Механика композитных материалов 1 1980
..pdf
5. Теоретический расчет упругих характеристик дефектного мате риала с учетом конкретного характера структуры дефектов дает хоро шее совпадение с экспериментальными данными.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Тамуж В. П., Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных материа лов. Рига, 1978. 294 с.
2.Олдырев П. П. О накоплении повреждений в стеклопластике при циклическом растяжении—сжатии. — Механика полимеров, 1971, № 5, с. 881—885.
3.Nielsen L. Е. Fatigue behavior of some filled polymers. — J. Composite Materials,
1975, vol. 9, April, p. 149— 156.
4. Парфеев В. M., Олдырев П. П. Оценка поврежденности стеклопластика при цик лическом изгибе. — Механика полимеров, 1977, № 6, с. 1058— 1061.
5. Tanimoto Toshio, Anijama Sadao. Progressive nature of fatigue damage of glass fiber reinforced plastics. — J. Composite Materials, 1975, vol. 9, October, p. 380—390.
6.Энциклопедия полимеров. T. 3. M., 1977. 542 с.
7.Вилкс У. К. Устройство для измерения деформаций. Авт. свидетельство СССР
№355486. — Открытия, изобретения, промышл. образцы, товарные знаки. 1972, № 31.
8.Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В. Теория вероятностей и математическая
статистика в технике. М., 1955. 556 с.
9. Малкин А. Я-, Вольфсон С. А., Кулеэнев В. Н., Файдель Г И. Полистирол. М., 1975. 287 с.
Институт механики полимеров |
Поступило в редакцию 13.03.79 |
АН Латвийской ССР, Рига |
|
и в дальнейшем все индексы принимают значения 1, 2, за исключением индекса k= 1,2,3, которым будем отмечать величины, относящиеся к
£-му слою.
Положение произвольной точки в недеформированной и деформиро ванной пластине можно определять радиус-вектором R и R*, соответст венно: R= r(0l,02) +zn; R*= R+Hi(ft)ri+ am, где иi(h) — ковариантные компоненты вектора тангенциальных перемещений k-ro слоя; w — нор мальное перемещение точек исходной поверхности.
Ковариантные компоненты пространственного метрического тензора g и метрического тензора срединной поверхности заполнителя а связаны
соотношением ga = ciij.
Для деформаций поперечного сдвига, опуская нелинейные члены, со держащие тангенциальные перемещения, имеем выражение
Yi3^ = 2ei3^ = R^iR*^- R,iR,3= wi,3(ft) + W,i-
Дифференцирование по координате, как обычно, обозначаем индексом, следующим после запятой.
Примем допущение о распределении поперечных сдвиговых деформа
ций в заполнителе в следующем виде: |
|
|
|
|
Mi,3l3) + o\i-= oti(01, 62)4 ^ • |
(1-1) |
|
|
|
UZ |
|
Интегрируя (1.1) |
по z, найдем закон изменения тангенциальных переме |
||
щений по толщине заполнителя |
|
|
|
« i (3>= U i + z Q |
i + f a . i ( — |
W-£(3)( 0 1, в 2, 0 ) = M i; |
0 ; = — ш,,-. |
|
|
|
( 1.2) |
Принимая во внимание гипотезы Кирхгофа—Лява и условия непрерыв ности на границах контакта слоев, приходим к следующему закону рас пределения перемещений по толщинам несущих слоев:
Uiil) = Ui + zQi + ct+ai |
( c ^ z ^ c + /ii); |
= щ + |
ct-oa |
(— c— h2^ z ^ |
— c)\ f(c)=ct+\ |
f( — c) = —ct-. |
|
Тангенциальные деформации слоев определим по формуле
2etj(/l)=R :':,iR*,j —R,iR,j= |
+ V jUiM + wjWj, |
(1.4) |
где Vi обозначает ковариантное дифференцирование на исходной поверхности. Окончательно из (1.4) с учетом соотношений (1.2), (1.3) получим:
8ij(1) =£ij + ZXfj T" Ct-^-CLij» |
ZTtij Ct—Oiij> |
|
eij(3) = eij + zxij + faij; eo = y |
(VtMj +V jH i + tt>tii 0 j) ; |
(1.5) |
^ij=_^~(^i0j"T Vj0j); c |
=_2~(ViOCj+ VjCti). |
|
Контравариантные компоненты тензора напряжений о связаны с ковариантными компонентами тензора деформаций е посредством закона Гука (по индексу k суммирование не ведется).
G(h)ij=b(k)^mnemnW\ Or(3)l‘3=S(3)ijVj3(3). |
(1.6) |
Следуя [2], представим энергию деформации пластины в виде: £/= -у IJ (A^^'eij+ Aiij'xij + //^'aij + Ql'ai)yarf01^02.
В этом параграфе разовьем результаты [14] на случай учета попереч ных сдвиговых деформаций и покажем, что реальный диапазон пренебре жения вторым инвариантом можно несколько расширить на практически важный класс трансверсально изотропных слоистых пластин несиммет ричной структуры.
Отнесем моменты к некоторой поверхности, отстоящей от исходной на расстоянии ^1, а обобщенные моменты приведем к поверхности, отстоя щей от исходной на расстоянии £2:
= — |
Я^ = Н ^ —12ЯД |
(2.1) |
Введем усилия и моменты из |
(1.8) в (2.1) и предположим, что |
и |
не зависят от деформаций удлинений и сдвига исходной поверхности. При этом считаем, что такие поверхности существуют и будем называть их в дальнейшем М-поверхностью и //-поверхностью.
