§ 2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ДВИГАТЕЛЯ

Задача синтеза для каждого /-го цифрового регулятора двигателя со­ стоит в вычислении оптимальных, например, по интегральному квадратич-

лятора. При вычислении оптимальных коэффициентов цифровых регулято­ ров двигателя используется его линейная модель, связывающая малые отклонения параметров рабочего процесса двигателя (Ах, Ау, А и}:

Процедура синтеза цифровых ПИД-регуляторов для современных авиа­ ционных двигателей подробно изложена в [2.10].

В силу того что динамические свойства двигателя, в первую очередь мат­ рицы (А, В.9 С, £>.), существенно изменяются по условиям полета самоле­ та (М, Н — var)*, цифровые регуляторы двигателя должны иметь соот­ ветствующую логику адаптации - изменения коэффициентов ПИД-регу- ляторов.

Цель логики адаптации цифровых регуляторов —сохранение предельно высоких показателей качества (времени регулирования, уровней перерегу­ лирования и т.п.) и точности регулирования параметров рабочего процесса двигателя во всем диапазоне полетных условий самолета.

Очевидно, что указанное изменение настроек цифровых регуляторов двигателя может успешно производиться по результатам идентификации его линейной модели. Подробное изложение некоторых практически важ­ ных алгоритмов идентификации современных ТРД будет дано в § 2.2, 2.4.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ АВИАЦИОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

Современный авиационный двигатель представляет собой сложную динами­ ческую систему, полное описание процессов которой является достаточно сложной и трудоемкой задачей [2.14, 2.15]. При выводе уравнений совре­ менного двигателя на установившихся и переходных режимах с использова­ нием уравнений сохранения энергии, баланса и расходов газа в элементах двигателя приходится учитывать влияние процессов, связанных с газодина­ мической и тепловой нестационарностью. Все это обусловливает необходи­ мость численного решения уравнений двигателя на быстродействую­ щих ЭВМ.

Математическая модель двигателя любой конструктивной схемы содер­ жит полную систему уравнений, которая описывает: а) характеристики эле­ ментов двигателя, в том числе воздухозаборника, вентилятора, компрессо­ ра, камеры сгорания (основной, форсажной), турбины, реактивного сопла;

*М - число Маха, Н - высота полета.

б) уравнения связи между элементами; в) законы регулирования двигате­ ля на установившихся и переходных режимах; г) систему автоматического управления двигателя. Очевидно, что вид уравнений связи основных элементов двигателя обусловлен его конструктивной схемой, а также раз­ мерами и формой его проточной части, режимом работы двигателя, состоянием окружающей среды и Другими факторами.

Методика расчета переходных и установившихся процессов современно­ го авиационного двигателя на ЭВМ подробно изложена в [2.15]. С по­ мощью указанной методики успешно решаются прикладные задачи:

—определение динамических характеристик двигателя при проектирова­ нии и доводке;

—нахождение оптимальных законов управления двигателя с целью полу­ чения исходных данных для проектирования цифровой САУ.

Математическая модель современного авиационного двигателя в самом общем виде задается системой нелинейных уравнений:

X = f [ x , у , ц, W ],

вращающихся масс турбокомпрессора, накопление газов в объемах, запаз­ дывание распространения температуры в элементах газового тракта, инер­ цию роторов и др.;

—вектора управления и = (их, и2 , и6) т, который учитывает управ­ ление двигателем по всем контурам регулирования;

—вектора газодинамических параметров двигателя у=(у х, у 2,..., у х5 1)> который учитывает процессы всей совокупности параметров рабочего процесса двигателя;

—вектора условий на входе w = (wj, w 2, w3), который учитывает ус­

двигателя равно соответственно N = 161.

Система нелинейных уравнений двигателя (2.1) при заданных начальных условиях (х0, Уо) решается на быстродействующей ЭВМ по программам численного интегрирования, например методом Рунге—Кутта.

