2.5.Гавурин М.Б. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971.

2.6.ГрадштейнИ.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.

2.7.Гусев Ю.М., Иванов А.И., Шаймарданов Ф.А. Выбор структуры оптимального регулятора числа оборотов газотурбинного двигателя // Автоматизированный электро­ привод и автоматизация технологических процессов. Куйбышев: Куйбышевск. поли-

технич. ин^г, 1971. С. 75-84.

2.8. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.

2.8. Ильинский В.М. Системы контроля авиационных силовых установок. М.: Транспорт, 1980.

2.10.Интегральные системы автоматического управления силовыми установками самолетов / Под ред. А.А. Шевякова. М.: Машиностроение, 1983.

2.11.Информационно-управляющие системы космических энергетических устано­

вок / Под ред. акад. Б.Н. Петрова. М.: Атомиздат, 1979.

2.12.Любомудров Ю.В. Применение теории подобия при проектировании систем управления газотурбинных двигателей. М.:„Машиностроение, 1975.

2.13.Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

2.14.Сосунов В.А., Литвинов Ю,А. Неустановившиеся режимы работы авиационных газотурбинных двигателей. М.: Машиностроение, 1975.

2.15.Теория автоматического управления силовыми установками летательных аппаратов: Управление ВРД / Под ред. А.А. Шевякова. М.: Машиностроение, 1976.

2.16.Техническая кибернетика: Теория автоматического регулирования / Под ред. В.В.. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1967. Т. 1.

2.17.Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуля­ ризации // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151, № 3. С. 501-504.

2.18.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука,

1979.

2.19.Ушаков А.И. Оценка эффективности сложных систем // Надежность радио­ электронной аппаратуры. М.: Сов. радио, 1960.

2.20.Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.

2.21.Brown R. Gas-Turbine Reliability Control // Proc. ASME. Paper N 59-A-219,1959.

2.22.Stein K.I. Digital Control Monitors of Jet Engine // Aviation Week and Space Tech­ nology. 1973. Vol. 93, N 1.

Глава 3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ДИАГНОСТИКА ТЕРМОЭМИССИОННЫХ КЭУ МАЛОЙ И СРЕДНЕЙ ГЛУБИНЫ

§ 3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ КЭУ

Задачи освоения космоса требуют создания новых, все более мощных источников энергииАнализ энергопотребностей различного рода прог­ рамм показьюает, что в ближайшее десятилетие потребуется источник на 10-100 кВт электрической мощности с длительным на 3—5 дет ресур­ сом работы (см. гл. 5). Эти источники ввиду специфики применения долж­ ны быть энергонапряженными и иметь жесткие весогабаритные хдрактеритики [3.3, 3.12].

Одним из перспективных направлений развития является создание КЭУ, работающих по схеме непосредственного преобразования тепловой энергии в электрическую. 14 августа 1964 г. в Советском Союзе впервые в мире

их отработки потребовали создания новых методов и средств обработки достуДной информации с целью повышения информативности и качества различного рода исследований и комплексных испытаний.

Ряд известных в этом направлении работ основан на теории обратных задач тепло­ обмена, разработанной в трудах советских ученых А.Н. Тихонова, Б.Н. Петрова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева и др. Долгое время развитию теории решения таких задач препятствовал чисто математический аспект проблемы. Еще в 20-х годах наше­ го столетия обратные задачи, как некорректные в классическом стиле, считались нерешаемыми и поэтому не имеющими практического значения. Однако постепенно отношбние математиков и физиков к некорректным задачам начинает меняться. Наиболее значительный результат общего характера в области некорректных задач, открывший новое плодотворное направление в математической физике и вычисли­ тельной математике, был получен в 1963 г. А.Н. Тихоновым. Его метод регуляри­ зации существенно расширил границы эффективного практического использования некорректно поставленных задач в различных сферах науки и техники.

Немаловажное значение в становлении методов решения этих задач имело разви­ тие вычислительной техники. Только с появлением достаточно мощных вычислитель­ ных систем стала возможной эффективная реализация и активное внедрение этих методов в практику экспериментальных исследований.

Одним из направлений в теории некорректных задач является структурная и параметрическая идентификация, которая определяется как восстановление мате­ матической модели, идентичной исследуемому объекту. Наиболее полное изложение основ идентификации содержится в монографии П. Эйкхоффа [3.15].

