Механика композитных материалов 1 1980

Основные предположения при выводе усредненных жесткостей сво­ дятся к следующему: 1) компоненты однородные, линейно-упругие; 2) армирующие волокна непрерывные; 3) между арматурой и связую­ щим существует жесткое сцепление. Произвольное деформирование су­ перэлемента можно описать, задав шесть деформированных состоя­ ний — три сдвиговых и три одноосных. В таблице приведены граничные условия в перемещениях, средние деформации и напряжения структур­ ного элемента первого уровня. Кроме того, на границе волокна и мат­ рицы должны удовлетворяться условия непрерывности перемещений: Uia = Uim\ i= l, 2, 3. Эти условия выполняются автоматически, так как за­ дача решается в перемещениях. Вследствие симметрии решение задачи, т. е. определение напряженно-деформированного состояния (НДС), можно проделать для одного октанта. Кроме того, так как в I—III и VI деформированных состояниях e33= const, задачи такого рода можно ре­ шить как плоские. Для состояний IV, V единственным отличным от нуля перемещением является w3, и эти задачи решаются с одной неизвестной функцией и с минимизацией функционала сдвига [5]. При решении пло­ ской задачи для III состояния для обеспечения неразрывности перемеще­ ний на границе между матрицей и волокном следует приложить допол­ нительные радиальные силы. Величина дополнительных радиальных сил определена из предположения, что волокно находится в бесконечной од­ нородной анизотропной среде с усредненными упругими характеристи­ ками. При этом допущении пренебрегается влиянием дискретного распо­ ложения соседних волокон на величину перемещений на границе мат­ рица—волокно при рассмотрении III деформированного состояния. Как

Рис. 1. Структурный элемент первого уровня (суперэлемент) композита: а — прямо­ угольная упаковка: б — гексагональная упаковка.

Рис. 2. Локальная и общая системы координат для конечного элемента в волокне.

показали расчеты с использованием трехмерных конечных элемент для всех шести деформированных состояний, результаты решения пл ской и пространственной задач по определению упругих констант пра тически совпадают в широком диапазоне изменения анизотропии в локна, отношения жесткости волокон и матрицы и объемного содерж ния волокон.

Для определения НДС в суперэлементе используется принт минимума потенциальной энергии, причем функционал Лагранжа перемещениях минимизируется методом конечных элементов. Для реш ния плоской задачи использовались известные треугольные элементы п стоянной деформации с шестью степенями свободы [9]. Для решения пр странственной задачи выведен конечный элемент в виде треугольн< призмы анизотропного материала, имеющий 18 степеней свободы, с л нейной аппроксимацией перемещений.

Для получения матрицы жесткости элемента, находящегося в ма рице, использовалось соотношение

где S — площадь конечного элемента; D — матрица упругости для пл ского деформированного состояния; В — матрица связи деформаций перемещений в элементе [9].

Для конечного элемента, находящегося в волокне, имеем соотн

Здесь р — угол между основной системой координат и локальной, се занной с осями симметрии волокна. В осях 1'2' конечный элемент волокне ортотропен, и его матрица упругости для плоского деформщ ванного состояния будет:

В соотношениях (1.3) а,-'/' — компоненты матрицы податливост! локальной системе координат: а п '= 1/£га; а2>2'= 1 /£ е а; а-уу—\/Е а Н2'= - v rea/Era\ а2'3'= -ve^/^e; а п >= - v r2a/£ ra.

Используя конечные элементы для матрицы и волокон (1.1) и (1.2), формируем матрицу жесткости суперэлемента К. Далее проблема мини­ мизации функционала, т. е. определение НДС суперэлемента, сводится к решению системы линейных уравнений с ленточной матрицей:

где и — вектор всех узловых перемещений; R — вектор внешних сил. Вводя граничные условия, решаем систему (1.4):

и= К-1R.

Из узловых перемещений обычным образом получаем деформации и на­ пряжения в конечных элементах в матрице и волокнах и тем самым определяем поля микронапряжений в структурных элементах второго уровня.