Рассматривая уравнения собственно авиационного двигателя, независимо от входного устройства исходные параметры среды ( pHf Тн, М) обычно за-

шением формул подобия на векторные величины. Они задаются посред­ ством выражений с диагональными матрицами.

х°=МРхх, у°=МРуу, и°=МРии ,

где МРХ = diag (/* /); МРу = diag ( f yj) ; MPU= diag ( f uk) . При этом функ-

Система уравнений двигателя в приведенных параметрах (5с°, х°, у 0, и0) с учетом матриц подобия (MPt, МРХ, МРи, МРу) запишется в виде

d(MPxx)

- ^ ^ - - П М Р хХ,МРуу,МРии]г

(2.3)

МРуу = g° [МРх х, МРуу, МРи и]

Анализ уравнений (2.2) и (2.3) дает формулы связи нелинейных вектор-

где МРХ1, МРу1 —матрицы, обратные к МРх ,МРу .

Пример 1. Линейная модель двигателя была получена из уравнений (2.2) путем применения процедуры линеаризации в окрестности установившего­

веденных параметров рабочего процесса двигателя; А°(п X п) , В ° ( п Х т ), С °(р X п ) , D°(pXrri) — матрицы частных производных для земных усло­ вий полета.

Очевидно, что применение матриц подобия (MPt, МРХУ МРи, МРу ; (см.

матрицы линейной модели двигателя в ’’физических” параметрах, связан­ ные с матрицами из (2.5).

Из системы линейных уравнений (2.6) следует, что изменение динами­ ческих свойств двигателя на подобных режимах определяется зависи­ мостью

Т*

1 в*

(2.7)

288,15 Рвх /

где А 0 (п X п) —матрицы двигателя при земных условиях полета (М, Н = 0); А (п X п) — матрица двигателя для произвольных условий полета (Л/, Я = = var).

Известно, что динамика процессов двигателя в основном определяется корнями (Хх, Х2, . . . , Х„) его характеристического уравнения det(/l - \ Е ) = 0. Подставим в это уравнение выражение А = MPtA ° , в ре­ зультате получим

det(A° - \ ° Я ) = 0 ,

где Х° есть функция от X и MPt .

Пусть в результате численного решения характеристического уравнения двигателя на ЭВМ была получена его система корней X?, X®, . . . , X®. Тогда характеристическое уравнение можно записать в виде

det(A° - \°Е ) = (Х° - X?) (Х° - Х§) . . . (Х° - \°п) = 0.

Очевидно, что произвольный корень характеристического уравнения det (А0 — Х°Е) = 0 с учетом формул подобия запишется в виде X/ = X®MPf . Другими словами, корни характеристического уравнения X* являются функциями условий полета и зависят от ( РвХ, Т*х) :

где X® —I-й корень характеристического уравнения двигателя для земных условий (М, Н - 0).

Из последнего выражения нетрудно получить оценку изменения постоян­ ной времени Tt г-го динамического фактора двигателя в зависимости от

Очевидно, что динамика процессов (Д х(г), Д_у (г)) двигателя сложным образом зависит от условий полета.

ВЫБОР ПОРЯДКА СЛОЖНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ДВИГАТЕЛЯ

Как показьюают соответствующие расчеты, линеаризация нелинейных урав­ нений двигателя (2.1) допустима в сравнительно малой (5—10%) окрест­ ности установившегося режима (х5, us, y s). В этих случаях применяются стандартные вычислительные операции линеаризации, в том числе графо­ аналитическая линеаризация экспериментальных характеристик элементов и узлов двигателя. Линеаризация уравнений (2.1) проводится путем разло­ жения нелинейных уравнений двигателя в ряд Тейлора в окрестности уста­ новившегося режима (xs, us, y s), что приводит к системе его линейных уравнений:

Последнюю систему уравнений можно преобразовать путем исключения переменной Ау из Ах, в результате чего получаем каноническую линейную модель двигателя:

(2.10)

где А , В, С, D — матрицы линейной модели, зависящие от матриц частных

ПРОИЗВОДНЫХ f x , f u , . - - , g ' u , g y -

В табл. 2.2 даны формулы расчета матриц линейной модели двигателя по соответствующим матрицам частных производных.

