механика полимеров, 1977, № 1, с. 80—89.

4.Адамович И. С., Рикарде Р. Б. Оптимизация по массе оболочек вращения с пере­ менней геометрией и структурой армирования. 1. Оптимизация оболочек вращения, ра­ ботающих на устойчивость при внешнем давлении. — Механика полимеров, 1977, № 3, c. 494—502.

5.Микишева В. И. Оптимальная намотка оболочек из стеклопластика, работаю­

щих на устойчивость под внешним давлением или осевым сжатием. — Механика поли­ меров, 1968, № 5, с. 864—875.

6.Крегер А. Ф., Зилауц А. Ф. Численные характеристики степени анизотропии механических свойств материалов. — Механика полимеров, 1978, № 4, с. 601—609.

7.Крегер А. Ф., Зилауц А. Ф. Вариант построения численных характеристик сте­ пени анизотропии деформируемости физически линейных материалов. — Механика поли­

меров, 1978, № 6, с. 1013— 1019.

8.Крегер А. Ф., Зилауц А. Ф. Анализ интегральных характеристик деформируе­ мости некоторых двухмерно- и трехмерно-армированных композитов. — Механика композитных материалов, 1979, № 1, с. 21—26.

9.Крегер А. Ф., Мелбардис Ю. Г. Определение деформируемости пространственно армированных композитов методом усреднения жесткостей. — Механика полимеров,

1978, № 1, с. 3—8.

10. Uemura М., Yamawaki К. Fracture strength of helicalwound composite cy­ linders. — Proc. of 9th Intern. Symp. of Space Technology and Science. Tokyo, 1971,

p.215—223.

11.Tennyson R.C., McDonald D., Nanyaro A. P. Evoluation of the polynomial failure

criterion for composite materials. — J. Compos. Materials, 1978, vol. 12, January, D. 63—75.

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 3, с. 414—423

УДК 539.375:678.5.06

Б.Е. Победря

КТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ к о м п о з и ц и о н н ы х

МАТЕРИАЛОВ

Достаточно широко распространенным представителем композицион­ ных материалов являются армированные полимеры и прежде всего стек­ лопластики. Характерной особенностью композиционных полимерных материалов является то, что некоторые их компоненты обладают вязкоупругими свойствами. Определение напряженно-деформированного со­ стояния в таких композитах связано со значительными математическими трудностями и существенно зависит от конструктивных особенностей композиционного материала. Ниже предлагается метод для расчета вязкоупругих композитов, имеющих регулярную структуру, т. е. когда в пространственном распределении механических неоднородностей мате­ риала имеется определенный порядок.

1.Рассмотрим линейное неоднородное вязкоупругое тело, для кото­

Тензор четвертого ранга Cijhi{x,t, т) называется тензором ядер релакса­ ции среды. Предположим, что соотношения (1.1) можно обратить:

Здесь Jijhi{x,t,T) — тензор ядер ползучести. Для деформируемого твер­ дого тела возможность записи двух взаимно обратных соотношений .(1.1)

При этом между «регулярными» 1составляющими С и / существует зави­

симость t

В случае, если материал не является стареющим, ядра релаксации и пол­ зучести являются ядрами разностного типа и уравнения ( 1.1) и ( 1.2) мо­ гут быть записаны в виде1:

t

Oij= J Rijld{x, t-T)dEkl(T)z=Rijkl{x)Ehh

Eij= J Tlijhi(\t t-T)dGhi(x) =Ilijhi{x)Gki,

0

414