Процедура идентификации в общих чертах может быть описана следую­ щим образом.

Априорно известна теоретическая математическая модель, подход к сос­ тавлению которой может быть весьма разнообразным. Приступая к иссле­ дованиям реального объекта (процесса), исследователь использует априор­ ную теоретическую математическую модель (ММ) в качестве первой пробной модели и должен прежде всего ответить на вопрос: учитывает ли она все связи, проявляющиеся в реальном объекте и справедливы ли вноси­ мые упрощения? Функциональные связи, описываемые теоретической моделью, можно представить в виде определенной схемы, отражающей структуру модели. В этой схеме все параметры, характеризующие состоя­ ние исследуемого объекта, можно подразделить на внутренние и внешние, на измеряемые и неизмеряемые, на входные и выходные. В общем случае

вэту модель могут входить не только уравнения тепломассообменных процессов, но и другие по характеру процессы, находящиеся между собой

втесных причинно-следственных связях. Задача идентификации определяет­

ся через эти понятия как задача восстановления (уточнения) структуры модели и ее внутренних, непосредственно неизмеряемых параметров по внешним измеряемым параметрам.

Постановка и решение задачи структурной и параметрической идентифи­ кации определяется прежде всего конечной целью исследований. В предель­ ном сложном случае исследования тепловых режимов требуется решение дифференциальных уравнений в частных производных для восстановле­ ния детального хода температурного процесса и изменения свойств конст­ рукционных и теплозащитных материалов во времени и пространстве. С другой стороны, при проведении комплексных стендовых испытаний отрабатываемых объектов степень обеспечиваемой пространственновременной детализации, как правило, снижается и для описания их тепло-

требованиями летной эксплуатации, могут быть достаточно развиты. В этих условиях необходимо сформировать диагностическую систему-максимум и с ее помощью исследовать процессы в КЭУ по возможности максимально подробно, а затем, опираясь на полученную подробную информацию, сократить диагностическую систему до минимально необходимого в полете уровня. В первом случае основное требование —глубина обработки инфор­ мации, во втором — оперативная обработка информации в условиях ее ограниченности. Условием перехода от первой ко второй системе диагнос­ тики является возможность ’’свернуть” подробные результаты наземной отработки в компактные комплексы, пригодные для оперативного рас­ познавания ситуаций в летных условиях. Пользуясь определениями [3.10], в наземных условиях следует идентифицировать КЭУ с помощью сравни­ тельно простых моделей и строить систему летной диагностики, используя результаты этой идентификации. Важно только, чтобы в этих моделях при­ сутствовали все факты, определяющие состояние исследуемого объекта.

Исходя из приведенных рассуждений в последующих разделах рассматри­ вается вначале методика идентификации и диагностики КЭУ в условиях наземной отработки, а затем —формирование на основе полученных резуль­ татов подхода к диагностике КЭУ в космосе.

§ 3.3. МЕТОДИКА ИДЕНТИФИКАЦИИ КЭУ. СТАТИКА

Рассмотрим реактор со встроенным в активную зону термоэмиссионным преобразователем (ТЭП), состоящим из ряда последовательно соединен­ ных одноэлементных электрогенерирующих каналов (ЭГК), в которых эмиттер является одновременно оболочкой тепловыделяющего сердечника. Коаксиально с эмиттером располагается коллектор. Непреобразованная тепловая энергия с помощью жидкометаллического теплоносителя, цирку­ лирующего через кольцевые каналы, переносится к холодильнику-излу­ чателю (рис. 3.1).

Измеряемыми параметрами являются тепловая мощность, ток и на­ пряжение ТЭП в целом и температура теплоносителя на входе Гвх и выхо­ да ^вых реактора. Пусть в рассматриваемой конструкции реактора — термоэмиссионного преобразователя присутствуют датчики контроля напряжений ЭГК. Информация с этих (и другах) датчиков поступает на вход автоматизированной системы сбора и обработки эксперименталь­ ной информации. В качестве тестовых возмущений на входе реактора используются изменения нагрузки рабочей секции и через задатчик систе­ мы автоматического управления —изменения тепловой мощности.