Практика линеаризации уравнений математических моделей современ­

заметно при линеаризации ’’крутых” графиков экспериментальных харак­ теристик элементов газовоздушного тракта двигателя. Например, при ли­ неаризации характеристик осевых компрессоров даже небольшая погреш­ ность в определении угла наклона ветви компрессора приводит к значи­ тельным отклонениям в коэффициентах линейной модели (2.10) .

Пример 2. Пусть при линеаризации уравнений движения современного ТРДЦФ (см.: [2.10]) были получены матрицы частных производных ( f x »fin• • • >gy) • При вычислении коэффициентов в матрице gy = ду/ду были допущены небольшие погрешности, такие, что матрица (Е - g'y) стала близка к сингулярной. В этом случае ее определитель det (Е - gy) —

— 0 и при вычислении матриц линейной модели (А, В, С, D) по форму­ лам из табл. 2.2 в коэффициентах матриц будут значительные искажения.

Таким образом, для современных. авиационных двигателей, в особен­ ности для двигателей сложных конструктивных схем, расчет коэффи­ циентов линейной модели путем линеаризации уравнений (2.1) ”в лоб” наталкивается на определенные трудности. Точность расчета коэффициен­ тов модели при этом существенно зависит от погрешностей в линеариза-

Матрицы линейной модели (Л, В>С, D)

ции характеристик элементов и узлов двигателя, структуры матрицы частных производных g'y и ряда других причин.

При решении задач регулирования двигателя часто применяется упро­ шенная линейная модель с меньшим числом динамических факторов Ах = = (А *!, Ах2 , . . , Ах*.) т, чем у полной модели Ах = (Ахь Ах2, . . ., А х к , &хк+2,. . . , А х „ ) т

Например, при синтезе регуляторов частоты вращения исходные урав­ нения двигателя (2.10) значительно упрощаются, среди динамических факторов модели остаются только частоты вращения роторов турбокомп­ рессора Ах = (A/iB, Алк ) т

В обшем случае линейная модель двухвального ТРДЦФ содержит все значимые динамические факторы, т.е. фазовый вектор модели Ах (г) учи­ тывает динамику механических, тепловых и газовоздушных процессов:

Ax(t) = (Ахп, Ахр , А х т) т,

На рис. 2.2 приведена обобщенная схема основных конструктивных элементов современного двухвального ТРДЦФ с указанием его главных динамических факторов, связанных с процессами накопления и преобра­ зования энергии.

Динамика процессов регулирования двигателя по указанным динами­ ческим факторам (аккумуляторам энергии) рабочего процесса, как пра­ вило, определяется через их собственные частоты, которые однозначно вычисляются по соответствующим матричным передаточным функциям двигателя:

соответствующими динамическими процессами двигателя.

Рис. 2.2. Обобщенная схема взаимодействия основных элементов ТРДДФ и его глав­ ные динамические факторы

1 — воздухозаборник, 2 - собственно двигатель, 2,7 - вентилятор, 2,2 - компрес­ сор, 2,3 — основная камера сгорания, 2,4 —турбина компрессора, 2у5 —турбина венти­ лятора, 2,6 —камера смешивания, 2,7 —форсажная камера, 2,8 —инерция ротора ком­ прессора, 2,9 —инерция ротора вентилятора, 2,10 —второй контур

Рис. 2.3. Диапазон характерных частот при ре­ гулировании ТРДДФ

1 - динамика САУ, 2 - динамика тепло­ вых процессов двигателя, 3 - динамика тур­

На рис. 2.3 приведено примерное расположение областей собственных

частот современного ТРДДФ.