Приравнивая в соотношениях (2.1 ) коэффициенты, стоящие перед де формациями исходной поверхности, нулю, приходим к следующим равен
ствам: |
(2.2) |
Qijmn _ £2Дгjinn= |
Равенства (2.2) можно трактовать как условия приведения слоистой пластины к однородной. Отсюда заключаем, что в общем случае анизо тропной трехслойной пластины условия приведения (2 .2 ) тождественно удовлетворяются лишь для симметричного пакета слоев. Если же не ста вится каких-либо ограничений на упругие характеристики материала слоев и на геометрию пластины, то не существует М- и Я-поверхностей приведения.
Совершенно иной оказывается ситуация для трансверсально изо тропных пластин. Не составляет труда проверить, что условия приведе ния (2.2) выполняются, когда коэффициенты Пуассона слоев равны и
расстояния до М- и Я-поверхностей вычисляются по формулам £i = hc\$\
£2= 2_^Ci2; Ci3= yi (^i+ ^3) —72(^2 + ^) 5 C\2= h{y\t+ —Y2^-) + ^зУз^> где Y/I
безразмерные жесткостные характеристики; Eh — модуль упругости /г-го
з
слоя; Е — усредненный модуль упругости; yh = thEhE~x\ Е= 2 tuEh. А= I
Формулы (1.8) значительно упрощаются, если положить
6 i j ==Bij® £ iX ij Mi Mi® ^ 10 г ^2 (^ •‘^)
тогда |
|
|
|
= А^тпетп°\ |
= DQ^mny.mn+ £ 0ijmnamni |
= £oijmn% n + /V jmncw ; |
|
|
|
|
(2.4) |
Q^ijran — £)ijmn |
E tfimn = £ ijm n — 1^2.E^mn\ |
/ ?Ql j m n = /* Я т п — ^ C |
^ 77171, |
причем из (2.2 ) справедливы равенства |
|
|
|
|
£>2Biimn= t)iCiimn. |
|
|
Здесь ец°, щ° |
— обобщенные деформации |
и перемещения |
ец® = |
= -l-(ViMj0+ V iiii® + wtiWtj) . Для анизотропных трехслойных пластин сим
метричной структуры £I =£2 = 0 и обобщенные деформации совпадают с деформациями исходной поверхности.
Величина |
(2.5) |
/= G^eij® |
причем контурные моменты и обобщенные контурные моменты должны
быть приведены к М- и Я-поверхностям. |
Тогда |
Рассмотрим процесс движения на отрезке времени |
интеграл по времени от вариации кинетической энергии пластины выра жается следующим образом:
ъъ
J бTdt = н |
я [ — |
(VjWi + phw)8w —V^6aj] X |
||
Ei |
h |
s |
|
|
xyadQxdQ2+ |
^ |
Wvbwdst } d H -{ |
[Uj8uj°+ (V jWi + phw)6w + |
|
|
L |
|
s |
|
|
+ Vi6aj]l/adQxdQ2— ^ |
(2.7) |
||
|
|
|
L |
|
Здесь ph — плотность материала k-го слоя; точка означает дифференци
рование по времени;
c+/ii —с с 3
^ j = Pi J |
thi)jdz + p2 J |
U(2)jdz + p3§ |
U(3)jdz\ p/i = X j 9khk\ |
|
c |
|
—c —h i |
—c |
h = 1 |
|
c+/li |
|
—c |
c |
Wi = pi |
J |
m{)izdz+p2 §u(2)jzdz+p3 J u ^ z d z - ^ U ^ |
||
|
c |
|
—c—hi |
—c |
|
c + h t |
|
|
|
Vi = ct+p i |
J |
U(\)idz— ct-p2 J M(2)Jd z + p3 J u ^ fd z — ^Ui- |
||
|
|
|
—c—hi |
|
Для вывода уравнений движения воспользуемся принципом Гамиль
тона—Остроградского |
|
|
Jь |
(6U -8Al- 5 A 2)dt= Jь 67Ж |
(2.8) |
& |
|
|
Подставляя 8U, бЛь 6Л2 и (2.7) в формулу (2.8) и приравнивая нулю
выражения, стоящие перед вариациями независимых перемещений, при дем к уравнениям движения и корректным граничным условиям
V iTli = ()i + p2i — 'ViHli — Qi=Vi—(c/_+£2)p2J —{ct+—^2)Pi
|
+ V j (Т^шД = phw + V i W*+ q2— Pi— |
~ |
|||||
— ( C + /I2 + £I) V*p2z —{c + h\ —£1) V ,p il; |
|
|
|||||
(TVV— N VVP ) 6MV°= 0; |
{Tvt- N vtp)but°= 0; |
(Mvv-^ v v p)60v= O; |
|||||
(#w —# vvp) 6av = 0; |
(Hvt—# vtp) 6at= 0; |
|
|||||
r |
dM |
|
|
|
|
|
(2.10) |
V j V i A 5 l H — |
— ---------- |
r vv0v - |
TvtQt ~ |
№ \> + |
( c + /i 2+ |
^ i ) p 2v + |
|
+ (c+ |
|
dMvtP |
|
1 |
0. |
|
|
/li — t,\)P\v--------- |
^ ------------ |
Q v n P ] бш= |
|
||||
Уравнения (2.9) и граничные условия (2.10) полностью совпадают по на писанию с соответствующими уравнениями движения и граничными