В общем случае процессы в рассматриваемом объекте описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производ­ ных [3.3]. На использовании таких моделей построены программы реше­ ния прямой задачи - численное интегрирование уравнений и установление распределений температур, плотности токов и напряжений по длине ЭГК при заданном распределении тепловыделения, известных теплофизических свойств материалов и элементов конструкции и граничных условиях. Если проводить измерения только интегральных параметров по току и напряжению, то использование распределенной модели для диагностики

Рис. 3.Схема1. основных агрегатов КЭУ и точек измерения параметров

1 — реактор, 2 — одноэлементный ЭГК, 3 — теплоббменный контур, 4 — привод системы регулирования, 5 — защита, 6 —система управления; измеряемые парамет­ ры —ток /, напряжение V, ток /ик (ик - ионизационная камера) , температура Г, угол поворота </?, V- —напряжение на j-м ЭГК, Кн —напряжение на насосе

локальных изменений параметров ЭГК теряет смысл. В этом случае для описания состояния ЭГК целесообразно принять теоретическую математи­ ческую модель в сосредоточенных параметрах, при этом, однако, возни­ кает ряд вопросов по интерпретации восстанавливаемых сосредоточенных параметров и по ошибкам идентификации, связанным с переходом от распределенной к сосредоточенной модели.

Проведенный анализ перехода от математической модели в частных производных к математической модели в сосредоточенных параметрах позволяет сделать следующие выводы.

1. При использовании математической модели ЭГК в сосредоточенных параметрах под значениями температур, токов и напряжений следует пони­ мать их средние интегральные значения.

2. В результате интегрирования исходных уравнений в частных произ­ водных устанавливаются зависимости между параметрами распределен­ ной модели и параметрами в сосредоточенных параметрах. Ошибка, обусловленная использованием коэффициентов распределенной модели в мо­ дели с сосредоточенными параметрами, составляет по температуре ~0,2%, по напряжению - не более 5%. Этой ошибки можно избежать введением некоторых поправок.

3. В результате решения задачи идентификации с использованием мате­ матической модели в сосредоточенных параметрах восстанавливаемые коэффициенты являются коэффициентами распределенной модели.

С учетом этих выводов запишем для ЭГК следующую математическую модель в сосредоточенных параметрах [3.3]:

где Qc — среднее тепловыделение в сердечнике; kr — коэффициент распре­

излучающая поверхность эмиттера; ах — проводимость межэлектродного зазора; Е — электродвижущая сила; гвн — внутреннее изотермическое сопротйвление; ТК —средняя температура эмиттера; Га —средняя темпе­ ратура коллектора; Дах —термическое сопротивление между коллектором и теплоносителем; Тт — средняя температура теплоносителя; i — номер индивидуального ЭГК.

Вотличие от отдельного ЭГК для термоэмиссионного преобразователя

вцелом k 4 = 1 и справедливо соотношение V = Е - /гвн = I R H (RH — на­ грузка) , или

В этих уравнениях Е , гвн и епр являются функциями температуры эмиттера. Для их описания может быть использована полиномиальная аппроксимация, в которой может быть приведено любое другое описа­ ние путем разложения в ряд Тейлора. Структура полиномов, вообще гово­

ря, априорно неизвестна. В рассматриваемом случае задача индентификации заключается в* восстановлении структуры и определении коэффициентов этих полиномов, средней температуры эмиттера, прово­ димости зазора, работы выхода эмиттера и коэффициента распределения тепловыделения.

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ПРИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ КЭУ

Известный способ решения поставленной задачи идентификации состоит в осуществлении минимизации невязки между экспериментальной и рас­ четной информацией с помощью одного из методов оптимизации, например Гаусса—Ньютона [3.2]. В качестве минимизируемого критерия адекват­ ности используется критерий Фишера. Однако на пути использования метода Гаусса—Ньютона проявляется ряд трудностей:

наоборот, при избыточном включении в описание какого-то эффекта; —наличие своих методических ошибок; —большие затраты машинного времени.

Целесообразно в данном случае для обработки информации о стационар­ ных состояниях исследуемого объекта, полученной численным моделиро­ ванием, использовать метод корреляционно-регрессионного анализа, обес­ печивающий получение экспериментальной ММ в виде многофакторного регрессионного полинома:

где A V — отклонение напряжения ЭГК от базового значения; AQCi AI — входные возмущающие параметры (отклонения тепловой мощности и то­ ка от базовых значений).