При проектировании цифровых САУ современных авиационных дви­ гателей очень редко используются высокочастотные модели двигателей, т.е. модели, описывающие процессы во всем диапазоне частот 0,001 ^ ^ < 1000 Гц. Большинство практических задач синтеза цифровых регулято­ ров двигателя связано с выбором ’’предпочтительной модели, достаточно точно охватывающей его заданный частотный диапазон. Очевидно, что в модели двигателя должны быть наилучшим образом увязаны требования ’’простоты” и ’’адекватности” линейной модели.

Требования ’’простоты” связывают с выбором желаемой структуры модели, они вытекают из целевого использования модели в дальнейшем.

Как правило, слишком ’’сложная” модель двигателя (модель высокого порядка) приводит к переусложненным алгоритмам цифрового регулиро­ вания двигателя, что, в свою очередь, обусловливает дополнительные затра­ ты вычислительной мощности БЦВМ при их реализации в цифровой САУ двигателя. С другой стороны, при существенных упрощениях модели она уже не сохраняет желаемую точность воспроизведения регулируемых про­ цессов, при этом цифровые алгоритмы регулирования двигателя стано­ вятся слишком грубыми.

Требования ’’адекватности” модели определяют на количественном уровне погрешности воспроизведения регулируемых процессов двигателя его линейной моделью. Ввиду очевидного противоречия указанных требо­ ваний ’’простоты” и ’’адекватности” при проектировании цифровых регу­ ляторов современных двигателей необходимо найти их разумный компро­ мисс, а именно определить модель двигателя максимальной адекватностью при заданной степени сложности (’’простоты”) модели.

Как показывают расчеты, для каждого авиащюнного двигателя пред­ ставляется возможным выбрать желаемый уровень сложности его ли­ нейной модели исходя из анализа уровней запасаемой его аккумулято­ рами энергии. Анализ ’’спектра” уровней запасаемой энергии в этих акку­ муляторах показал, что наиболее значимыми динамическими факторами двигателя являются:

а) частота вращения роторов турбокомпрессора; б) давление и температура в воздушных полостях большого объема

(воздухозаборник, второй контур, форсажная камера) .

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИГАТЕЛЯ

В практике проектирования цифровых САУ особенности протекания рабо­ чего процесса авиационного двигателя анализируются с помощью динами­ ческой характеристики (см.: [2.12, 2.15]). В этом случае анализ особен­ ностей характеристик двигателя проводится в пространстве основных пе­

Для наглядности в данном параграфе анализ динамических свойств дви­ гателя осуществляется только для одновального ГТД, для которого х = п, и = GT, у = ( Рк, • ). С этой целью на плоскости параметров двигателя (п, GT) наносятся экспериментальные линии постоянных значений п = const,

Уравнения (2.11) можно отождествить с соответствующими поверхностями в трехмерном пространстве переменных (п, п, GT) , (р£, п, GT), которые отображают его динамическую характеристику в ’’объемной” и наглядной форме. На рис. 2.4—2.6 приведены поверхности динамической характеристики одновального ГТД. С целью исключения влияния на дина­ мическую характеристику двигателя условий полета самолета (Л/, Н - var)

Рис. 2.4. Поверхность л0 = / (п°, G*) динамической характеристики одновального ГТД 1 — граница устойчивой работы компрессора, 2 — граница допустимого значения температуры газов T jmax, 3 — граница устойчивого горения топлива на ’’бедных**

формулам из табл. 2.1. В первую очередь на соответствующих поверх­ ностях (iп°, у°) наносится линия установившихся режимов двигателя п° = О и граничные значения параметров. В точках характерных режимов этой линии проводится линеаризация его уравнений:

Ап° = а°Ап0 +b°AGj |

Ау° = с°Дп° +dfAG ° |

где Ап° = п° - п° ; AG° = G°s - G?; Ау° = y°is -y°t - малые отклонения параметров двигателя от точки (п°, G°s, y°s) на линиях установившегося режима; (а0, Ь°, с° ,d°) - коэффициенты линейной модели.