Обозначим макродеформации суперэлемента во всех деформирован­ ных состояниях через а соответствующие макронапряжения — через Sij. Тогда энергия деформации характерного объема, рассматриваемого как макрооднородное тело, будет:

Здесь Cijhi — компоненты тензора жесткости суперэлемента, рассмат­ риваемого как макрооднородное тело. С другой стороны, для всех шести деформационных состояний МКЭ определено поле микронапряжений и микродеформаций в компонентах. Соответствующая энергия деформа­ ций характерного объема в этом случае может быть получена из

зависимости £/*=^- J GijEijdV, где Oij и e*j — микронапряжения и микро-

г

деформации в суперэлементе.

Если определено НДС во всех компонентах, входящих в суперэле­ мент, то, приравнивая энергию деформации U* структурного элемента, рассматриваемого как неоднородное тело, к энергии деформации U структурного элемента, рассматриваемого как макрооднородное тело, можно получить упругие характеристики композита. Из условия U=U* получаем систему уравнений для определения усредненных жесткостей:

воздействии состояния А и состояния В.

Решая систему (1.5), находим Сцм и тензор податливости qijhi- Ес. Bij (i,/= 1 ,2 ,..., 6) — матрица податливости, то компоненты Bij се заны с техническими постоянными соотношениями Ejj=\/Bjj (/=1,2, с

vi i = —B\ i / Bu (i = 2 , 3 ); V23= — # 2з/-^зз; ^ 23= 1/ ^ 44; G 13 = 1 / ^ 55; G \ 2 = \ j B

где Ejj, Vij, Gij — соответственно модули упругости, коэффициенты Пуг сона и модули сдвига для суперэлемента.

2. Численные результаты. Определение характеристик жесткое композита по изложенной методике осуществлялось при использован соответствующих программных модулей из комплекса програк «Композит». Проведено сравнение влияния анизотропии волокна упругие свойства однонаправленно армированного композита (супе элемента) при гексагональной и квадратичной упаковке волокон п

Рис. 3. Зависимость упругих констант композита от объемного содержания при

и поперечный (V|2) коэффициенты Пуас­ сона; г, д — продольный (Gi3) и попереч­ ный (С|2) модули сдвига.

свойствам углеили органоволокон принималось, что они трансвер­ сально-изотропны с цилиндрической симметрией и их анизотропия харак­ теризуется пятью константами: Ега = Ева\ Grza= Geza; vera; Eza\ Vzra= ve2a. При численном решении были приняты следующие значения упругих констант углеродных волокон и эпоксидной матрицы:

£ 2а= 2,8• 106 кгс/см?; £ т = 3,5-104 кгс/см2; vJn = 0,34; vZra= 0,25; vrea= 0,30; Gr2a= 4,7-105 кгс/см2.

На рис. 3 изображены зависимости всех шести упругих констант ма­ териала от объемного коэффициента армирования р, с разной анизотро­ пией волокон, т. е. при различных соотношениях радиального и продоль­ ного модулей упругости волокна (k = Era/Eza) . Отметим, что для гексаго­ нальной упаковки (класс симметрии среды D6) существует всего пять

независимых компонент тензора упругости, а трансверсальный модуль

£

сдвига подсчитан по зависимости G[2 = п ,, ,1— г- Для квадратичной 2(1 +V12)

упаковки (класс симметрии среды D4) имеем шесть линейно-независи­ мых компонент тензора упругости.

На рис. 3 штрихпунктирные линии соответствуют гексагональной упаковке волокон, штриховые — квадратичной упаковке волокон, кри­ вые /, 2, 3, 4 — значениям коэффициента анизотропии /г = 0,02, 0,1, 0,2 и 0,8. На рис. 3—г кривые А и В соответствуют соотношению модулей про­ дольного сдвига волокна и модуля сдвига матрицы m = G„2a/Gm = 20 и 80. Вычисления упругих констант проведены в диапазоне изменения объем­ ного содержания волокон ц= 0,2-^0,7 с шагом Дц = 0,1. Для сравнения сплошными линиями на рис. 3 показаны результаты работ [4, 6], получен­ ные из решения плоской задачи в рядах Фурье для гексагональной упа­ ковки. Из анализа кривых видно, что решения по методу конечных эле­ ментов и в рядах Фурье практически совпадают для модулей Е\ и £ 3, модулей сдвига Gi3 и GJ2 и продольного коэффициента Пуассона v3i. Ре­ шение по МКЭ для поперечного коэффициента Пуассона vi2 дает значе­ ние примерно на 3—5% ниже, чем значение vi2 из решения в рядах Фурье. Сравнение результатов для квадратичной (класс симметрии среды Di) и гексагональной (класс симметрии среды DG) упаковок по­ казало, что продольный модуль упругости Е3 совпадает в обоих случаях, поперечный модуль упругости Е\ значительно больше при квадратичной упаковке, продольный коэффициент Пуассона v3i совпадает в обоих слу­ чаях, поперечный коэффициент Пуассона vi2 значительно меньше для

