Оптимизация технологических процессов механической обработки

Точка А находится внутри многогранника решений; Б — на одной из его криволинейных граней; В — на одном из его ребер; Г — в од­ ной из вершин многогранника. Далее покажем, что в условиях рас­ сматриваемой задачи отыскание минимума оценочной функции F (v, s; t) может вестись только в точках В и Г

С л у ч а й 1. Допустим, что целевая функция F (v, s, t) достигав feTминимума в одной из внутренних точек многогранника типа А. Тог­ да в этой точке должны одновременно выполняться равенства

дF/dv = 0, дFids = 0, dF/dt = 0.

Вычислим частные производные функции

В7Л + JL 1—B'lT-, dTIdv -

Анализ полученного выражения показывает, чтоpF/dv — 0 эквивалент­ но равенству

Вычисляя аналогично частные производные dF/ds и dF/dt, получаем еше два равенства

места. Таким образом, случай 1 (нахождение минимума целевой функ­ ции F (v, s, f) в точке А) может быть исключен из дальнейшего рассмот­ рения.

С л у ч а й 2. Допустим, что целевая функция F (a, s, f) достига­ ет минимума на поверхности одной из криволинейных граней много­ гранника в точке типа 5 .

Анализ вида технических ограничений (3 .9 6 ) — (3 .1 0 3 ) показыва­ ет, что все грани рассматриваемого многогранника могут быть описа­ ны в общем виде параметрическим уравнением поверхности

где р, q, г, К ~~ коэффициенты и постоянные факторы, определяющие^ вид технического ограничения.

Показатели степеней р, q, г могут в отдельных случаях равняться нулю. При q Ф 0, что выполняется для всех ограничений, кроме огра­ ничения (3.103), уравнение (3.111) может быть переписано в виде

t), получаем функцию F, двух переменных и и /, т. е. производим су­

Для того чтобы минимум функции Z7! достигался в одной из точек, внутри грани s = (т. е. не на ребре), необходимым условием яв­ ляется выполнение равенств

dFJdv = 0, dFJdt = 0.

Проверим возможность выполнения этого условия. Вычислим эти частные производные, обозначив для краткости 1 + а = а 2, 1 + Р =-

= Рг:

Последнее равенство возможно лишь при (V02 = aJ a2-

Таким образом, лишь при случайном совпадении коэффициентов. ах/а2 и Pi/p2 система уравнения может иметь общее решение. Уточним,

что в этом случае уравнения, входящие в (3.116), полностью совпада­ ют и из них можно найти решение

где Q — положительный корень уравнения (3.117). Тогда точка ми­ нимума оценочной функции должна отыскиваться при решении систе­ мы уравнений

Так как система состоит из двух уравнений с тремя неизвестными, ее решение будет представляться в виде некоторой кривой, лежащей на поверхности и обладающей тем свойством, что dF^fdv = dF^ldt = 0 на этой кривой. Это означает, что функция F постоянна на ней и поэтому любую ее точку можно принять за минимум, в частности точку пересе­ чения кривой с ребром многогранника, т. е. выполнение равенства Р1/Р2 = «i/a2 при случайном совпадении коэффициентов приводит к случаю отыскания минимума целевой функции в точке типа В на ребре многогранника. Поэтому случай 2 (нахождение минимума целевой функции F (и, s, 0 в точке типа Б) может также быть исключен из даль­ нейшего рассмотрения.

Таким образом, оптимизация режимов механической обработки для непрерывных значений параметров и, s и t сводится к определению минимума целевой функции в точках типа В или Г Первоначально отыскивается минимум целевой функции на ребре многогранника.

Рассмотрим ребро, образованное пересечением двух поверхностей,

Это кривая, которую можно задать в параметрической форме относи­ тельно t формулами

Найдем минимум целевой функции F2 (f) с помощью производной

После определения t по зависимостям (3.122) и (3.123) определяются значения v и s.

Из всех полученных точек для рассмотренных ребер отбрасываются те, которые не принадлежат многограннику ограничений. Последнее положение приводит к необходимости дополнительно определять зна­ чение функции F (о, s, t) в вершинах многогранника, что упрощает по­ строение общего алгоритма оптимизации режимов обработки.

Определение точки вершины многогранника (точки типа Г) произ­

Для упрощения решения уравнения (3.127) приводятся к линейному виду логарифмированием

Система линейных уравнений (3.128) может быть решена одним из известных способов. В рассматриваемом алгоритме эта задача реша­ лась по правилу Крамера.

Общий алгоритм оптимизации режимов механической обработки для непрерывных значений параметров о, s и t показан на рис. 35.

7. Параметрическая оптимизация технологических процессов при обеспечении

эксплуатационных свойств деталей

При параметрической оптимизации технологических процессов и, в частности, при расчете режимов резания, как было показано выше, преимущественно используются в качестве оценочной функции максимальная производительность, минимальная себестоимость техно­ логической операции или их компромиссное значение. Однако, как пока­ зал проведенный анализ, в отдельных случаях целесообразнее исполь­ зовать другие оценочные функции. Так, при технологическом обеспе-

Ввод данных

Формирование конс­ тант, входящих в целе - бую функцию и техни­ ческие ограничения

С о ■ ........

Формирование массива

у (L ) = 0_______

г 4 ---------

1 10ю

с

1L - 0

□« ______

Г™ __

О

ГH-Z.+/

г- 9 ------------ ------------------

Вычисление v(L), s(L ), T(L) -точки минимума оценочной функции на пересечении 1 -го и (1-1)-го ограничений

чении заданных характеристик качества поверхности (микрогеомет­ рии, волнистости, микротвердости, остаточных напряжений и струк­ туры поверхностного слоя) с целью повышения эксплуатационных свойств деталей машин более полным критерием оптимальности будет

Рис. 35. Блок-схема алгоритма оптимизации режимов механической обработки для непрерывных значений и, s, L

служить функциональная зависимость эксплуатационного свойства от технологических факторов обработки. Это вызвано тем, что на ха­ рактеристики качества поверхности оказывает влияние не только ско­ рость резания и подача, которые определяют критерий оптимальности по технологической себестоимости, но и ряд других факторов (геомет­ рия и материал инструмента, давление и ток при ЭМО и т. д.).

Для упрощения построений математической модели технологиче­ скую наследственность целесообразнее учитывать не через одноимен­ ные характеристики качества поверхности, а через некоторые комплекс­ ные выражения, в наибольшей степени оказывающие влияние на

рассматриваемый процесс обработки. В настоящей работе для этих це­

лей использовался безразмерный комплекс Д = Rm>x/pbt/v, где р, Ь, v — характеристики шероховатости соответственно радиус выступов и параметры кривой опорной поверхности.

Учитывая, что характеристики качества поверхности формируют­ ся главным образом на окончательной операции, первоначально ограничим рассматриваемую модель рамками одной операции «р, с вы­ дачей в качестве выходного параметра значения безразмерного ком­ плекса Д пред. которое может быть использовано в дальнейшем при оп­ тимизации на уровнях предварительной обработки. Для упрощения описаний математических зависимостей индексы обозначений операций

([) опущены. В этом случае ограничения для рассматриваемой модели можно выразить в виде системы уравнений

где R lt R2, .... Rm — характеристики качества поверхности, значения которых необходимо получить на данной операции; klt k2, .... km; k10, •••» *mu — коэффициенты регрессии, постоянные для данной опера­ ции; tu t2.......tn— технологические факторы обработки.

Аналогично может быть выражена зависимость для критерия оп­

В выражениях (3.129) и (3.130), кроме технологических факторов tu

Учитывая, что коэффициент ад экспериментально может быть получен в виде