гтд

1 — граница устойчивости компрессора, 2 —граница допустимого значения темпе­ ратуры газов г ; т а х , 3 —граница устойчивого горения топлива G™in

Очевидно, что процедура линеаризации уравнений (2.11) в окрестности рабочей точки (л£, G?s, у*}5) представляет собой процедуру расчета (’’вос­ становления”) коэффициентов его касательной плоскости для каждой не­ линейной поверхности рис. 2.4—2.6. На указанных рисунках касательные плоскости отмечены в виде малых ’’квадратов”, при этом система коэф­

уравнением (2.12).

Пример 3. Одновальный ТРД задается динамической характеристикой (см. рис. 2.4, поверхность ’’рулон”) .

Уравнение для Ап может быть записано через общепринятые динами­

намические параметры двигателя. Характерно, что значения коэффициента передачи кп и постоянной времени Т$ двигателя существенно изменяются вдоль линии установившихся режимов [2.15], т.е. зависят от режима ра­ боты двигателя (малый газ, крейсерский режим и т.п.).

Построение указанных поверхностей для двигателей сложных конструк­ тивных схем, например двух-, трехвальных, проводится в Я-мерном про* странстве, гДе R = 6—7, что приводит к соответствующим гиперповерхно­

многомерном пространстве. Действительно, если для одновального дви­ гателя дицамическая характеристика определяется в трехмерном простран­

стве, то для двухвального она задается по крайней мере в четырехмерном пространстве. Для двигателей более сложных конструктивных схем его динамическая характеристика задается системой поверхностей в Я-мерном пространстве, определяемой размерностью векторов (x(r), u(t)) .

Однако в Я -мерном пространстве сохраняется полная аналогия кривых динамической характеристики:

—линии установившихся режимов (х£, wj), которые определяются се­ чением плоскости х° = 0 поверхности х? = fj*(x°, и0), i = 1 , 2 , . . . , п\

— линии установившихся режимов для газодинамических параметров

Совершенно аналогично интерпретируется линейная модель двигателя как касательная плоскость к соответствующей поверхности динамической характеристики:

линейных поверхностей /).°(х°, и°), g? (х°, и°) .

Изучение особенностей протекания динамической характеристики дви­ гателя в R -мерном пространстве удобно проводить численно с помощью быстродействующей ЭВМ. В этом случае всю числовую информацию о не­ линейных поверхностях динамической характеристики двигателя вводят в ЭВМ в виде соответствующих массивов, по которым с помощью алго­ ритмов интерполяции рассчитывают значение для любого параметра дви­ гателя и его соответствующей поверхности.

Таким образом, математическая модель современного двигателя мо­ жет быть исследована посредством его ’’обобщенной” динамической ха­ рактеристики: JC? = /|.°(х°, м0), у° =g(j(x°, и° ) . Очевидно, что линейная

модель двигателя адекватно определяется как модель, ’’эквивалентная” касательной плоскости к соответствующей поверхности его обобщенной динамической характеристики. Эта модель, например, по /-й компоненте

ТРД (Ап = аАп + bAGT) проводится с помощью вычисления среднеквадра­ тичной ошибки воспроизведения процессов:

исходной и модельной касательных плоскостей динамической характе­ ристики двигателя. Очевидно, что чем меньше среднеквадратичные ошибки еп> еп*> ет*> тем ближе расположены исходная и модельная касательные

плоскости динамической характеристики одновольного ТРД. Действитель­ но, для линейных уравнений одновольного двигателя на его базовых тра­

ного вектора N(a, b) плоскости; (д, b) - неизвестные коэффициенты, определяющие модельное значение Дхмод(г).

Пусть наудачу выбраны начальные значения коэффициентов линейной

ли двигателя, т.е. она оценивает уровень погрешности модели двигателя на ’’базовых” процессах (Дх, Дм), принадлежащих касательной плоскости его динамической характеристики.