квадратичной упаковки и продольный модуль сдвига Gi3 больше п] квадратичной упаковке.

На рис. 4 отражено влияние степени анизотропии волокна k на упр гие свойства композита. Кривые 1, 2, 3, 4 соответствуют объемному с держанию волокон р = 0,184, 0,326, 0,510 и 0,655 соответственно. Графт на рис. 4 построены при исходных данных (2.1), кроме коэффициент Пуассона: vzra= 0,25; vroa= 0,25 (см. рис. 4—a); vzra= 0,2; vrea= 0,25 (с рис. 4—б). Из анализа графиков видим, что в диапазоне степени аниэ

В этом же диапазоне степени анизотропии волокон вид упаковки знач тельно влияет на величину поперечного коэффициента Пуассона.

Далее приведено сравнение теоретических и экспериментальных f зультатов упругих свойств углеэпоксидного композита со следующш

Сравнение теоретических и экспериментальных результатов показа на рис. 5. Проведены расчеты для квадратичной и гексагональной уг ковок. Из анализа результатов следует, что результаты эксперимен

2.0

,______,______ ,______ я

Рис. 5. Сравнение экспериментальных п теоретических результатов для углеэпоксид композита: а, б —■ продольный (Е3) и поперечный (Et) модули упругости; в —

дольный модуль сдвига G13; г — коэффициенты Пуассона v3i и Vi2.

УДК 678.067.2:539.4

В.И. Смыслов, В. Л. Поляков, Р. Д. Максимов, Б. И. Ануфриев,

М.X. Шоршоров, Р. А. Оганов, Е. А. Соколов

АНИЗОТРОПИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КОМБИНИРОВАННЫХ ТЕКСТОЛИТОВ НА ОСНОВЕ ОРГАНИЧЕСКИХ И НЕОРГАНИЧЕСКИХ ВОЛОКОН*

Объектами экспериментального исследования в данной работе были комбинированные текстолиты, созданные на основе эпоксидного связую­ щего и тканей из органических и стеклянных нитей. Цель работы — изучение зависимости характеристик жесткости и прочности от относи­ тельного содержания указанных выше тканей. Ниже приводится крат­ кое изложение полученных результатов.

1. Прочность органотекстолита при плоском напряженном состоя­ нии определена из испытаний при различных путях простого квазистатического нагружения; всего было реализовано девять путей нагруже­ ния в пространстве напряжений ап, 022, cri2 (ап совпадает с направле­ нием утка; а22 с направлением основы ткани): одномерное растяжение

ния плоскостям симметрии материала, а также сдвиги (положительный и отрицательный) по диагональным площадкам, т. е. одновременное сжатие и растяжение по соответствующим осям материала в плоскости армирования. Все испытания проводились при четырех уровнях темпе­ ратуры: 20, 50, 100 и 150° С. Полученные таким образом данные явились основой для последующего анализа температурной зависимости пре­ дельных поверхностей прочности материала. В качестве исходного

На основании выполненного анализа установлено, что в исследован­ ном диапазоне температур предельные поверхности прочности могут быть описаны следующим уравнением поверхности второго порядка:

Уравнение (1) позволяет описать обнаруженное из испытаний неодно­ родное сокращение области безопасных напряженных состояний в про­ странстве напряжений при повышении температуры. На рис. 1 в ка­ честве иллюстрации показаны построенные согласно (1) предельные поверхности прочности органотекстолита при 20 и 150° С.

Доклад, представленный па IV Всесоюзную конференцию по композиционны'! материалам (Москва, ноябрь 1978 г.).