Для проведения корреляционного анализа все экспериментальные

с Ь\ , . . . , Ъп выражением 0/ = Ь( -*-г- Отметим, что в стандартизированном

уравнении связи отсутствует свободный член.

Применяя метод наименьших квадратов для установления коэффициен­ тов 01, . . . , Рп, получим

N

L ~ ~ Pl^Xi - 0 2 ^ 2 ~ ~ Рп*хп )2 ,

по выборкам стандартизованных параметров в соответствии с выраже­ ниями

Полученная система уравнений может быть разрешена относительно коэффициентов 0i, . . . , 0Я. Значения этих коэффициентов восстанавли­ ваются, таким образом, безытерационной процедурой. Связь между коэф­ фициентами 0 и к в уравнениях (3.7а) и (3.76) очевидна.

Вместе со значениями коэффициентов 0 устанавливаются значения выборочной дисперсии, характеризующей ошибку описания эксперимен­ тальной информации, и коэффициентов парной roi и множественной R кор­ реляции:

Коэффициент парной корреляции roi характеризует тесноту связи между входным и выходным параметрами, а коэффициент множественной кор­ реляции R характеризует тесноту связи всей совокупности параметров полиномиальной математической модели.

Для интерпретации коэффициентов ’’экспериментальной” математичес­ кой модели (ЭММ) выполним разложение в ряд Тейлора выходного пара­ метра априорной теоретической математической модели Vt в окрестности некоторого базового значения по входным параметрам. Это разложение является аналогом регрессионного многофакторного полинома. В резуль­ тате приравнивания аналитических выражений коэффициентов ряда Тейло­ ра к соответствующим коэффициентам ЭММ была получена система алгебраических уравнений относительно внутренних восстанавливаемых

5. Количество восстанавливаемых параметров определяется числом ин­ формативных членов оптимального полинома, которое, в свою очередь, зависит от величины вносимых возмущений. При увеличении возмущений дополнительная информация обусловлена проявляющейся нелинейностью.

Представляет интерес использование дополнительных критериев и для установления области справедливости линейной модели. Коэффициенты парной корреляции при обработке информации для малых возмущений практически незначимы уже при членах второго порядка (г0/ < | 0,05 | ), что указывает на переопределенность модели и на несущественность этих связей. Коэффициент R для этих вариантов без шума равен 0,99992. При расширении области возмущений и использовании линейной модели R значительно ухудшается до значений 0,93, что свидетельствует о необходи­ мости привлечения к идентификации полиномов более высокого порядка, значимые интерпретируемые коэффициенты которых содержат информа­ цию о новых внутренних параметрах термоэмиссионного преобразователя.

Для численного эксперимента была проведена оценка ошибок восстанов­

Эта ошибка восстановления 7* достаточно велика. Разделение Л/Л/, как отмечалось, позволяет определить А 7&/. При этом существуют два пути восстановления А 7*/: через A Qci с использованием Л/ и через А I, К/ с использованием Л/. Восстановленные значения A7V/ существенно улуч­ шают описание изменений исследованных режимов относительно базового уровня по сравнению с их описанием через восстановленные абсолютные значения температур.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ В РАМКАХ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ СТАТИКИ

Рассмотрим решение поставленной задачи идентификации в рамках линей­ ной м о д е л и . Линеаризуем систему нелинейных уравнений (3.1),.(3.2) с уче­

том (3.3) —(3.5):

Оценка ошибки линеаризации и исключения члена с А Га будет проведе­ на на примера термоэмиссионного преобразователя.

Решаем уравнение (3.10) относительно А Гк /, после подстановки полу­ ченного выражения в (3.11) получим

где к ц - kriAiRi\ k^i -* ^вн/о "*■^вн/о Л> AjRj — ,• о^4/Д/>

Таким образом, с помощью ряда преобразований осуществлен переход

как ограниченное первыми двумя членами разложение в ряд Тейлора вы­ ходного параметра К/ по возмущениям Qc и I.

Аналогично для преобразователя в целом имеем следующее уравнение:

Произведем оценку методической ошибки линеаризации и исключения

ошибка определения A R j равняется ±8%. При усреднении результатов мо­