Пример 4. Идентификация одновального ТРД проводилась по переход­ ным процессам двигателя An(t), AGT(t) с помощью расчетных формул из табл. 2.3. Исходные переходные процессы двигателя за время 3 с были заданы с шагом по времени 0,1 с.

В результате обработки указанных процессов по формулам из табл. 2.3 были найдены (7^, кп). Уравнение линейной модели в этом случае запи­ шется в виде

Ап = -1,25 Дл + 1,28 AGT.

Процессы двигателя Ап совпадают с моделью (точность —до четвертого знака после запятой). Аналогичные расчеты можно провести и по другим параметрам рабочего процесса двигателя, например по ( Т *).

Для двигателей более сложных конструктивных схем, например двухвальных и трехвальных, получить простые формулы расчета, эквивалентные формулам табл. 2.3, практически невозможно. Подход к вычислению коэффициентов линейной модели двигателя в этом случае представляет собой процедуру нахождения оптимальных оценок (д*, Ь*) с помощью ме­ тода наименьших квадратов (см.: [2,20]).

Действительно, оценка коэффициентов (д*, b *) линейной модели (см. рис. 2.4) двигателя обеспечивает минимальное значение среднего квадрата несовпадения исходной и модельной касательной плоскости динамической характеристики двигателя. (Если эта погрешность равна нулю, то эти плос­ кости полностью совпадают.)

Пример 5. При оценивании постоянного вектора д = (дь д2, .. , ап) по методу наименьших квадратов по системе наблюдений у = (Ух, У2 »• • • ■• •. Ук)т, Xj = (Хц, Xj2, . . . ,Х,П) Т, / = 1, и, принимается модель объекта наблюдений:

Очевидно, что на выборе к наблюдений при к > п модель (2.15) запишется

* ь х 2, . .. , *„ наблюдений; %—вектор ошибок.

Задача оценивания состоит в том, чтобы выбрать такое значение оценки

была бы минимальной. Оптимальную оценку aopt, которая минимизи­ рует квадратичную форму, называют оценкой метода наименьших квад­ ратов (см. § 1.3).

Отсюда искомая оценка наименьших квадратов для вектора равна

где Е —единичная матрица.

Для двигателей сложных конструктивных схем (двухвальные, трехвальные ТРДЦФ) предлагается при расчете коэффициентов линейной мо­ дели (А, В), (C,Z>) использовать соотношения метода наименьших квадра­ тов. Условия минимальной среднеквадратичной погрешности воспроизве­ дения переходных процессов двигателя (условия максимальной адекват­ ности) отвечают такому выбору матричных коэффициентов модели (А, В) , (С, D), при котором \\ \ ki II —0, \\%yj II —0.

Алгоритм расчета коэффициентов (А, В, С, D) линейной модели двига­ теля максимальной адекватности в виде суммы квадратов погрешностей (ех , еу) воспроизведения исходных переходных процессов приведен в табл. 2.4. Алгоритм был программно реализован на ЭВМ, и с его помощью успешно решались задачи идентификации линейных моделей двухвальных ТРДЦФ по результатам математического моделирования на ЭВМ.

Пример 6. Идентификация двухвального ТРДЦФ проводилась по пере­ ходным процессам *(?) = (лв, пК) т и u(t) = GT полной нелинейной мо­ дели двигателя. Переходным процессам двигателя соответствует макси­ мальный режим лк = 100%, при этом производные *(г) вычислялись на ЭВМ. В результате обработки этих процессов с помощью вычислительного алгоритма идентификации А2 из табл. 2.4, были получены следующие урав-

§ 2.2. МЕТОДОЛОГИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим математическое описание современного ТРД, заданное урав­ нениями ’’обобщенной” динамической характеристики в приведенных параметрах (х ° , у ° , и °):

при *°(fo) = *o —начальные условия.

Линия установившихся режимов работы двигателя (xj, wj) определя­

(по ее точкам х°, м£) проводится линеаризация уравнений двигателя (2.17) с целью получения линейной модели

Ах° = А°Ах° + В°Аи° , 1

А у 0 = С°Ах° + £>°Дм°, J

где (А0, В0, С°, D0) — матрицы линейной модели двигателя; Дх°, А у ° , Аи° —малые отклонения параметров рабочего процесса двигателя.

На рис. 2.9 показана линия установившихся режимов работы одноваль-

и максимальном режиме имеют разные значения коэффициентов (А°, В0) . Действительно, наклон линии установившихся режимов у этого двигателя различен и определяется выражением

Дх° = ( - A ° y l B*Au°s = к%Ди°,

где к% — матричный коэффициент наклона линии x j = х(м°) в точке

(х°, И?).

Из этого уравнения видно, что ’’коэффициент” наклона к% является функцией исходных матричных коэффициентов (А °, В0). Таким образом, коэффициенты усиления всережимного регулятора ТРД должны быть раз­ личными для режимов малого газа и максимального.

Очевидно, что вдоль линии установившихся режимов двигателя для

переходного процесса Ax(f), Ам(г), А;;(г), вычисляют обобщенные ’’по­ стоянные времени” двигателя Тх, Ту.

При решении задач идентификации в такой постановке исходные ли­ нейные уравнения двигателя (2.19) удобно преобразовать к следующему виду:

матрицы линейной модели двигателя, определяющие Ах, Ау через Ах, Аи. В этих уравнениях текущее отклонение параметра рабочего процесса дви­ гателя (А х°, Ау 0) уже задается в виде функций от (Ах°, Аи0) .

Как известно, условием установившегося режима работы двигателя является равенство нулю производных фазового вектора Ах° = 0, что и

где кх (п X m ) , ку ( р X т) — матрицы передачи, характеризующие наклон линий установившегося режима; (Ах°, Ди°, Ау 0) - отклонения по линии установившихся режимов.

Очевидно, что матричные коэффициенты кх (п X т ) , ку (р Х т ) двига­

По указанным точкам непосредственно из (2.22) рассчитываются зна­ чения / -го вектор-столбца матриц (кх, ку)\

фстар _^нов^

Таким образом, через коэффициенты (кх, ку) линейной модели двига­ теля (2.21) ’’вносится” информация о линии установившихся режимов работы двигателя в окрестности точки линеаризации (xs, us, y s).

Матричные коэффициенты Тх (п X п ) , Ту (р X п) в уравнениях (2.21) определяют ’’обобщенные” постоянные времени линейной модели двига­ теля. Они могут быть оценены по методу наименьших квадратов из урав­ нений (2.21), преобразованных к следующему виду:

точки линеаризации; (кх , ку) — известные матрицы наклона линии уста­ новившихся режимов двигателя; (Тх , Ту) — искомые матричные вели­ чины.

Обозначим левые части выражений (2.24) как (Ахи, Ау и ) , тогда полу­ чим расчетную систему для определения (Тх, Ту):

Тх Ах = Ахи, 1

Ту Ах = Ауи , }

где Ахи —вектор размерности (л X 1); Ауи —вектор размерности ( р X 1);

’’восстанавливаются” коэффициенты исходной линейной модели двигателя (2.18):

Вычислительный алгоритм решения задачи идентификации линейной модели авиационного двигателя с использованием априорной информации о статике и динамике двигателя приведен в табл. 2.6.

Пример 7. Идентификация линейной модели двухвального ТРДЦФ производится по результатам моделирования его полной нелинейной моде­ ли на ЭВМ. Сначала определялись коэффициенты кх по ’’хвостам” переход­ ных процессов двигателя при воздействии по AGx, AF c. В табл. 2.7 при­ ведены значения ’’хвостов” переходных процессов двигателя в трех пос­ ледних точках по Апв , Апк .

Из табл. 2.7 следует, что уравнения линии установившегося режима работы двигателя в этом диапазоне

Ans = 1,035 AF* + 0,689 А<7ТМ

AnsK = 0,666AF* + 0,771 AG*, J

щих воздействий.

Коэффициенты кх из этих уравнений использовались при расчете матри­ цы Тх —обобщенной постоянной времени двигателя.

В результате вычислений по алгоритму АЗ из табл. 2.6 были получены следующие уравнения модели двигателя:

Апв = -0,2842 Апв -0,3043Д й к + 1,035AF C+ 0,689AGTA

А п к = -0 ,0 9 7 4 Апв - 0,4969 А п к + 0,666AF C+ 0,771.AGT, J

где (Апв , Апк ) — отклонения частот вращения вентилятора и компрес­ сора от рабочей точки (л£, « к ) ; (Д^с> ДСТ) ~ малые изменения управля­ ющих воздействий по площади реактивного сопла, расходу основного топ­ лива.

Эта модель характеризует динамику двигателя в 5%-ной окрестности мак­ симального режима работы (пк —95 ± 5%).

Окончательные вычисления по алгоритму АЗ из табл. 2.6 дают следую­ щую линейную модель двигателя:

Апв = -4,453Д лв + 2,727Апк + 2,794AF C+ 0,969AGT, \

Длк =0,873 Длв - 2,547 Апк +0,969 AFC+ 1,362Д£Т. }

Последовательное применение этого алгоритма идентификации для ха­ рактерных точек линии установившихся режимов (х*у, u ls , i = 1, 2,. . .) позволяет получить кусочно-линейную модель двигателя с достаточно вы­ сокой точностью воспроизведения процессов.

Идентификация билинейной модели двигателя проводится с учетом ре­ зультатов идентификации его линейной модели. Действительно, билиней­ ная модель двигателя, заданная в виде системы нелинейных уравнений

Ах° =А°Ах° +В°Аи° + Qxti (Ах° ®Ди°), )

Ау° = С°Ах° + £>° Аи° + Qyu (Ах° ® Ди0 ), J

ходимую степень деформации касательной плоскости динамической харак­ теристики, с тем чтобы нелинейные поверхности билинейной модели и ди­ намическая характеристика были близки.

Это обстоятельство позволяет при идентификации билинейной модели двигателя использовать ’’логику дополнения” : вначале идентифицировать линейную часть модели в ’’малой” области рабочей точки, а затем иденти­ фицировать нелинейную часть модели в ’’большой” области рабочей точки.

Так как нелинейный член Qxu (Ах © Аи) , Qyu (Ах © Ди) влияет на ди­ намические и статические свойства линейной модели двигателя, оценку коэффициентов матриц Qxu (п Х п Х т ), Qyu ( п Х п Х т ) можно проводить двумя способами:

а) приближение линии установившихся режимов двигателя при Ах = = в = (0,. . , 0 ) Т;

б) приближение по переходным процессам двигателя, т.е. по самой по­ верхности динамической характеристики.

В обоих случаях задача вычисления матриц (Qxu, Qyu) формулирует­ ся как задача приближения исходных наблюдений по методу наименьших квадратов.

Рис. 2.10. Переходные процессы ТРДЦФ при значительном изменении режима (про­ цессы в ’’большом”)

--------модельные, ------- исходные; а — фазовый вектор, б — вектор управления

цен в табл. 2.6, в результате решения этой задачи получена линейная мо­ дель двигателя (ядро билинейной модели двигателя) :

Идентификация нелинейной части билинейной модели проводится по переходным процессам (Дхб, А у б, Диб) в ’’большом” - большой ок­ рестности установившегося режима, где проявляются свойства нелиней­ ности двигателя.

Вначале проводится интегрирование линейной модели двигателя при действии управления в ’’большом” — Дыб (0- В результате интегрирова­